四川省南充市高坪区白塔中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

四川省南充市高坪区白塔中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

白塔中学高二（上）期期中考试卷 数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项）．‎ ‎1.直线方程分别为,直线倾斜角分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两条直线的斜率后可得它们的倾斜角的大小.‎ ‎【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 故，，因为，‎ 故，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】对于直线方程，其斜率为，注意直线的倾斜角与斜率的关系为：（1）当 时，；（2）当时，斜率不存在.‎ ‎2.我市修建经济适用房．已知我市顺庆、高坪、嘉陵三个区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各区户数，则应从顺庆区中抽取低收入家庭的户数为（ ）‎ A. 40 B. 36 C. 30 D. 20‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每个个体被抽到的概率，用顺庆区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率，即得应从顺庆区中抽取低收入家庭的户数．‎ ‎【详解】顺庆、高坪、嘉陵三个区分别有低收入家庭户、户、户，‎ 对应的户数比为:，‎ 则应从顺庆区中抽取低收入家庭的户数为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样的定义，属于基础题．‎ ‎3.执行所示程序后输出的结果是：‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当n=5，S=0时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=5，n=4；‎ 当n=4，S=5时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=9，n=3；‎ 当n=3，S=9时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=12，n=2；‎ 当n=2，S=12时，满足进入循环条件，执行完循环体后，S=14，n=1；‎ 当n=1，S=14时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=15，n=0；‎ 当n=0，S=15时，不满足进入循环的条件，退出循环体后，输出n=0‎ 故选B.‎ ‎4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】根据框图的循环结构依次可得:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎,‎ 跳出循环,输出.故C正确.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．‎ ‎5.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．‎ ‎【详解】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 故选：B．‎ ‎【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．‎ ‎6.设点是点关于平面的对称点，则等于（ ）‎ A. B. 10 C. D. 38‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中的两个点关于平面对称时的坐标关系可求的坐标，再利用两点之间的距离公式可求.‎ ‎【详解】因为点是点关于平面的对称点，故，‎ 故，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查空间中关于坐标平面对称的点的坐标关系，此类问题属于基础题.‎ ‎7.圆和圆的公切线有（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．‎ ‎【详解】解答：‎ 圆,表示以为圆心，半径等于的圆。‎ 圆,表示以为圆心，半径等于的圆。‎ 两圆的圆心距等于，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考察公切线条数的确定，解题的关键是要确定两圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎8. 从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）‎ A. A与C互斥 B. A与B互为对立事件 C. B与C互斥 D. 任何两个均互斥 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 解：从一批产品中取出三件产品，‎ 设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，‎ 事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；‎ 事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；‎ 事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；‎ 由B与C不是互斥事件得D错误．‎ 故选：A．‎ 考点：互斥事件与对立事件．‎ ‎9.‎ ‎ 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．‎ 解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，‎ 解这个方程组需要用一些技巧，‎ 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，‎ 设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；‎ ‎∴|x﹣y|=2|t|=4，‎ 故选D．‎ 考点：极差、方差与标准差．‎ ‎10.已知过点和的直线与直线（ ）‎ A. 垂直 B. 重合 C. 平行 D. 相交 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求直线的斜率，再求直线的斜率，然后判断即可.‎ ‎【详解】直线的斜率,直线的斜率为，所以，故两直线平行.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查已知两点求斜率以及两条直线位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎11.不等式组所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.‎ ‎【详解】不等式组对应的可行域如图所示：‎ 由得到，两条直线的纵截距分别为和，故不等式组对应的可行域的面积为，故选C.‎ ‎【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算．‎ ‎12.设直线与圆心为O的圆交于A，B两点，则直线AO与BO的倾斜角之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线和圆的方程可得点的坐标，分别得出直线的倾斜角即可.‎ ‎【详解】由可得，‎ 代入整理可得 ，‎ 解得,,分别可得,，‎ ‎, ，‎ 直线与的的倾斜角分别为,，‎ 直线与的倾斜角之和为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13.在长方体，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥内的概率为_________________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方体的棱长为，求出三棱锥的体积后可得所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 设正方体的棱长为，则正方体的体积为，.‎ 设为事件“动点在三棱锥内”，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最大值时最优解为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式对应的可行域，平移动直线可得取最大值时的最优解.‎ ‎【详解】不等式组对应的可行域如图所示：‎ 当动直线过时，取最大值，此时，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．‎ ‎15.若点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)面积的最小值为________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求SPAOB=2S△PAO=‎ 的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求 ‎【详解】：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB SPAOB=2S△PAO=‎ 又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小 点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，‎ 当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4‎ 所求四边形PAOB的面积的最小值为8‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．