专题16 三角函数的图像和性质问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题16 三角函数的图像和性质问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 求三角函数的单调区间 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负；‎ 第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；‎ 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.‎ 例1 【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】 设向量， .‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的单调递减区间.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【变式演练1】函数的单调递增区间是（ ）‎ A．[kπ＋，kπ＋π] B．[kπ－π，kπ＋]‎ C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）‎ ‎【答案】B.‎ 考点：三角函数单调性.‎ ‎【变式演练2】已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的图象关于点对称，故 ， 在区间上是单调函数，故得到： 两者取交集得到 的值为。‎ 故答案为： 。‎ 点睛：这个题目考查了三角函数的图像和性质；这种题目一般应用图像的对称性，轴对称性和点对称性，再就是单调性，由单调性就可以得到周期的大概范围，解决这类题目还要注意结合函数的图像的整体性质。‎ 类型二 由的图象求其函数式 使用情景：一般函数求其函数式 解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与轴交点坐标等；‎ 第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个；‎ 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；‎ 第四步 得出结论.‎ 例2【安徽省十大名校2018届高三11月联考数学（文）试题】已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式演练3】已知函数（其中）的部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 考点：由的部分图像确定解析式 ‎【变式演练4】函数的图象如图所示，则y的表达式为（ ）‎ A．‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】C 考点：三角函数图像及性质 ‎【变式演练5】已知函数 的图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】D 考点：的图像 ‎【变式演练6】函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因,故,借助图象可以看出,所以,将代入可得,故,应选C．‎ 考点：三角函数的图象和性质及运用．‎ ‎【变式演练7】如图所示，是函数（，，）的图象的一部分，则函数解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A 类型三 求三角函数的周期 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 利用恒等变换将其化成“、”的形式；‎ 第二步 运用周期的计算公式直接计算可得所求.‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 若函数在上的图象与直线恰有两个交点.则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，在存在两个最大值，‎ 则，所以，故选A。‎ ‎【点评】三角函数的图象问题利用图象辅助解题，由题意可知，在存在两个最大值，则在图象上得到第二个最大值和第三个最大值，因为在恰有两个最大值，则得到，解得答案。‎ ‎【变式演练8】设函数，，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（ ）‎ A． B．2π C．4π D．π ‎【答案】D 的对称轴和对称中心，则.选D.‎ 考点：三角函数图象与性质. ‎ ‎【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.‎ ‎【变式演练9】已知 ，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 函数 的周期为 B. 将 的图像向左平移个单位后得到 的图像 C. 函数的最大值为 D. 的一个对称中心是 ‎【答案】D ‎【变式演练10】已知函数 （其中）的最小正周期为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ） 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数在上零点.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 和.‎ 考点：1、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性质.‎ ‎【变式演练11】已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调增区间； ‎ ‎（2）中，锐角满足，，，求的值.‎ ‎【答案】（1） 的最小正周期为；单调增区间为；（2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得，由可求该函数的最小正周期，由可求函数的单调递增区间；（2）由先求出角，再利用正弦定理即可求.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国II文，3】函数的最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，故选C.‎ ‎【考点】正弦函数周期 ‎2.【2017全国I卷理，8】已知曲线，，则下面结论正确的是（） A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，‎ 得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D ‎，‎ 首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理． ．横坐标变换需将变成， 即 ． 注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至， 根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．‎ ‎3.【2017全国III理，3】设函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 ‎【答案】D ‎4.【2017全国I卷文，8】函数的部分图像大致为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎5.【2017山东，文7】函数 最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】三角变换及三角函数的性质 ‎ ‎【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③对于形如 的函数,一般先把其化为的形式再求周期.‎ ‎6.【2017天津理，7】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎【答案】 【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．‎ ‎【考点】求三角函数的解析式 ‎【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.‎ ‎7. 【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ ‎【答案】B 考点：三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线 对称,则 或.‎ ‎8. 【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.‎ 考点： 三角函数的图象变换与对称性. ‎ ‎【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．‎ ‎9. 【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎ 10. 【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.