高考数学人教A版（理）一轮复习：第四篇 第7讲 解三角形应用举例

高考数学人教A版（理）一轮复习：第四篇 第7讲 解三角形应用举例

第7讲 解三角形应用举例 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2013·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为 (　　)．‎ A．1 B．2sin 10°‎ C．2cos 10° D．cos 20°‎ 解析　如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.‎ 在△ABD中，由正弦定理得 ＝，‎ ‎∴AD＝AB·＝＝2cos 10°.‎ 答案　C ‎2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 (　　)．‎ A. B．2 C.或2 D．3‎ 解析　如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.‎ 答案　C ‎3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 (　　)．‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．‎ 答案　A ‎4.(2012·吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)．‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 解析　依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2011·上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．‎ 解析　由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理得＝，即＝，解得AC＝(千米)．‎ 答案　 ‎6.(2013·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.‎ 解析　设航速为v n mile/h，‎ 在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，‎ ‎∠BSA＝45°，‎ 由正弦定理得：＝，∴v＝32 n mile/h.‎ 答案　32‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．‎ 解　在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝，‎ 在△ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝.‎ 由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D，‎ 解得AB＝7，所以AB长度为7米．‎ ‎8．(13分)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．‎ 解　如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC ‎＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里)．‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 易知θ＝∠ACB＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°‎ ‎＝.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 (　　)．‎ A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.‎ 答案　A ‎2.(2013·榆林模拟)如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) (　　)．‎ A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析　在△ACE中，‎ tan 30°＝＝.∴AE＝(m)．‎ 在△AED中，tan 45°＝＝，‎ ‎∴AE＝(m)，∴＝，‎ ‎∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．‎ 解析　由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．‎ 答案　30‎ ‎4.(2013·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．‎ 解析　由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β ‎)时，该船没有触礁危险．‎ 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β)‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)(2012·肇庆二模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米．‎ ‎(1)求△CDE的面积；‎ ‎(2)求A，B之间的距离．‎ 解　(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△CDE＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．‎ ‎(2)连接AB，依题意知，在Rt△ACD中，‎ AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝(百米)，‎ 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，‎ 由正弦定理＝，得 BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝(百米)．‎ ‎∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°‎ ‎＝×＋×＝，‎ 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，‎ 可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，‎ ‎∴AB＝百米．‎ ‎6．(13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．‎ 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝ ‎＝＝ .‎ 故当t＝时，Smin＝10(海里)，‎ 此时v＝＝30(海里/时)．‎ 即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，‎ ‎∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.‎ 又t＝时，v＝30海里/时．‎ 故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.‎ 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