【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第8讲曲线与方程作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第8讲曲线与方程作业

A组　基础关 ‎1．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 答案　A 解析　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，‎ 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.‎ ‎2．(2018·安顺三模)曲线C：x2＋2xy＋4＝0的对称性为(　　)‎ A．关于原点成中心对称 B．关于点(－2,0)成中心对称 C．关于直线y＝x对称 D．曲线C不具有对称性 答案　A 解析　设点P(a，b)(a，b∈R)在曲线上，则a2＋2ab＋4＝0，即(－a)2＋2(－a)(－b)＋4＝0，则P点关于原点的对称点P′(－a，－b)也在曲线上，∴曲线关于原点对称．‎ ‎3.(2018·安徽六安一中月考)如图，已知F1，F2是椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案　B 解析　延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的角平分线，且PQ⊥F‎2M，所以在△PF‎2M中，|PF2|＝|PM|，且Q为线段F‎2M的中点．又O为线段F‎1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|＝|F‎1M|＝(|PF1|＋|PF2|)．根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝‎2a，所以|OQ|＝a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.‎ ‎4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．‎ 答案　4π 解析　设点P的坐标为(x，y)．则由|PA|＝2|PB|得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积为4π.‎ ‎5．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA＝sinC，则C点的轨迹方程为________．‎ 答案　＋＝1(x≠±5)‎ 解析　由sinB＋sinA＝sinC利用正弦定理可知|AC|＋|BC|＝|AB|＝10>|AB|，所以点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为10的椭圆(不含左、右顶点)，其轨迹方程为＋＝1(x≠±5)．‎ ‎6.如图，P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　由于＝＋，又＋＝2＝－2.‎ 设Q(x，y)，则＝－＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即Q的轨迹方程为＋＝1.‎ B组　能力关 ‎1．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是(　　)‎ A．y2＝8x B．y2＝8x(x>0)和y＝0‎ C．y2＝8x(x>0)‎ D．y2＝8x(x>0)和y＝0(x≤0)‎ 答案　D 解析　如图，设与y轴相切且与圆C：x2＋y2－4x＝0外切的圆心为P(x，y)，半径为r，‎ 则＝|x|＋2.‎ 若x>0，则y2＝8x；‎ 若x≤0，则y＝0.‎ ‎2．(2018·沈阳月考)在△ABC中，B(－，0)，C(，0)，AB，AC边上的中线长之和为9.则△ABC重心G的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)‎ C.－y2＝1(y≠0) D．x2－＝1(y≠0)‎ 答案　B 解析　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，‎ ‎∵BG＝BE，CG＝CD，‎ ‎∴BG＋CG＝(BE＋CD)＝6(定值)．‎ 因此，G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，且‎2a＝6，c＝，‎ ‎∴a＝3，b＝2，可得椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎∵当G点在x轴上时，A，B，C三点共线，不能构成△ABC.‎ ‎∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选B.‎ ‎3．已知圆C：x2＋y2＝25，过点M(－2,3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点Q时，点Q的轨迹方程为________．‎ 答案　2x－3y＋25＝0‎ 解析　圆C：x2＋y2＝25的圆心C为(0,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，因为AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA，所以(x1－x0)(x1－0)＋(y1－y0)(y1‎ ‎－0)＝0，即x－x0x1＋y－y0y1＝0，因为x＋y＝25，所以x0x1＋y0y1＝25，同理x0x2＋y0y2＝25，所以过点A，B的直线方程为xx0＋yy0＝25.因为直线AB过点M(－2,3)，所以得－2x0＋3y0＝25，所以点Q的轨迹方程为2x－3y＋25＝0.‎ ‎4．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，则点P的轨迹C的方程为________．‎ 答案　＋y2＝1‎ 解析　设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，则 ＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，因为＝，‎ 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得 x0＝x，y0＝(1＋)y.‎ 因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，‎ 所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，‎ 化简得＋y2＝1.‎ 所以点P的轨迹方程为＋y2＝1.‎ ‎5．(2018·广州模拟)已知点C(1,0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．‎ ‎(1)求点P的轨迹T的方程；‎ ‎(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)连接CP，OP，OA，‎ 由·＝0，知AC⊥BC，‎ ‎∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，‎ 由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，‎ 即|OP|2＋|CP|2＝9，‎ 设点P(x，y)，则有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，‎ 化简，得x2－x＋y2＝4.‎ ‎(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，其中＝1.‎ ‎∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，‎ 由方程组得x2＋3x－4＝0，‎ 解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，‎ 故取x＝1，此时y＝±2.‎ 故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．‎