‎ ‎16.设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是____‎ ‎①存在一条定直线与所有的圆均相切；‎ ‎②存在一条定直线与所有的圆均相交；‎ ‎③存在一条定直线与所有的圆均不相交；‎ ‎④所有的圆均不经过原点．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知得圆心，由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，即可判断出真命题个数．‎ ‎【详解】根据题意得：圆心坐标为，‎ 圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；‎ 考虑两圆的位置关系：‎ 圆：圆心，半径为，‎ 圆：圆心，即，半径为，‎ 两圆的圆心距，‎ 两圆的半径之差，‎ 任取或时，（）， 含于之中，选项①错误；‎ 若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，‎ 将带入圆的方程,则有，即（），‎ 因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确。‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题.‎ 三．解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；‎ ‎(2)求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程．‎ ‎【答案】(1) 4x－3y±30＝0．(2) 9x＋18y－4＝0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由设出所求直线4x－3y＋c＝0，利用点到直线的距离求得参数值，从而求得直线；（2）由两直线联立方程求得交点，由直线求得直线斜率，从而得到点斜式方程 试题解析：（1）设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0．‎ 由已知：＝6，解得c＝±30，‎ 故所求的直线方程为4x－3y±30＝0．‎ ‎（2）设所求的直线方程为 ‎2x＋3y－5＋λ（7x＋15y＋1）＝0，‎ 即（2＋7λ）x＋（3＋15λ）y＋λ－5＝0，‎ 由已知－＝－，解得λ＝1．‎ 故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0．‎ 考点：1．直线方程；2．直线平行垂直的位置关系 ‎18.已知点及圆.‎ ‎（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；‎ ‎（2）求过点圆的弦的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1) 或；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D（x，y），利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程 试题解析：（1）解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，‎ 在Rt△ACD中，可得CD＝2．‎ 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，‎ 即kx－y＋5＝0．‎ 由点C到直线AB的距离公式：‎ ‎＝2，得k＝．‎ k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0．‎ 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．‎ ‎∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0．‎ ‎（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），‎ 则CD⊥PD，即 ‎（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．‎ 考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题 ‎19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.‎ 分数段 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x∶y ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ ‎【答案】（1）（2） (分)（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到的值；‎ ‎（2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；‎ ‎（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在之外的人数．‎ ‎【详解】解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.‎ ‎(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．‎ ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为 ‎0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 ‎.‎ 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及计算，解题关键是认真识图，不遗漏条件，属于基础题.‎ ‎20.下表提供了某新生婴儿成长过程中时间（月）与相应的体重（公斤）的几组对照数据（与具有较好的线性关系）.‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎（1）请根据表中提供的数据，求出线性回归方程：；‎ ‎（2）由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为多少？‎ ‎（参考公式和数据：）‎ ‎【答案】（1）；（2）推测当婴儿生长满五个月时的体重为公斤.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式可求回归方程.‎ ‎（2）利用（1）的回归方程可求推测值.‎ ‎【详解】解：（1），．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）当时，．‎ 答：由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为公斤．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法及其应用，注意线性回归方程表示的直线经过，此类问题属于基础题.‎ ‎21.已知关于的一元二次方程 ‎（1）若，是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．‎ ‎（2）若，，求方程没有实根的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知本题是古典概型，计算基本事件的总数和“方程有两个正根”的事件数，计算所求的概率值；‎ ‎（2）由题意知本题是几何概型，计算试验的全部结果构成区域和满足条件的事件组成区域，计算面积比即可．‎ ‎【详解】（1）由题意知本题是一个古典概型，用表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件的总数有个，二次方程有两正根，‎ 等价于 即 ‎“方程有两个正根”的事件为，则事件包含的基本事件为：、 、 、‎ ‎， 共个，‎ ‎∴所求的概率为.‎ ‎（2）由题意知本题是一个几何概型，如图所示：‎ 试验的全部结果构成区域，‎ 其面积为， ‎ 满足条件的事件为：，‎ 其面积为，‎ 所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型以及用列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆上有两点关于直线对称，且,求直线MN的方程；‎ ‎（3）圆与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．（2）或.（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)关键是利用点到直线距离求出半径.‎ ‎（2）可设直线MN的方程为.则圆心到直线MN的距离.由垂径分弦定理得：，从而解出m的值.‎ ‎(3) 不妨设．由得．‎ 设，由成等比数列，得，即．=,再根据点P在圆内，确定出y的取值范围，进而确定的取值范围.‎ 解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ 即．‎ 得圆的方程为． ‎ ‎（2）由题意，可设直线MN的方程为.‎ 则圆心到直线MN的距离 由垂径分弦定理得：，即.‎ 所以直线MN的方程为：或 ‎（3）不妨设．由得．‎ 设，由成等比数列，得 ‎，即．‎ ‎∴=‎ 由于点在圆内，故由此得 所以的取值范围为 ‎ ‎