‎ 考点：三角函数图象平移 ‎【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换 ‎11. 【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎ 12.【2015高考浙江，文11】函数的最小正周期是 ，最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.‎ ‎13.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【考点定位】三角函数的图像和性质.‎ ‎【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题时，取得最小值，继而求得的值，当时，取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性. ‎ ‎14.【2015高考上海，文1】函数的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.‎ ‎【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为，再根据求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用. ‎ ‎15.【2015高考湖南，文15】已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 =_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点定位】三角函数图像与性质 ‎【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.‎ ‎16.【2015高考天津，文14】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.‎ ‎【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若 的图像关于直线 对称,则 或.‎ ‎17.【2017山东，理16】设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.‎ 从而.‎ 根据得到，进一步求最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 即时，取得最小值.‎ ‎【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.‎ ‎【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎18.【2017北京文，16】已知函数.‎ ‎（I）f(x)的最小正周期；‎ ‎（II）求证：当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为 ‎ ‎，根据公式求周期；（Ⅱ）当时，先求的范围再求函数的最小值.‎ ‎19.【2017江苏，16】已知向量 ‎ （1）若a∥b,求x的值；‎ ‎ （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎【解析】解：（1）因为，，a∥b，‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值.‎ ‎【考点】向量共线，数量积 ‎【名师点睛】(1)向量平行：，,‎ ‎(2)向量垂直：，‎ ‎(3)向量加减乘： ‎ ‎20. 【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.‎ 解：令函数的单调递增区间是 由,得 ‎ 设，易知.‎ 所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.‎ 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．‎ ‎21.【2015高考北京，文15】已知函数．‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎（II）求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴.‎ 当，即时，取得最小值.‎ ‎∴在区间上的最小值为.‎ 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即，，函数（，）的最小正周期是．‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学（理）试题】若函数与的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与互为同轴函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得， 的图象都关于直线对称，所以与的图象都关于直线对称.选D.‎ ‎2．【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考文科数学试题】已知定义在上的函数在区间上单调递减， 的图象关于直线对称，若是钝角三角形中两锐角，则和的大小关系式（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 以上情况均有可能 ‎【答案】B ‎3．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】若将函数的图象向左平移个单位长度，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，将函数的图象向左平移个单位长度得 ‎，故选D.‎ 点睛：此题主要考查三角函数图象的变换平移，属于中低档题，也是常考考点.在此类问题中，由函数沿着轴向左平移个单位时“左加”，向右平移个单位时“右减”，即可得函数的图象；沿着轴向上平移个单位时“上加”，向下平移个单位时“下减”，即可得函数的图象.‎ ‎4．【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学（文科）试题】的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=cos2x的图象（　　）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎5．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三年级第四次调研诊断考试数学理试题】把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎6．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考数学（理）】如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以，，选B.‎ ‎7．【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】函数的周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，所以函数的周期，故选C.‎ ‎8．【江西省2018届高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】已知函数图象的一个对称中心为，且，要得到函数的图象可将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎9．【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考 数学（联考）试题】将函数 的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的解析式：‎ 据此可得： ，‎ 则： ，‎ 结合三角函数的性质可得： ，‎ 令可得： ，‎ 故： ，‎ ‎.‎ 点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ ‎10．【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学（文科）试题】设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是 ______ ．（填写序号） ‎ ‎①f（x）的图象过点； ‎ ‎②f（x）在上单调递减； ‎ ‎③f（x）的一个对称中心是； ‎ ‎④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象．‎ ‎【答案】③‎ ‎∴‎ 当时， ，即图象过点，故①错误；‎ 由得 ‎∴在上单调递减，故②错误；‎ 由得，故当时， 的对称点为，故③正确；‎ 将的图象向右平移个单位长度得，故④错误；‎ 故答案为③‎ ‎11．【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考文科数学试题】已知函数 的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）‎