辽宁省沈阳市第一七零中学2019-2020学年高一上学期阶段性测试数学试题

辽宁省沈阳市第一七零中学2019-2020学年高一上学期阶段性测试数学试题

www.ks5u.com 高一年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）‎ ‎1.已知，且，则（ ）‎ A. B. C. 10 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标关系可求得,即可求得.‎ ‎【详解】因为,且 所以,解得 所以 则 故选:B ‎【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系,向量模的求法,属于基础题.‎ ‎2. 圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是(　　)‎ A. cm2 B. cm2‎ C. πcm2 D. 3πcm2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，‎ ‎∴S＝lr＝××6＝(cm2)．‎ ‎【详解】∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，‎ ‎∴S＝lr＝××6＝(cm2)．‎ ‎3.已知，则的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式有意义条件及定义域,结合正弦函数单调递增区间即可求解.‎ ‎【详解】函数定义域为,根据二次根式有意义条件可得 ‎,解得 而的单调递增区间为 ‎ 则 解得 即,即 故选:C ‎【点睛】本题考查了正弦函数的单调性求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.‎ ‎4.如图所示，已知AB是圆O直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A. a－b B. a－b C. a＋b D. a＋b ‎【答案】D ‎【解析】‎ 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ ‎5.已知，是方程的两根，则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出实数即可 ‎【详解】由Δ≥0知，a≤.‎ 又 由(1)2得：sinαcosα＝－，∴＝－，∴a＝－.‎ ‎6.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】（A）（C）、（D）恒成立，（B）当 方向相反时不成立 ,所以选B.‎ ‎7.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎，选D.‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎8.将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得函数的解析式 ‎【详解】试题分析：解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数 再向下平移一个单位得函数的解析式为 故选A.‎ 考点：1、三角函数的图象;2、诱导公式.‎ ‎9.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，则向量的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据投掷两次的结果作为,可得.由及,可得与的关系,进而求得符合的概率.‎ ‎【详解】因为投掷两次的结果作为 所以共有36种情况,如下所示: ‎ ‎,,,,,;‎ ‎,,,,,;‎ ‎,,,,,;‎ ‎,,,,,;‎ ‎,,,,,;‎ ‎,,,,,;‎ 因为,且,‎ 则满足,即 在上述36种情况中,满足的有,,.共3种.‎ 所以满足的概率为 故选:B ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,将符合要求的事件通过列举法全部列举出来是常用方法,属于基础题.‎ ‎10.设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)‎ A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. c＜a＜b ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简的表达式，利用正切的二倍角公式化简的表达式，利用降次公式化简的表达式，最后利用正弦函数的单调性以及这个性质，比较大小，得出正确选项.‎ ‎【详解】由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b. 答案D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用辅助角公式、二倍角公式以及降次公式化简三角函数的表达式，属于基础题.‎ ‎11.已知，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值．‎ ‎【详解】解：∵tan（α），则tanα，‎ ‎∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），‎ 可得 sinα．‎ ‎∴‎ ‎2sinα＝2（）．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )‎ ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.‎ 考点：向量在几何中的应用.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).‎ ‎13.已知向量，且，则实数x的值为____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的加法和减法运算,可先分别求得和.再由向量垂直的坐标关系即可求得的值.‎ ‎【详解】因为 ‎ 则 因为 则满足即 则,化简可得 解方程可得 ‎ 故答案为: 或 ‎【点睛】本题考查了向量坐标的加法减法运算,向量垂直的坐标关系,属于基础题.‎ ‎14.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=　_________　．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3．‎ 故答案为3．‎ ‎15.已知，则=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式化简可求得的值.由诱导公式化简,结合同角三角函数关系式及齐次式的化简,再代入的值即可求解.‎ ‎【详解】由诱导公式化简可知 则 ‎ 因为 分子分母同时除以可得 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的简单应用,同角三角函数关系式的应用,齐次式化简三角函数并求值,属于基础题.‎ ‎16.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可得,函数.‎ 再把点代入函数的解析式可得sin(π+φ)=−sinφ=−，‎ ‎∴sinφ=.‎ 再由,,可得.‎ 点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知向量与满足： ，‎ ‎(1)求向量与的夹角；‎ ‎(2)求；‎ ‎(3)若，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由数量积的定义求得及，利用即可求得；‎ ‎（2）利用即可求得；‎ ‎（3）利用面积公式即可求得.‎ 试题解析：‎ ‎(1) .‎ 又，‎ ‎.又.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎(3)与的夹角.‎ 又，‎ ‎.‎ 点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.‎ ‎18.已知0＜β＜＜α＜π，且，，求cos（α＋β）的值．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围;（2）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确;（3）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围．‎ 试题解析：解：，，‎ ‎∴＝＝，sin＝＝，‎ ‎∴＝‎ ‎＝＋sinsin ‎＝×＋×＝，∴（α＋β）＝2－1＝2×－1＝－．‎ 考点：根据三角函数值求值．‎ ‎19.已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)函数f(x)要有意义需满足cos x≠0，解得x≠＋kπ(k∈Z)；‎ ‎（2）由tan α＝－得cos α＝，sin α＝－，代入函数f(x)即可 ‎【详解】(1)函数f(x)要有意义需满足cos x≠0，解得x≠＋kπ(k∈Z)，‎ 即f(x)的定义域为 ‎(2)f(x)＝＝＝‎ ‎＝2(cos x－sin x)，‎ 由tan α＝－，得sin α＝－cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos2α＝.‎ ‎∵α是第四象限的角，∴cos α＝，sin α＝－，‎ ‎∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝‎ ‎20.已知向量, 设函数.‎ ‎(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）的最小正周期为. ‎ ‎（Ⅱ），，‎ 故当即时，‎ 当即时，‎ 本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.‎ ‎【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．‎ ‎21.衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.‎ ‎【答案】（1）3人，2人，1人；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有种情况，其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）第组的人数为；第组的人数为；第组的人数为 因为第组共有名志愿者，所以利用分层抽样方法在名志愿者中抽取名 每组抽取的人数分别为：‎ 第组：；第组：；第组：‎ 所以应从第组中分别抽取人，人，人 ‎（2）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为 则从名志愿者中抽取名志愿者有：，共种 其中第组名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：，共种 所以第组至少有一名志愿都被抽中的概率为：‎ ‎【点睛】本题考查根据分层抽样原理计算抽样比、每层的样本数量、古典概型的概率问题的求解.对于基本事件个数较少的古典概型问题，通常采用列举法来进行求解.‎ ‎22.已知向量，且，设函数，‎ ‎（1）若的图象中相邻两条对称轴间距离不小于，求的取值范围；‎ ‎（2）若的最小正周期为，且当，时，的最大值为2，求k的值.‎ ‎【答案】(1) (2)1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量坐标的加法运算和乘法运算,代入可求得的解析式,结合辅助角公式化简.由周期公式及相邻两条对称轴间距离不小于,即可求得的取值范围.‎ ‎（2）根据最小正周期,代入可求得解析式.根据定义域,可求得最大值时的值.代入即可求得k的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得：‎ 又 的取值范围是 ‎（2）‎ ‎∴当 当时,取得最大值 ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,三角函数恒等变形及其应用,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