2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

‎2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期中考试数学（文）试题 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎ 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。‎ ‎ 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎ 5．考试结束后，只将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知命题p： ， .则为（ ）‎ ‎ A. ， B. ， ‎ ‎ C. ， D. ， ‎ ‎1．【答案】B 【解析】p： ， .则:.‎ ‎2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)‎ A． B． C． 5 D． ‎ ‎【答案】D【解析】由题意得p＝2，∴．选D．‎ ‎3.若双曲线()的焦点到渐近线的距离是，则的值是（ ）‎ A. B. C.1 D.‎ ‎【答案】A【解析】由于双曲线的焦点到渐近线的距离是，∴．选A．‎ ‎4．下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A. 命题“若，则”是真命题 ‎ B. 命题“若，则”的逆命题是“若，则”‎ ‎ C. 命题“已知，若，则或”是真命题 ‎ D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎4．【答案】C【解析】对于A，若，则，所以A不正确．‎ ‎ 对于B，命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”，所以B不正确．‎ ‎ 对于C，命题“已知，若，则或”的逆否命题是“已知，若 ‎ ，则”为真命题，所以C正确．‎ ‎ 对于D，命题“若x=2，则x2-5x+6=0”的否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”，所以D不正确．‎ ‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．执行如图的程序框图，若输出的，则输出的值可以为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．‎ 解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1，不满足条件n＞k；n=4，S=6，不满足条件n＞k；n=7，S=19，不满足条件n＞k；n=10，S=48，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10。故选：C．‎ 考点：程序框图．‎ ‎6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】表示的区域是单位圆及其内部（即圆面），表示的区域是边长为的正方形，故所求概率为：。故选B。‎ 考点：几何概型．‎ ‎7.设不重合的两条直线、和三个平面、、给出下面四个命题：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 其中正确的命题个数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，有可能 ，A错； ，而所以 ，又，所以，B对；由两平面平行定义知，C对;时，、有可能相交，D错；因此选B.‎ ‎8．已知θ为锐角，且sin＝，则tan 2θ＝(　　)‎ A. B. C．－ D. ‎【答案】C　【解析】由已知sin＝得sin θ－cos θ＝，再由θ为锐角且sin2 θ＋cos2 θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝.所以tan θ＝，tan 2θ＝＝＝－，故选C.‎ ‎9．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9．【答案】D【解析】设，则 ‎，两式相减，化简得：‎ ‎，即直线的斜率为，所以，这条弦所在的直线方程是：，即，故选D。‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎[答案]　C ‎[解析]该几何体是由半径为3，高为3的半个圆柱去掉半径为1，高为3的半个圆柱后剩下的几何体。其表面积为：‎ S=‎ 故选C。‎ ‎11. 已知函数，点是函数图象上的任意一点，其中，记的面积为，则的图象可能是( )‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，所以，所以选A.‎ ‎12．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数 的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设切点为 ,则方程, 有三解, 令,则,因此,选C.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.请将答案填在题后横线上.‎ ‎13．已知，，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为，所以.‎ 考点：指数与对数的运算.‎ ‎14．已知双曲线的一条渐近线被圆C:截得的线段长为，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为，圆心C到直线的距离为，故；故答案为2.‎ ‎15．设命题：实数满足 (其中)；命题：实数满足.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以或，‎ ‎，‎ 所以满足条件的解集，‎ ‎，‎ 因为是的必要不充分条件，所以，所以，得.‎ ‎16．函数，若，则实数的取值范围是：　（﹣1，0）　．‎ ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可以将f（x2）+f（﹣x）＞0转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，‎ 其导数f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数f（x）为增函数，‎ f（x2）+f（﹣x）＞0⇒f（x2）＞﹣f（﹣x）⇒f（x2）＞f（x）⇒，‎ 解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范围是（﹣1，0）；‎ 故答案为：（﹣1，0）‎ 三、解答题：‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 正项等比数列中，，。‎ ‎ (1)求的通项公式；‎ ‎ (2)记为的前项和。若，求。‎ 解：(1)设数列的公比为，∴，∴。由于 则，故，‎ ‎ ∴。（5分）‎ ‎ (2)由(1)知，， ∴∴。（10分）‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？‎ ‎(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)‎ 附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，，‎ 其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为＝x＋.‎ 解： (1)由系数公式可知，＝4.5，＝3.5，＝＝0.7，‎ ‎＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以线性回归方程为＝0.7x＋0.35.‎ ‎(3)x＝100时，＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)若在有极小值，求实数的值；‎ ‎(2)若在定义域R内单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1) ，依题意得，解得，故所求的实数.（6分）‎ ‎(2)由(1)得.因为在定义域R内单调递增，所以在R上恒成立，‎ 即恒成立，因为，所以，所以实数的取值范围为.（12分）‎ ‎20. （本题满分12分）‎ ‎（文科）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.‎ 解： (Ⅰ)证明：‎ 取的中点为，连结.‎ 由是三棱台得，平面平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴⊥平面，而平面，‎ ‎∴. …………………………5分 ‎(Ⅱ)∵三棱台的底面是正三角形，且，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ 由(Ⅰ)知，平面.‎ ‎∵正的面积等于，∴，.‎ ‎∵直角梯形的面积等于，‎ ‎∴，∴， ‎ ‎∴.…………………………12分 ‎21. （本题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；‎ 解析：（1）因为点在椭圆E上，所以。，解得 椭圆E的方程为。…………………………5分 ‎（2）设直线的方程为，‎ 代入，整理得.‎ 直线过椭圆的右焦点，方程有两个不等实根.‎ 记，中点，‎ 则，，，‎ ‎ 垂直平分线的方程为.‎ 令，得 .‎ ‎，.的取值范围为. …………………………12分 ‎22. （本题满分12分）‎ 已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求函数的极小值；‎ ‎(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点，，证明：.‎ ‎【答案】(1) (2) 函数的极小值为.(3) 见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，解得.（2）先求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极小值点（3）先利用斜率公式化简所证不等式，再利用换元转化为，最后根据导数分别证明及 试题解析：解：(1)依题意得，则.‎ 由函数的图象在点处的切线平行于轴得：‎ ‎，所以.…………………………4分 ‎(2)由(1)得，‎ 因为函数的定义域为，令得或.‎ 函数在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，‎ 故函数的极小值为.…………………………8分 ‎(3)证法一：依题意得，‎ 要证，即证，‎ 因，即证，‎ 令，即证，‎ 令，则，所以在上单调递减，‎ 所以，即，所以①‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，即②‎ 综①②得，即.‎ 证法二：依题意得，‎ 令，则，‎ 由得，当时，，当时，，‎ 所以在单调递增，在单调递减，又，‎ 所以，即.…………………………12分