2020学年高一数学上学期期中试题（含解析） 人教版 新版

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‎2019学年上学期期中考试试卷 高一数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 设全集U=R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，，，则，选D.‎ ‎2. 下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数 ，均为非奇非偶函数，函数为奇函数，图像关于原点对称，但函数在为增函数，在为增函数，不符合题意，函数为奇函数，且在R上为增函数，选A.‎ ‎3. 若幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设幂函数为，过点，则，则，所以，选B.‎ ‎4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ - 11 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎..................‎ ‎5. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为对称轴为,对应函数值为；所以;当时,因此,综合可得的取值范围是，选C.‎ ‎6. 设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据映射定义， ， ， 中的对应中均能构成到的映射，而对于，当，，而，不能构成到的映射，选B.‎ ‎7. 不等式的解集是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】把不等式改写为，解得：，则或；选D.‎ ‎8. 已知函数则满足的x的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，得：；‎ - 11 -‎ 当时， ，则；‎ 综上可知：x的取值范围是.选D.‎ ‎9. 已知a=，b=，，则之间的大小关系为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，又 ‎，所以即 考点：根据对数单调性比较大小 ‎10. 若定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a，b]，则函数y=f(x＋a)的值域为( )‎ A. [2a，a＋b] B. [0，b−a]‎ C. [a，b] D. [−a，a＋b]‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，∵，则，∴函数与是同一个函数；‎ ‎∴的值域为 故选C.‎ ‎11. 已知奇函数在区间上是增函数，且最大值为10，最小值为4，则在区间上的最大值、最小值分别是( )‎ A. -4,-10 B. 4,-10‎ C. 10,4 D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】奇函数图象关于原点对称，奇函数在区间上是增函数，且最大值为10，最小值为4，在区间上的最大值为 ，最小值为.选A.‎ ‎【点精】函数的定义域关于原点对称时是函数具有奇偶性的前提，而判断奇偶就是寻求f(-x)与f(x)的关系，当时，函数为奇函数，当时，函数为偶函数；奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数在关于原点对称的单调区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的单调区间上单调性相反，借助函数的单调性和特殊点特殊值，根据函数的奇偶性可以模拟函数图象，用于比较大小，解不等式，求最值等.‎ - 11 -‎ ‎12. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：先做出函数的图象，如图所示，当时，，此时函数关于对称，不妨设，则关于直线对称，故，且则，因为所以即.故选：B.‎ 考点：分段函数.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ - 11 -‎ ‎13. 若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ，满足条件的实数构成的集合为 ‎14. 已知函数的一个零点在(2,3)内，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，则实数的取值范围是.‎ ‎15. 已知则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,则：，‎ 据此可得：，‎ 则函数的解析式.‎ 点睛：求函数解析式常用方法 ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ ‎16. 已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 为单独递增函数，所以 ‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间 - 11 -‎ 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合题意可得：，∴；‎ ‎(2)结合题意分类讨论和两种情况可得或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当 ‎，∴ ‎ ‎（2）因为，当时，则，即 当时，则或，解得： 或.‎ 综上： 或.‎ 点睛：已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．‎ ‎18. 求下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1) ;(2)1.‎ - 11 -‎ ‎【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.‎ 试题解析：‎ ‎（1）原式= ==.