2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试 数学（理） word版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试 数学（理） word版

深圳市高级中学2018－2019学年第二学期期中测试 高二理科数学 注意事项：‎ ‎1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．从某工厂生产的P,Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是（ ）‎ A．21.5和23 B．22和23‎ C．22和22 D．21.5和22.5‎ ‎2．已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A．5 B．6 C．8 D．7‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，则输出的S=(‎　　‎‎)‎ A．74‎ B．83‎ C．177‎ D．166‎ ‎4．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（ ）‎ A．‎1‎‎9‎ B．‎1‎‎6‎ C．‎1‎‎18‎ D．‎1‎‎12‎ ‎ ‎5．在区间‎[-π,π]‎内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x‎2‎+2ax-b‎2‎+π有零点的概率为（ ）‎ A．‎7‎‎8‎ B．‎3‎‎4‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎4‎ ‎6．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为 A．‎85‎、‎0.25‎ B．‎90‎、‎‎0.35‎ C．‎87.5‎、‎0.25‎ D．‎87.5‎、‎‎0.35‎ ‎7．从‎6‎人中选出‎4‎人分别参加‎2018‎年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（ ）‎ A．‎94‎ B．‎180‎ C．‎240‎ D．‎‎286‎ ‎8．若x‎+‎‎1‎‎2x‎8‎‎(ax-1)‎展开式中含x‎1‎‎2‎项的系数为21，则实数a的值为（ ）‎ A．3 B．-3 C．2 D．-2‎ ‎9．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）‎ A．9个 B．15个 C．45个 D．51个 ‎11．已知双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，PxP‎,‎b‎2‎a满足PF‎1‎‎-PF‎2‎=2a.若ΔPF‎1‎F‎2‎为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A．‎2+‎‎2‎ B．‎1+‎‎2‎ C．‎5‎ D．‎‎2‎ ‎12．若函数f(x)=ex-(m+1)lnx+2(m+1)x-1‎恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）‎ A．‎(-e‎2‎,-e)‎ B．‎(-∞,-e‎2‎)‎ C．‎(-∞,-‎1‎‎2‎)‎ D．‎‎(-∞,-e-1)‎ 二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．曲线f(x)=ex-x+1‎在x=1‎处的切线方程为______．‎ ‎14．已知 ‎ ‎15．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是 ‎ ‎ ‎16．已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）‎ ‎17．（10分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：‎ 上一年出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5次以上(含5次)‎ 下一年保费倍率 ‎85%‎ ‎100%‎ ‎125%‎ ‎150%‎ ‎175%‎ ‎200%‎ 连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据‎(x,y)‎(其中x(单位：万元)表示购车价格，y(单位：元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500)，已知由这8组数据得到的回归直线方程为y‎=bx+1055‎．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，‎ ‎①估计李先生购车时的商业车险保费；‎ ‎②若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修‎4S店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修(即不出险)，你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由．(假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品)‎ ‎18．（12分）在ΔABC 中，a,b,c 分别是角A，B，C的对边，且‎2bcosC=(3a-2c)cosB ‎（Ⅰ）求tanB的值；‎ ‎（Ⅱ）若b=4‎‎2‎，且a=2c，求ΔABC 的面积.‎ ‎19.(12分)如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE//CF，‎AB=AE=1，AF⊥BE.‎ ‎（1）‎求证：平面BAF⊥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角B-AF-D的余弦值.‎ ‎20．（12分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．‎ ‎（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎21．