重庆市开州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市开州中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 开州中学2019—2020学年度第一次考试 数学试题（高2022级）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得出两集合的取值范围，再进行交集运算．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．‎ ‎2.函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据被开方式与分母的限制建立不等式组即可得到结果.‎ ‎【详解】由函数的解析式可知：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴函数的定义域为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于常考题型.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎3.已知，则的值为（　　）‎ A. 7 B. C. D. 27‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接把已知等式两边平方求解即可．‎ ‎【详解】由，两边平方得：，‎ 则，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查有理指数幂的化简求值，是基础题．‎ ‎4.如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是（ ）‎ A. 减函数且最小值是2‎ B. 减函数且最大值是2‎ C. 增函数且最小值是2‎ D. 增函数且最大值是2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案．‎ ‎【详解】由偶函数图像关于轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反，所以函数在上为减函数，且最小值为2.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是基础题．‎ ‎5.函数的图象大致为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，可得，‎ 即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；‎ 当时，，则＞0，‎ 所以函数在上递增，排除A，‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6.的增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间.‎ ‎【详解】因为，所以；‎ 又因为的对称轴为：，且，所以增区间为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，难度一般.对于复合函数的单调性问题，在利用“同増异减”的方法判断的同时也要注意到定义域问题.‎ ‎7.若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在上有零点等价于在上有解，设，则可求得，进而求得答案．‎ ‎【详解】函数在上有零点等价于在上有解，设，因为在上单调递增，所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点问题，解题的关键是明确函数在上有零点等价于在上有解，属于一般题．‎ ‎8.某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2000本，如果提价后的单价为 元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是（ )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用每本提高钱数乘以实际售出为总收入列不等式即可 ‎【详解】提价后的价格为元，则提高了元，则销售减少了本，即减少了万本，实际售出万本，则总收入为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确分析题意是关键，是基础题 ‎9.已知正实数、、满足，，，则、、的大小关系是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 计算出的值，然后考虑的大小.‎ ‎【详解】因为，所以，则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.‎ ‎10.已知在上是减函数，则a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】因为为上的函数，故，故，故选D.‎ ‎【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，两者结合才能正确求出参数的取值范围.‎ ‎11.已知函数若则（ ）‎ A. B. C. D. 与大小关系不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数的对称轴和开口方向，结合与对称轴的位置关系，判断出函数值的大小关系.‎ ‎【详解】二次函数开口向上，对称轴，函数在递减，在上递增.由于，即，且，故距离对称轴的距离比与对称轴的距离要远，根据二次函数的性质可知，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12.已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（）‎ A. 2020 B. 2019 C. 4040 D. 4039‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果。‎ ‎【详解】解：，‎ 又是上的增函数，，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题。‎ 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.设集合，，若，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可判断，求出即可 ‎【详解】因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查根据空集的概念求解参数问题，属于基础题 ‎14.当时，幂函数增函数，则实数_________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的定义可知，，再由幂函数为增函数可得，联立求解值得答案．‎ ‎【详解】解：由题意可得，，解得．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的定义及其性质，是基础题．‎ ‎15.已知，，则_________．‎ ‎【答案】45.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实数指数幂和对数的运算性质，即可化简、求值，得到答案.‎ ‎【详解】根据对数的运算性质，可得，‎ 则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂和对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记实数指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数若存在互不相等实数有,则的取值范围是_________ ，的取值范围是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出函数图像，根据题意得到直线与函数的图像有四个交点，由图像即可得出的取值范围；再设，由题意求出，由得到，，得到，令，，用定义判断函数的单调性，求出取值范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】作出函数图像如下，‎ 存在互不相等实数有,‎ 所以直线与函数的图像有四个交点，‎ 由图像可得：；‎ 不妨设， 则，即，‎ 由得：，即；所以；‎ 同理可得；‎ 所以，‎ 令，，因为，所以，‎ 任取，‎ 则，‎ 因为，所以，，因此，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 故，即，‎ 所以.‎ 即的取值范围是.‎ 故答案：；‎ ‎【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的范围的问题，先将问题转化为直线与函数图像交点个数的问题，根据数形结合的思想求参数范围，再根据函数单调性求最值即可，属于常考题型.‎ 三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17题10分，第18—22题每题12分）‎ ‎17.设集合，或.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出集合A，再求A∪B；（2）根据得到解不等式组即得解.‎ ‎【详解】（1）若，则，‎ 故或.‎ ‎（2）若，则解得.‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．‎ ‎（2）求函数的最小值；‎ ‎【答案】（1）或；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的增区间为，减区间为，‎ 讨论与区间的关系即可得解；‎ ‎（2）由含参二次函数在区间上的最值问题可得分别讨论① ②③‎ 函数在上的单调性，从而求得最小值.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 即的增区间为，减区间为，‎ 又在区间上是单调函数， ‎ 则或，即或时，‎ 在区间[-5，5]上是单调函数；‎ ‎（2） ‎ 所以函数的对称轴方程为， ‎ ‎①即时，在上为增函数， ‎ 所以当时，取最小值且； ‎ ‎②当，即时，时取最小值且； ‎ ‎③当即时，在上为减函数， ‎ 所以当时，取最小值且 ； ‎ 综上所述：当时，‎ 当时，，‎ 当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了含参二次函数的单调性及含参二次函数在区间上的最值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ ‎19.已知函数（且）为定义在上的奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，使不等式对一切恒成立的实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的定义可知，从而可得a；（2）先利用奇函数转化为，再进行求解.‎ ‎【详解】（1）依题意可得，，即，此时.‎ 又符合题意，‎ ‎∴实数的值为1；‎ ‎（2）由，得，解得．‎ 此时为减函数，‎ 不等式可化为.‎ 即对一切恒成立．‎ 故对任意恒成立．‎ ‎∴，解得．‎ 综上可知，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质及利用奇偶性求解不等式问题，二次型恒成立问题通常转化为判别式的符号问题.‎ ‎20.为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．‎ ‎(1)写出第年(2018年为第一年)该企业投入资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域 ‎(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据，)‎ ‎【答案】（1），定义域为（2）第8年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意可得万元，其定义域为， (2)由题可得：，解不等式即可．‎ ‎【详解】解：(1)第一年投入的资金数为万元， 第二年投入的资金数为万元， 第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式万元， 其定义域为 (2)由可得，即， 即企业从第8年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的应用，对数的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的零点；‎ ‎（2）若有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可 ‎【详解】（1）时， ，‎ 令可得，即．‎ 的零点是．‎ ‎（2）令，显然，则．‎ 有两个零点，且为单调函数，‎ 方程在上有两解，‎ ‎，解得：．‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题 ‎22.若对定义域内任意，都有（正常数），则称函数为“距”增函数.‎ ‎（Ⅰ）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）是；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用“1距”增函数的定义证明即可；（Ⅱ）由题得时， 恒成立，再对x分类讨论得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）任意，，故是“1距”增函数；‎ ‎（Ⅱ）因为，，其中，且为“2距”增函数，‎ 即时，恒成立，所以，‎ 当时，即，‎ 当时，，所以.‎ 综上所述，得.‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义和函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