‎ 原式=‎ ‎= ‎ ‎=. ‎ ‎【点精】指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，指数运算包括正整指数幂、负指数幂、零指数幂、分数指数幂的定义，法则包括同底数幂的惩罚和除法，幂的乘方、积的乘方；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用，指数对数运算还要灵活进行指、对互化.‎ ‎19. 已知函数是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为= .‎ ‎(1)判断并证明在(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)求:当x<0时，函数的解析式．‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：用定义证明函数的单调性需要以下步骤，一、取值，在x>0内任取两个自变量，且 ，二、作差，三、变形（包括通分、配方、因式分解、分子有理化等），四、断号（判断各部分的正负，说明差的符号正负），最后给出结论.利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0时的解析式；‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，‎ ‎ 是上减函数 证明：且 - 11 -‎ ‎ ‎ 即 是上减函数.‎ 当时，‎ 为R上偶函数 当时，. ‎ ‎【点精】函数的单调性的判断分为“粗判”和“细断”两种，所谓粗判，就是根据已知函数的单调性结合和复合函数关系，判断出函数在某区间上的单调性；所谓细断就是根据函数的单调性定义进行严格证明或利用导数的正负进行严格的判断，关于利用函数的单调性的定义证明，其步骤为①取值，②作差，③变形，④断号，最后给出单调性结论. 利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,偶函数借助f(x)=f(-x)就可以求出x<0时的解析式；‎ ‎20. 据悉遵义市红花岗区、汇川区2017年现有人口总数为110万人，如果年自然增长率为％，试解答以下问题：‎ ‎（1）写出经过年后，遵义市人口总数（单位：万人）关于的函数关系式；‎ ‎（2）计算10年以后遵义市人口总数（精确到0.1万人）；‎ ‎（3）计算经过多少年后遵义市人口将达到150万人（精确到1年）‎ ‎（参考数据：‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) 124.0万人;(3) 150万人.‎ ‎【解析】试题分析：应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.本题为增长率函数问题，根据现有人口、增长率表示出经过x年后人口数量的函数关系，建立函数模型后假设x年后人口达到150万人，解指数方程，利用对数近似计算求出x值，要求精确到1年，给出实际问题的答案.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可知：‎ ‎（是正整数）‎ - 11 -‎ ‎(2)当时，‎ 答：10年后遵义市人口总数为124.0万人.‎ ‎(3)令，即 解得：‎ 答：26年后遵义市人口总数将达到150万人.‎ ‎【点精】应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.本题为增长率函数问题，根据现有人口、增长率表示出经过x年后人口数量的函数关系，建立函数模型,利用函数关系由x值可求y的值，由给出的y值可以反求x值，也可以解不等式解决不等问题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）判断的奇偶性；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)1.‎ ‎【解析】试题分析：判断函数奇偶性，首先考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称时是函数具有奇偶性的前提，而判断奇偶就是寻求f(-x)与f(x)的关系，当时，函数为奇函数，当时，函数为偶函数；借助于函数满足为定值，利用倒序相加法求和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的定义域为R，‎ 是偶函数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎=.‎ - 11 -‎ ‎【点精】判断函数奇偶性，首先考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称时是函数具有奇偶性的前提，而判断奇偶就是寻求f(-x)与f(x)的关系，当时，函数为奇函数，当时，函数为偶函数；数列求和方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，本题借助于函数满足为定值，利用倒序相加法求和.‎ ‎22. 已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析：本题根据函数的奇偶性，采用方程组法求函数的解析式，把已知条件里的x替换为-x，利用函数的奇偶性，得出一个新的关系式，两式联立，解出函数f(x)和g(x)的解析式，写出函数h(x)，令h(x)=0，转化为方程只有一根，利用换元法转化为二次方程只有一个正根，包括一个正根一个负根及两个相等正根两种情况，分别按要求解出a的范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）①‎ ‎.‎ ‎②‎ 由①②得：‎ ‎， ‎ 由（1）可得：‎ ‎ ‎ 在上只有一个零点 只有一个实数根 即只有一个实数根 - 11 -‎ 令 则 只有一个正实数根 ‎①当时，符合题意 ‎②当时，令 若有一正一负实数根，则或，解得；‎ 若有两个相等的正实数根，则，解得或（舍）‎ 时，。‎ 综上所述：得取值范围是或.‎ ‎【点精】关于求函数的解析式问题常用方法有待定系数法、换元法、方程组法等，本题采用的方法为方程组法；当已知函数为哪种基本初等函数时，按照函数的定义形式设出函数，利用待定系数法求出解析式；当提供复合函数形式时，利用换元法求出解析式，但要注意函数的定义域；方程组法题型较少，易于掌握，函数零点问题有时化成函数图象与x轴的交点问题，有时化为方程的根的的问题，有时化为两个函数图象的交点问题，有时还需借助导数研究函数图象去解决.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 11 -‎