2017-2018学年广东省湛江第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年广东省湛江第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

湛江一中2017-2018学年度第二学期期中考试 高二级 数学科试卷（理）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：熊絮柳 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。‎ ‎3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，‎ 以上推理(　 )‎ A．结论正确　　　　B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎2. “”是“函数在上单调递增”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．下列计算错误的是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎ 4．已知三个方程：①②③(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( 　)‎ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③‎ ‎5.已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如图所示，则不等式的解集是(　　)‎ A．(－3，0) B．(－3，5) ‎ ‎ C．(0，5) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)‎ ‎6． 已知结论：“在正三角形中，若是的中点，是三角形的重心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若△的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7. 在极坐系中点 与圆 的圆心之间的距离为(　　)‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B. C. D.‎ ‎9． 用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎10.正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( 　)‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11．设函数，以下结论一定错误的是(　　)‎ A． B．若，则的取值范围是.‎ C． 函数在上单调递增 D．函数有零点 ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．观察下列等式: ‎ ‎…‎ 照此规律, 第n个等式可为 . ‎ 14. 已知直线参数方程为(t为参数)，直线与圆交于B、C两点,则线段中点直角坐标________.‎ 15. 已知函数,若函数在点处的切线平行于x轴，则实数b的值是________．‎ ‎16．若函数图象的对称中心为，记函数的导函数为，则有，设函数,则________．‎ 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(Ⅰ)求直线和圆的极坐标方程；（5分）‎ ‎(Ⅱ)设直线和圆相交于两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积．（5分）‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（1）计算，，，；（4分）‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．（8分）‎ ‎19 .（本小题满分12分）‎ ‎（1）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个 成立．（6分）‎ ‎（2）求证：（6分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为元（为常数，且，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为元（），根据市场调查，销售量与成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．‎ ‎（Ⅰ）求该工厂的每日利润元与每公斤蘑菇的出厂价元的函数关系式；（6分）‎ ‎（Ⅱ）若，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的利润最大，并求最大值．（6分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（5分）‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间．（7分）‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（5分）‎ ‎(Ⅱ)若，证明： ，总有.（7分）‎ 湛江一中2017-2018学年度第二学期期中考试 高二级 理科数学试卷 参考答案及评分标准 一、 选择题：（每题5分，满分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C B B C D B B A B C 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ 13. 14. ‎ 15. -2 16.0‎ ‎16.【解析】由题意得，，解得，，因为，即函数的图象关于点对称，‎ 则 ‎，故答案为0．‎ ‎17.解：（Ⅰ）求直线l的普通方程为 （1）……………………（1分）‎ 将代入（1）得 化简得直线l的方程为 …………………………（3分）‎ 圆C的极坐标方程为 ……………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ） 解之得：A(2,0) , B(2,) ……………………（6分）,…………………（8分） ………（10分）‎ ‎18. 解：（1）由已知得 当时，有；‎ ‎ 当时，有； 同理可得 ‎ ‎（说明：，，，一个1分） …………4分 （2）猜想： …………5分 ‎ 证明：①当时，由（1）得，等式成立 ……6分 ‎②假设当时，成立 …………7分 则 当时，有 ‎ ……9分 ‎ …………10分 ‎ 即 当时，等式也成立 ……………………………11分 ‎ 综合①②可知 对一切都成立 ………………12分 ‎19. 证明：（1）假设＜2和＜2都不成立，即2和2同时成立．‎ ‎∵x＞0且y＞0，∴，且．‎ 两式相加得，∴．这与已知条件矛盾，‎ ‎∴＜2和＜2中至少有一个成立．……………………（6分）‎ ‎（2）原式子等价于2，两边平方得到 恒成立，得证．……………………（12分）‎ ‎20．解：（Ⅰ）设日销量 …………………（2分）‎ ‎ 日销量 ． ……（6分）‎ ‎（Ⅱ）当时，…………………………………（7分）‎ ‎ …………………………………………………（8分）‎ ‎ ，‎ ‎………………（10分）‎ ‎ ………………………………………（11分）‎ 当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为元．（12分）‎ ‎21．解（I）当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝－1＋2x. ………（2分）‎ 由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，…………………………………………………（4分）‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln 2＝(x－1)，‎ 即3x－2y＋2ln 2－3＝0. …………………………………………………………（5分）‎ ‎（II）f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．……………………………（6分）‎ 当k＝0时，f′(x)＝－.‎ 所以，在区间(－1,0)上，f′(x)> 0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.‎ 故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．……………（7分）‎ 当00.‎ 所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；在区间(0，)上，f′(x)<0.‎ 故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，单调递减区间是(0，)（9分）‎ 当k＝1时，f′(x)＝.故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)…………（10分）‎ 当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.‎ 所以，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；在区间(，0)上，f′(x)<0.‎ 故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，单调递减区间是(，0)（12分）‎ ‎22．解：(Ⅰ)由题意得，…………………………（1分）‎ 若函数存在单调减区间，则………………（2分）‎ 即存在取值区间，即存在取值区间………（4分）‎ 所以.…………………………………………………………………………（5分）‎ ‎ (Ⅱ)当时，‎ ‎…………………（6分）‎ 由有，从而，‎ 要证原不等式成立，只要证对恒成立（7分）首先令，由，可知，‎ 当时单调递增，当时单调递减，‎ 所以，有………………………（9分）‎ 构造函数，，‎ 因为，‎ 可见，在时，，即在上是减函数，‎ 在时，，即在上是增函数，‎ 所以,在上，，所以.‎ 所以，，等号成立当且仅当时，……………………（11分）‎ 综上：，由于取等条件不同，‎ 故，所以原不等式成立. ………………………………（12分）‎