【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算作业

专题五　平面向量 ‎【真题典例】‎ ‎5.1　平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.平面向量 的概念及线 性运算 ‎①理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;‎ ‎②理解向量的几何表示;‎ ‎③掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;‎ ‎④掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 ‎2018课标Ⅰ,6,5分 平面向量的线性运算 ‎★★☆‎ ‎2015课标Ⅰ,7,5分 平面向量的线性运算 ‎2015课标Ⅱ,13,5分 向量的加法运算 向量共线定理 ‎2014课标Ⅰ,15,5分 向量加法运算 向量的夹角 ‎2.平面向量 基本定理及 坐标运算 ‎①了解平面向量基本定理及其意义;‎ ‎②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;‎ ‎2018课标Ⅲ,13,5分 向量的坐标运算 向量共线的充要条件 ‎★★★‎ ‎③理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎2017课标Ⅲ,12,5分 平面向量基本定理 求三角函数的最值 ‎2016课标Ⅱ,3,5分 向量的坐标运算 两向量垂直的充要条件 分析解读　　1.从方向与大小两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.5.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.6.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的概念及线性运算 ‎1.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记a=AB,b=AC,则CG=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎3‎a-‎2‎‎3‎b B.‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b C.‎2‎‎3‎a-‎1‎‎3‎b D.‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b 答案　A　‎ ‎2.(2018湖北孝感二模,8)设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点,则DA+2EB+3FC=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎AD B.‎3‎‎2‎AD C.‎1‎‎2‎AC D.‎‎3‎‎2‎AC 答案　D　‎ ‎3.(2017河北石家庄二中联考,7)M是△ABC所在平面内一点,‎2‎‎3‎MB+MA+MC=0,D为AC的中点,则‎|MD|‎‎|BM|‎的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.1 D.2‎ 答案　B　‎ 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.(2018江西南昌二中月考,9)D是△ABC所在平面内一点,AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎2.(2018江西新余一中四模,7)已知△OAB,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则‎1‎λ+‎1‎μ=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎9‎ D.‎‎9‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018海南海口模拟,5)已知两个非零向量a与b,若a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),则a2-b2的值为(　　)‎ A.-3 B.-24 C.21 D.12‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018北师大附中期中,13)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若AB∥a,则点B的坐标为　　　　. ‎ 答案　(-3,-6)‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法 ‎1.(2017山西大学附中期中,6)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c可表示为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.3e1-2e2 B.-3e1-3e2 C.3e1+2e2 D.2e1+3e2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018河南郑州一模,9)如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在线段BN上且AP=m+‎‎2‎‎11‎AB+‎2‎‎11‎BC,则实数m的值为(　　)‎ A.1 B.‎1‎‎3‎ C.‎9‎‎11‎ D.‎‎5‎‎11‎ 答案　D　‎ ‎3.(2017河南豫西五校1月联考,14)若M是△ABC的边BC上的一点,且CM=3MB,设AM=λAB+μAC,则λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎4‎ 方法2　平面向量基本定理的应用策略与坐标运算技巧 ‎1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=‎1‎‎3‎‎,tanα,b=(cos α,1),且a∥b,则cos 2α=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.-‎1‎‎3‎ C.‎7‎‎9‎ D.-‎‎7‎‎9‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018吉林长春期中,15)向量AB,BC,MN在正方形网格中的位置如图所示,若MN=λAB+μBC(λ,μ∈R),则λμ=　　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎3.(2018天津六校期中联考,16)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),AB·AD=5,AD‎2‎=10.‎ ‎(1)求D点的坐标;‎ ‎(2)若D点在第二象限,用AB,AD表示AC;‎ ‎(3)设AE=(m,2),若3AB+AC与AE垂直,求AE的坐标.‎ 解析　(1)设D(x,y),‎ 由题意得AB=(1,2),AD=(x+1,y),‎ ‎∴AB‎·AD=x+1+2y=5,‎AD‎2‎‎=(x+1‎)‎‎2‎+y‎2‎=10,‎(3分)‎ 即x+2y=4,‎‎(x+1‎)‎‎2‎+y‎2‎=10,‎解得x=-2,‎y=3‎或x=2,‎y=1.‎ ‎∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(5分)‎ ‎(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).‎ ‎∴AD=(-1,3).‎ 设AC=kAB+nAD,∵AC=(-2,1),‎ ‎∴(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7分)‎ ‎∴‎-2=k-n,‎‎1=2k+3n,‎∴‎k=-1,‎n=1,‎ ‎∴AC=-AB+AD.(9分)‎ ‎(3)∵3AB+AC与AE垂直,∴(3AB+AC)·AE=0,(11分)‎ 又∵3AB+AC=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE=(m,2),‎ ‎∴m+14=0,∴m=-14,‎ ‎∴AE的坐标为(-14,2).