2017-2018学年湖南省冷水江市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年湖南省冷水江市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题

‎2017-2018学年湖南省冷水江市第一中学高二上学期期中考试 文 科 数 学 时量：120分钟 分值120分 命题：刘小明 审题：周国新 一、 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）‎ ‎1.在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　 ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.命题“∃x0∈R，”的否定是（　 ）‎ A．∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0‎ C．∃x0∈R， D．∃x0∈R，‎ ‎3.在△ABC中，三个内角所对的边为，若， ，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3‎ B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0‎ C．命题p的逆否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0‎ D．命题p的逆否命题是真命题 ‎5．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A． 58 B．88 C．143 D．176‎ ‎6．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.如图，，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是,在第一象限的公共点.若，则的离心率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若，则的最小值为（  ）‎ A．6 B．12 C．16 D．24‎ ‎9.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )‎ A. B.2 C.6 D.4‎ ‎10.抛物线的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎12.设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是(　　)‎ A．[2，2] B．[2，3] ‎ C．[3，2] D．(0，2)∪(2，＋∞)‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前n项和 ‎ ‎14.双曲线（a>0，b>0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于 ‎ ‎15.已知分别为的三个内角的对边，且 ，则面积的最大值为 ‎ ‎16.已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是　 　．‎ 二、 解答题(本大题6小题，共56分)‎ ‎17.（本题8分）△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,‎ （1） 求得值；‎ （2） 求△的面积.‎ ‎18.（本题8分）设数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．‎ ‎19.（本题8分）命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．若p∨q是真命题且p∧q是假命题．求实数a的取值范围．‎ ‎20.（本题10分）已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎21.（本题10分）今年娄底市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%）‎ ‎（1）将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费x（万元）的函数；‎ ‎（2）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．‎ ‎22.（本题12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．‎ ‎2017年下学期冷水江市第一中学高二期中考试试卷 数 学 （文科） 答 案 时量：120分钟 分值120分 命题刘小明 审题：周国新 一、 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B D B A B C D D C D ‎ ‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13. ； 14. 4 ； 15. ； 16. [﹣9，+∞） ．‎ 三、 解答题(本大题6小题，共56分)‎ ‎17.（本题8分）△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,‎ （1） 求得值；‎ （2） 求△的面积.‎ ‎【答案】(1）.（2）的面积.‎ ‎18.（本题8分）设数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．‎ 解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴（2n﹣1）an=2．∴an=．‎ 当n=1时，a1=2，上式也成立．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．‎ ‎19.（本题8分）命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．若p∨q是真命题且p∧q是假命题．求实数a的取值范围．‎ 解：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，‎ ‎∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，‎ 即3a2+2a﹣1＞0，‎ 解得a＜﹣1或a＞，‎ ‎∴p为真时a＜﹣1或a＞；‎ 又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，‎ ‎∴2a2﹣a＞1，‎ 即2a2﹣a﹣1＞0，‎ 解得a＜﹣或a＞1，‎ ‎∴q为真时a＜﹣或a＞1；‎ ‎∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，‎ ‎∴当P假q真时，，即﹣1≤a＜﹣；‎ 当p真q假时，，即＜a≤1；‎ ‎∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；‎ ‎ ‎ ‎20.（本题10分）已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎21.（本题10分）今年宁徳市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%）‎ ‎（Ⅰ）将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；‎ ‎（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．‎ 解：（I）由题意知，该电机的月生产成本为（25T+5）万元，‎ 月销售收入为（25T+5）×120%+x•50%，…（2分）‎ 月利润为S=（25T+5）×120%+x•50%﹣（25T+5）﹣x，‎ 即S=5T+1﹣x．又T=5﹣（1≤x≤5）‎ 所以S=5T+1﹣x=26﹣﹣x（1≤x≤5）‎ ‎（II）由S=26﹣﹣x=26﹣（+x）≤26﹣2=24 当且仅当=x，即x=2时，S有最大值24．‎ 因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．‎ ‎22.（本题12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．‎ 解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，‎ 点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，‎ 解得a=，b=1，‎ 即有椭圆的方程为+y2=1；‎ ‎（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，‎ S△OAB=××=；‎ ‎②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，‎ 即有4m2=3（1+k2），‎ ‎|AB|=•=•[学。科。网]‎ ‎=•=•‎ ‎=•≤•=2，‎ 当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，‎ 可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，‎ 即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