河北省中原名校联盟2019届高三联考考试数学（文）试题

河北省中原名校联盟2019届高三联考考试数学（文）试题

‎2019届高三年级3.20联合考试 数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集得到结果即可.‎ ‎【详解】根据集合的交集的计算得到：,‎ 故选：.‎ ‎【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及运算，题目比较简单.‎ ‎2.若是虚数单位，则　　‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合复数的四则运算,计算z，结合复数模长计算公式，计算，即可。‎ ‎【详解】,化简,得到,因此,故选C.‎ ‎【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等。‎ ‎3.已知定义在R上的函数满足：对任意，，，则　　‎ A. B. 0 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.‎ 考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.‎ ‎【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.‎ ‎4.已知向量，且，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个向量平行的充要条件计算即可.‎ ‎【详解】易知，，因为，所以，解得：，‎ 故选：B ‎【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.‎ ‎5.直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂径定理，求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，弦长的一半，构成直角三角形，由勾股定理得到结果.‎ ‎【详解】，，圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，直线被圆截得的弦长等于.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的应用，注意利用点到直线的距离公式计算．‎ ‎6.在区间上随机取一个数，则的值介于到之间的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解得到x的范围，然后利用几何概型的概率公式计算即可.‎ ‎【详解】所有的基本事件构成的区间长度为，由，解得：，则，所以由几何概型的概率公式得的值介于0到之间的概率为，‎ 故选:D ‎【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎7.已知函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干条件得到周期为,,再由当时取最大值,,进而得到结果.‎ ‎【详解】，故，又，所以,，所以的值可能为.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数（A>0,ω>0）的性质：（1）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=；（2）称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令 ‎，求得x；利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.‎ ‎8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，由圆锥的体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，且大圆锥与被挖去的小圆锥共底面，大圆锥的底面圆半径为，高为，被挖去的小圆锥的底面圆半径为，高为，所以该几何体的体积为，‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查圆锥体积公式的计算，属于常考题型.‎ ‎9.若x，y满足约束条件，则的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组得到可行域，结合图像得到最值.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 作直线，将直线向右平行移动时，过点时直线分别在轴上截距最大与最小，此时取得最小值与最大值、联立方程组，所以，联立方程组，所以，所以将点坐标代入得，将点坐标代入得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积公式”为.若 ，则用“三斜求积公式”求得的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=24，则由a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA得a2+c2﹣b2=27，利用公式可得结论．‎ ‎【详解】由 可得，‎ 由 可得，‎ 整理计算有：，‎ 结合三角形面积公式可得： .‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎11.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形．‎ ‎12.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则，，记 ‎，则函数是奇函数，由已知的最大值为，最小值为，所以，即，故选A．‎ ‎【点睛】利用函数的奇偶性的图象特点来解决某些问题的常用方法，反映到图象上大致是：若函数在区间 上的最大值为，在图象上表现为点是函数图象在区间上的最高点，由图象的对称性可得点是函数图象在区间上的最低点.‎ 二、填空题：本题共4小题.‎ ‎13.函数的图像在处的切线方程是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求得切线斜率和切点坐标，利用点斜式可得切线方程.‎ ‎【详解】，所以，又当时，，所以切线方程为，故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎14.在中，角的对边分别为，若，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到，故c=2,再由余弦定理得到结果.‎ ‎【详解】由正弦定理可得，即 ‎.‎ 故根据余弦定理得到：，变形得到：.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答 ‎15.已知椭圆的离心率为，则_______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆的方程化为标准方程，然后根据焦点在x轴和y轴两种情况，利用离心率公式计算即可.‎ ‎【详解】将椭圆化为标准方程是，若，即，则椭圆的离心率为，解得：；若，即，则椭圆的离心率为，解得：. ‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查分类讨论思想和计算能力，属于基础题.‎ ‎16.如图，在正四面体中，是棱上靠近点的一个三等分点，则异面直线和所成角的余弦值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取棱上靠近点的一个三等分点，由已知得，所以是异面直线和所成的角或其补角，求出CE,CF和FE的长，利用余弦定理计算即可.