(13分)‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　平面向量的概念及线性运算 ‎1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎3‎‎4‎AB-‎1‎‎4‎AC B.‎1‎‎4‎AB-‎‎3‎‎4‎AC C.‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎4‎AC D.‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC 答案　A　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.AD=-‎1‎‎3‎AB+‎4‎‎3‎AC B.AD=‎1‎‎3‎AB-‎‎4‎‎3‎AC C.AD=‎4‎‎3‎AB+‎1‎‎3‎AC D.AD=‎4‎‎3‎AB-‎‎1‎‎3‎AC 答案　A　‎ ‎3.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎4.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=‎1‎‎2‎(AB+AC),则AB与AC的夹角为　　　　. ‎ 答案　90°‎ 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-8 B.-6 C.6 D.8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　)‎ A.3 B.2‎2‎ C.‎5‎ D.2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的概念及线性运算 ‎　(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立‎····‎的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.|a·b|≤|a||b| ‎ B.|a-b|≤||a|-|b||‎ C.(a+b)2=|a+b|2 ‎ D.(a+b)·(a-b)=a2-b2‎ 答案　B　‎ 考点二　平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=　　　　,y=　　　　. ‎ 答案　‎1‎‎2‎;- ‎‎1‎‎6‎ ‎2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎3.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π‎2‎,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎4.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=‎1‎‎9λDC,则AE·AF的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎29‎‎18‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎3‎‎5‎‎,-‎‎4‎‎5‎ B.‎‎4‎‎5‎‎,-‎‎3‎‎5‎ C.‎-‎3‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎ D.‎‎-‎4‎‎5‎,‎‎3‎‎5‎ 答案　A　‎ ‎2.(2013大纲全国,3)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(　　)‎ A.-4 B.-3 C.-2 D.-1‎ 答案　B　‎ ‎3.(2012安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点O逆时针方向旋转‎3π‎4‎后得向量OQ,则点Q的坐标是(　　)‎ A.(-7‎2‎,-‎2‎) B.(-7‎2‎,‎2‎)‎ C.(-4‎6‎,-2) D.(-4‎6‎,2)‎ 答案　A　‎ ‎4.(2012四川,7)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a‎|a|‎=b‎|b|‎成立的充分条件是(　　)‎ A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|‎ 答案　C　‎ ‎5.(2012浙江,7)设a,b是两个非零向量,下列说法正确的是(　　)‎ A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|‎ C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|‎ 答案　C　‎ ‎6.(2013四川理,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2019届内蒙古赤峰期末,5)已知向量a=(2,1),b=(x,1),若a+b与a-b共线,则实数x的值是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-2 B.2 C.±2 D.4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届江西九江十校联考,7)如图,四边形ABCD为平行四边形,AE=‎1‎‎2‎AB,DF=‎1‎‎2‎FC,若AF=λAC+μDE,则λ-μ的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.1‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届北京西城月考,5)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1),若AB∥OC,则实数m的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎7‎ B.-3 C.-‎3‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若S△ABC=6,则△PAB的面积为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018河南林州一中调研,9)已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点P在△COD的内部(不含边界).若AP=xAB+yAD,则实数对(x,y)可以是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎4‎‎,-‎‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎5‎‎,‎‎1‎‎5‎ D.‎‎3‎‎7‎‎,‎‎5‎‎7‎ 答案　D　‎ ‎6.(2018河北、河南、山西三省联考,10)‎ 如图,在等边△ABC中,O为△ABC的重心,点D为BC边上靠近B点的四等分点,若OD=xAB+yAC,则x+y=(　　)‎ A.‎1‎‎12‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎7.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=(　　)‎ A.‎5‎‎8‎ B.‎1‎‎4‎ C.1 D.‎‎5‎‎16‎ 答案　A　‎ ‎8.(2017安徽安庆模拟,6)已知a,b∈R+,若向量m=(2,12-2a)与向量n=(1,2b)共线,则‎2a+b+a+5b的最大值为(　　)‎ A.6 B.4 C.3 D.‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎9.(2018重庆一中月考,10)给定两个单位向量OA,OB,且OA·OB=-‎3‎‎2‎,点C在以O点为圆心的圆弧AB上运动,OC=xOA+yOB,则‎3‎x-y的最小值为(　　)‎ A.-‎3‎ B.-1 C.-2 D.0‎ 答案　B　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎10.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μAN,则实数λ+μ=　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎ ‎11.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若BD=xBA+yBC(x,y∈R),则x-y的值为　　　　. ‎ 答案　-1‎