2017-2018学年青海省平安县第一高级中学高二上学期期中考试数学试题（A卷）

2017-2018学年青海省平安县第一高级中学高二上学期期中考试数学试题（A卷）

‎2017-2018学年青海省平安县第一高级中学高二上学期期中考试数学试卷（A）‎ 时间：120分钟 总分：150分 命题人：文锋 一、选择题（每空5 分，共60 分）‎ ‎1、右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A.    B.  C.   D.  ‎ ‎ ‎ ‎2、 如图3所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（　　）‎ ‎    A．  B．   C．  D．1‎ ‎  3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则此三棱锥的外接球的表面积为 (　　)A．  B． C．  D．‎ ‎4、设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C（　　）‎ A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面 ‎5、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；③若上有两个点到的距离相等，则；④若，则．其中正确命题的序号是         ‎ A．①② B．①④ C．②④ D．③④‎ ‎6,下列命题正确的是（ ）‎ A．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 ‎ B．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行 ‎ C．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 ‎ D．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 ‎ ‎7、．直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）‎ ‎ A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°‎ ‎8、直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ）‎ A．  B．   C． D．‎ ‎9、过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为 ‎ A．2x + y1= 0    B．2x + y5= ‎0 C．x + 2y5= 0    D．x2y + 7= 0 ‎ ‎10、过坐标原点且与圆相切的直线方程为 A．  B．C．或    D．或 ‎ ‎11、由上的一点向引切线，则切线长的最小值为（    ）‎ ‎   A．        B．        C．        D． 3  ‎ ‎12、已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（　　）‎ A．    B．  C． D．‎ 二、填空题（每空5分，共20 分）‎ ‎13、一个空间几何体的正视图、侧视图是两个边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰三角形，则这个几何体的表面积等于______________‎ ‎14、如右图，正方体中， 与平面所成角为          ‎ ‎15、经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是           ． ‎ ‎16、过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率k=________。 ‎ 三、简答题（第17题10 分，其它每题各12分）‎ ‎17、已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．‎ ‎（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．‎ ‎18、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．‎ ‎　‎ ‎ 19、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，90°，‎ ‎，，分别为和的中点．‎ ‎（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．‎ ‎ ‎ ‎20、如图，在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AB=1‎ ‎（1）求异面直线A1B与 B‎1C所成的角；（2）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．‎ ‎21，已知直线l过定点，圆.‎ ‎(1)若与圆相切，求l的方程；(2)若与圆交于两点，求面积的最大值，并求此时的直线方程.‎ ‎22.  如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点. (1)证明:AE⊥PC ‎(2)若AD=1,求二面角B-EC-D的平面角的余弦值.‎ 参考答案 一、选择题1、C 2、A   3、A． 4、D5、C6、C  7、C8、A 9、A 10、Ｃ 11、C 12、C ‎　二、填空题13、14、   15、 16、  ‎ 三、简答题17、（1）圆的半径r==，‎ 所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．‎ ‎（2）圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，‎ 由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直 ‎∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，‎ ‎∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0．‎ ‎18、【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的 几何体，如右图：‎ S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr‎1l1‎ ‎===．‎ 体积V=V圆台﹣V圆锥= [25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．‎ 所求表面积为：，体积为：．‎ ‎[]‎ ‎　‎ ‎19、（1）连接交于，连接，．因为，，‎ 所以四边形是平行四边形，所以是的中点． 又是的中点，所以．‎ 因为平面，平面，所以平面． ‎ ‎（2）因为，，所以．   因为，，‎ 所以四边形是平行四边形，所以，因为90°，即，所以． ‎ 因为，平面平面，所以平面．因为平面 所以平面平面．      ‎ ‎20、考点：平面与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．‎ 解：（1）连接A1D、DB．由正方体可得，∴对角面A1B1CD是一个平行四边形，∴B‎1C∥A1D．‎ ‎∴∠BA1D或其补角即为异面直线A1B与 B‎1C所成的角，∵△A1BD是一个等边三角形，‎ ‎∴∠BA1D=60°即为异面直线A1B与 B‎1C所成的角；‎ ‎（2）证明：由（1）可知：A1D∥B‎1C，而A1D⊄平面B1CD1，B‎1C⊂平面B1CD1，‎ ‎∴A1D∥平面B1CD1，同理可得A1B∥平面B1CD1，又∵A1D∩A1B=A1，‎ ‎∴平面A1BD∥平面B1CD1．‎ ‎21、(1) 【答案】由圆的一般方程知圆心，半径.  ①当直线的斜率不存在时，直线, 符合题意.  ②当直线的斜率存在时，设直线，即.  因为直线l与圆相切,  所以圆心到已l的距离等于半径，即,解得, 所以直线的方程为,化为一般式为.  综上所述知，l的方程为或.  (2) 【答案】由第1问知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，直线l的方程为,  圆心到直线l的距离,  面积  所以当时，取得最大值2，由，解得或，  所以直线l的方程为或. 22(1) 【答案】解法一:  证明:如图,由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AB,又PA=AB,故△PAB为等腰直角三角形,而点E是棱PB的中点,所以AE⊥PB.  由题意知BC⊥AB,又AB是PB在面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE.因AE⊥PB,AE⊥BC,所以AE⊥平面PBC. 则AE⊥PC  解法二:证明:如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz.  ‎ ‎  设D(0,a,0),则B(,0,0)、C(,a,0). P(0,0,),E. =,=(0,a,0).  =(,a,-), 则·=0, ·=0. 所以AE⊥平面PBC. 则AE⊥PC  (2) 【答案】解法一：由第1问知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE.  在Rt△PAB中,PA=AB=,AE=PB==1.从而在Rt△DAE中,DE==. 在Rt△CBE中,CE==,又CD=,所以△CED为等边三角形. 取CE的中点F,连接DF,则DF⊥CE. 因BE=BC=1,且BC⊥BE,则△EBC为等腰直角三角形,连接BF,则BF⊥CE. 所以∠BFD为所求的二面角的平面角.连接BD,在△BFD中,DF=CD·sin=,BF=CE=,BD== 所以cos ∠BFD==-.故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为-. 解法二：设平面BEC的法向量为n1,  由第1问知,AE⊥平面BEC,故可取n1==,设平面DEC的法向量n2=(x2,y2,z2),  则n2·=0.n2·=0. 由=1,得D(0,1,0),C(,1,0)从而=(,0,0),=, 故,所以x2=0,z2=y2.可取y2=1,则n2=(0,1,). 从而cos==-.所以二面角B-EC-D的平面角的余弦值为-. ‎