‎ ‎【详解】如图，取棱上靠近点的一个三等分点，又因为是棱上靠近点的一个三等分点，所以，所以是异面直线和所成的角，不妨设正四面体的棱长为3，则，，，在中，由余弦定理，得 ，所以，同理，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知正项等比数列中，,且成等差数列.‎ 求数列的通项公式；‎ 若求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）成等差数列，根据等差中项的性质以及等比数列的通项公式得到，解得公比，即可得到结果；（2）根据第一问得到 ，进而得到的通项，再裂项求和即可.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为.‎ 因为成等差数列.‎ 所以，得.‎ 又，则，即.‎ 所以，所以，所以.‎ 所以.‎ 显然，所以，解得.‎ 故数列的通项公式.‎ 由知， .‎ 所以 =.‎ 则.‎ ‎=.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎18.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量单位：万只与相应年份序号的数据表和散点图如图所示，根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数单位：个关于x的回归方程．‎ 年份序号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊万只 根据表中的数据和所给统计量，求y关于x的线性回归方程参考统计量：，；‎ 试估计：该县第一年养殖山羊多少万只 ‎ 到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？‎ 附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎【答案】（1）（2）①万只 ②第年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据公式得到a,b,和均值，进而得到方程；（2）第年山羊养殖的只数为将x=1代入表达式结果；②列式得到，解出不等式可得到结果.‎ ‎【详解】设关于的线性回归方程为，‎ ‎.‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ 估计第年山羊养殖的只数为 第年山羊养殖的只数为，‎ 故该县第一年养殖山羊约万只.‎ 由题意，得，整理得，‎ 解得或（舍），‎ 所以到第年该县山羊养殖的数量相比第年缩小了.‎ ‎【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎19.如图，在四棱锥中,底面是矩形，,是棱的中点.‎ 求证：平面平面；‎ 设，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明，，则，所以；（2）利用，求得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）在矩形ABCD中， ‎ 又 ‎ 又 ‎ ‎（2）在中，，是棱的中点，∴ ‎ 由（1）知平面，∴. ‎ 又∵，∴平面 ‎ ‎, ‎ ‎∥,面,而面,‎ 所以，在中， ‎ ‎ ‎ 设点到平面的距离为 所以点到平面的距离为 ‎ ‎20.已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的定点，且.‎ 求抛物线的方程；‎ 直线与抛物线交于不同两点，直线AB与切线l平行，设切点为N点，设，试问的面积是否是定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出点M和F的坐标，根据向量坐标化得到，进而得到点M的坐标，代入抛物线可得到方程；（2）的中点为，联立直线AB和抛物线方程，得到，联立切线和抛物线得到切点的坐标为，，进而得到轴，，结合得到，.‎ ‎【详解】设，由题知，‎ 所以 所以即 代入中得，解得 所以抛物线的方程为 有题意知，直线的斜率存在，设其方程为 由消去，整理得 则 设的中点为，‎ 则点的坐标为 由条件设切线方程为 由消去，整理得 直线与抛物线相切，‎ ‎.‎ 切点的坐标为，‎ 轴，‎ 又 的面积为定值，且定值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1),对函数求导，研究函数的单调性，求函数最小值，证得函数的最小值大于0；（2）对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值和极值，进而得到参数的范围.‎ ‎【详解】证明：当时，.‎ 令则 当时，；当时，，时，‎ 所以在上单调递减，在单调递增，‎ 所以是的极小值点，也是最小值点，‎ 即 故当时，成立，‎ ‎ ，由得.‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调减，在单调增，‎ 所以是函数得极小值点，也是最小值点，‎ 即 当，即时，没有零点，‎ 当，即时，只有一个零点，‎ 当，即时，因为所以在上只有一个零点；‎ 由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点；‎ 因此，当时，有两个零点.‎ 综上，时，没有零点；‎ 时，只有一个零点；‎ 时，有两个零点.‎ ‎【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.‎ 求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹.‎ 若直线的极坐标方程为，求曲线上的点到直线的做大距离.‎ ‎【答案】（1）曲线的极坐标方程为，表示以为圆心，为半径的圆.（2）最大距离为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求得曲线C的标准方程可得到轨得到极坐标方程；（2‎ ‎）将直线的极坐标方程化为标准方程得到：，曲线上的点到直线的最大距离为，由圆心到直线的距离公式得到结果.‎ ‎【详解】由得 两式两边平方并相加，得.‎ 所以曲线表示以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入得，化简得.所以曲线的极坐标方程为.‎ 由，得，即，得.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ 因为圆心到直线的距离.‎ 所以曲线上的点到直线的最大距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆上的动点到直线的距离的最值问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理 ‎23.已知函数．‎ 求的解集；‎ 若，恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 根据绝对值定义去掉绝对值符号,即可得到不等式得解集；（2）不等式恒成立，等价于 ，根据绝对值定义去掉绝对值即可求得最大值，从而可得t的范围.‎ ‎【详解】（1），即，所以 所以，所以，‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）“”等价于“”，‎ ‎，成立，等价于 令，‎ 则 所以，即，解得 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的处理方法，属于基础题.‎