（12分）已知点M(‎3‎,0)‎，P是圆N：‎(x+‎3‎)‎‎2‎‎+y‎2‎=16‎上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q.‎ ‎（1）求点Q的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（不经过D点），且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标.‎ ‎22．（12分）设函数 ‎（I）若存在使不等式能成立，求实数m的最小值；‎ ‎（II）关于的方程上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.‎ 数学答案 一、选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C B B D C A C D B D 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. ‎(e-1)x-y+1=0‎ 14. 11 ‎ ‎15 .0.5 16 . (－∞,－3∪1,+∞)‎ ‎17．（1）b=117.8‎；（2）①‎3411‎，②李先生应接受理赔专员的建议．‎ ‎（1）x‎=‎1‎‎8‎(8+11+18+25+25+31+37+45)=‎200‎‎8‎=25‎(万元)，‎ y‎=‎1‎‎8‎(2150+2400+3140+3750+4000+4560+5500+6500)=4000‎‎(元)，‎ 由于回归直线y‎=bx+1055‎经过样本点的中心‎(x,y)‎，即‎(25,4000)‎，‎ 所以‎4000=25b+1055‎，解得b=117.8‎．‎ ‎（2）①价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为‎117.8×20+1055=3411‎元．‎ ‎②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，‎ 即保费增加‎3411×25%=852.75‎元．‎ 因为‎852.75>500‎，若出险，2018年增加的保费大于500元，‎ 所以李先生应接受理赔专员的建议．‎ ‎18．(Ⅰ) ‎5‎‎2‎（Ⅱ）‎‎32‎‎5‎‎7‎ ‎ (Ⅰ)由正弦定理及2bcosC=‎3a-2ccosB，有2sinBcosC=3sinAcosB-2sinCcosB，所以2sin(B+C)=3sinAcosB，又因为A+B+C=π，sinB+C=sinA，所以2sinA=3sinAcosB，因为sinA≠0，所以cosB=‎2‎‎3‎，又0=m‎⋅‎nmn=‎7‎‎2×4‎=‎7‎‎8‎.‎ 由图可知：二面角B-AF-D的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角B-AF-D的余弦值为‎-‎‎7‎‎8‎.‎ ‎20．解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，‎ ‎ ，，‎ ‎，且当或时，． ‎ 因此，随机变量的最大值为．‎ 有放回抽两张卡片的所有情况有种，‎ ‎． ‎ 答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为． ‎ ‎（Ⅱ）的所有取值为．‎ 时，只有这一种情况，‎ ‎ 时，有或或或四种情况，‎ 时，有或两种情况． ‎ ‎，，． ‎ 则随机变量的分布列为：‎ 因此，数学期望． ‎ ‎21．（1）x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎；（2）直线l经过定点‎(0,-‎3‎‎5‎)‎.‎ ‎（1）圆N的圆心N(-‎3‎,0)‎，半径r=4‎，‎ 由垂直平分线性质知：QP‎=‎QN，‎ 故QM‎+QN=QM+QP=r=4>‎MN，‎ 由椭圆定义知，点Q的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，‎ 设C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎，焦距为‎2c，‎ 则‎2a=4‎，a=2‎，c=‎‎3‎，b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1‎，‎ 所以C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎（2）由已知得D(0,1)‎，由y=kx+mx‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+8kmx+4m‎2‎-4=0‎，‎ 当Δ>0‎时，设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎-8km‎1+4‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4m‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎，‎ y‎1‎‎+y‎2‎=k(x‎1‎+x‎2‎)+2m=‎‎2m‎1+4‎k‎2‎‎，y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=‎m‎2‎‎-4‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎，‎ 由AD⊥BD得DA‎⋅DB=x‎1‎x‎2‎+(y‎1‎-1)(y‎2‎-1)=0‎，即‎5m‎2‎-2m-3‎‎1+4‎k‎2‎‎=0‎，‎ 所以‎5m‎2‎-2m-3=0‎，解得m=1‎或m=-‎‎3‎‎5‎，‎ ‎①当m=1‎时，直线l经过点D，不符合题意，舍去.‎ ‎②当m=-‎‎3‎‎5‎时，显然有Δ>0‎，直线l经过定点‎(0,-‎3‎‎5‎)‎.‎ ‎22．解：（I）依题意得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （II）依题意得，上恰有两个相异实根，‎ ‎ 令 ‎ ‎ ‎ 故在[0，1]上是减函数，在上是增函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