2020届高考分类汇编06：选修4-4,4-5(含解析)

2020届高考分类汇编06：选修4-4,4-5(含解析)

2020 届全国各地高考试题分类汇编目录 01 集合..........................................................................................................................................................................1 02 复数..........................................................................................................................................................................5 03 逻辑用语..................................................................................................................................................................8 04 函数与导数........................................................................................................................................................... 10 05 三角函数和解三角形............................................................................................................................................34 06 平面向量................................................................................................................................................................ 47 07 数列....................................................................................................................................................................... 53 08 不等式和线性规划............................................................................................................................................... 69 09 空间立体几何....................................................................................................................................................... 73 10 平面解析几何....................................................................................................................................................... 98 11 统计和概率.........................................................................................................................................................123 12 极坐标和参数方程.............................................................................................................................................142 13 不等式选讲.........................................................................................................................................................147 12 极坐标和参数方程 1.（2020•全国 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos , sin k k x t y t     (t 为参数 ) ．以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0      ． （1）当 1k  时， 1C 是什么曲线？ （2）当 4k  时，求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标． 【答案】（1）曲线 1C 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2） 1 1( , )4 4 . 【解析】（1）利用 2 2sin cos 1t t  消去参数 t ，求出曲线 1C 的普通方程，即可得出结论； （2）当 4k  时， 0, 0x y  ，曲线 1C 的参数方程化为 2 2 cos ( sin x t t y t    为参数），两式相加消去参数t ， 得 1C 普通方程，由 cos , sinx y     ，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立 1 2,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当 1k  时，曲线 1C 的参数方程为 cos (sin x t ty t    为参数）， 两式平方相加得 2 2 1x y  ，所以曲线 1C 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆； （2）当 4k  时，曲线 1C 的参数方程为 4 4 cos ( sin x t t y t     为参数）， 所以 0, 0x y  ，曲线 1C 的参数方程化为 2 2 cos ( sin x t t y t    为参数）， 两式相加得曲线 1C 方程为 1x y  ， 得 1y x  ，平方得 2 1,0 1,0 1y x x x y       ， 曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0      ，曲线 2C 直角坐标方程为 4 16 3 0x y   ， 联立 1 2,C C 方程 2 1 4 16 3 0 y x x x y        ，整理得12 32 13 0x x   ，解得 1 2 x  或 13 6x  （舍去）， 1 1,4 4x y   ， 1 2,C C 公共点的直角坐标为 1 1( , )4 4 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系， 要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 2.（2020•全国 2 卷）已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y       ， （θ为参数），C2： 1, 1 x t t y t t       （t 为参数）. （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 【答案】（1） 1 : 4C x y  ； 2 2 2 : 4C x y  ；（2） 17 cos5   . 【解析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极 坐标方程. 【详解】（1）由 2 2cos sin 1   得 1C 的普通方程为： 4x y  ； 由 1 1 x t t y t t       得： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x t t y t t         ，两式作差可得 2C 的普通方程为： 2 2 4x y  . （2）由 2 2 4 4 x y x y      得： 5 2 3 2 x y     ，即 5 3,2 2P     ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中 0a  ， 则 2 2 25 302 2a a             ，解得： 17 10a  ，所求圆的半径 17 10r  ， 所求圆的直角坐标方程为： 2 2 217 17 10 10x y            ，即 2 2 17 5x y x  ， 所求圆的极坐标方程为 17 cos5   . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐 标方程等知识，属于常考题型. 3.（2020•全国 3 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 2 3 x t t y t t         （t 为参数且 t≠1），C 与 坐标轴交于 A、B 两点． （1）求| |AB ； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． 【答案】（1） 4 10 （2）3 cos sin 12 0      【解析】（1）由参数方程得出 ,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值； （2）由 ,A B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】（1）令 0x  ，则 2 2 0t t   ，解得 2t   或 1t  （舍），则 2 6 4 12y     ，即 (0,12)A . 令 0y  ，则 2 3 2 0t t   ，解得 2t  或 1t  （舍），则 2 2 4 4x      ，即 ( 4,0)B  . 2 2(0 4) (12 0) 4 10AB      ； （2）由（1）可知 12 0 30 ( 4)ABk    ， 则直线 AB 的方程为 3( 4)y x  ，即3 12 0x y   . 由 cos , sinx y     可得，直线 AB 的极坐标方程为3 cos sin 12 0      . 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题. 4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点 1 π( , )3A  在直线 : cos 2l    上，点 2 π( , )6B  在圆 : 4sinC   上（其中 0  ， 0 2   ）． （1）求 1 ， 2 的值 （2）求出直线 l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1） 1 24 2  ， （2） (2 2, )4  【解析】(1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 1 1cos 2, 43     ，因为点 B 为直线 6   上，故其直角坐标方程为 3 3y x ， 又 4sin  对应的圆的直角坐标方程为： 2 2 4 0x y y   ， 由 2 2 3 3 4 0 y x x y y       解得 0 0 x y      或 3 1 x y    ， 对应的点为   0,0 , 3,1 ，故对应的极径为 2 0  或 2 2  . （2） cos 2, 4sin , 4sin cos 2, sin 2 1            ， 5[0,2 ), ,4 4       ，当 4   时 2 2  ； 当 5 4   时 2 2 0    ，舍；即所求交点坐标为当 (2 2, ),4  【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 13 不等式选讲 1.（2020•全国 1 卷）已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x    ． （1）画出 ( )y f x 的图像； （2）求不等式 ( ) ( 1)f x f x  的解集． 【答案】（1）详解解析；（2） 7, 6      . 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数  f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数  1f x  的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为   3, 1 15 1, 13 13, 3 x x f x x x x x                ，作出图象，如图所示： （2）将函数  f x 的图象向左平移1个单位，可得函数  1f x  的图象，如图所示： 由  3 5 1 1x x     ，解得 7 6x   ．所以不等式 ( ) ( 1)f x f x  的解集为 7, 6      ． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于 基础题． 2.（2020•全国 2 卷）已知函数 2( ) | 2 1|f x x a x a     . （1）当 2a  时，求不等式 ( ) 4f x … 的解集； （2）若 ( ) 4f x … ，求 a 的取值范围. 【答案】（1） 3 2x x  或 11 2x   ；（2）   , 1 3,   . 【解析】（1）分别在 3x  、 3 4x  和 4x  三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到    21f x a  ，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当 2a  时，   4 3f x x x    . 当 3x  时，   4 3 7 2 4f x x x x       ，解得： 3 2x ≤ ； 当 3 4x  时，   4 3 1 4f x x x      ，无解； 当 4x  时，   4 3 2 7 4f x x x x       ，解得： 11 2x  ； 综上所述：   4f x  的解集为 3 2x x  或 11 2x   . （2）        22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a                （当且仅当 22 1a x a   时取等号），  21 4a   ，解得： 1a   或 3a  ， a 的取值范围为   , 1 3,   . 全国高中数学教师群：1142300029 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 3.（2020•全国 3 卷）设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】（1）由 2 2 2 2( ) 2 2 2 0a b c a b c ab ac bc         结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设 max{ , , }a b c a ，由题意得出 0, , 0a b c  ，由  2 2 2 3 2 2b c b c bca a a bc bc       ，结 合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1） 2 2 2 2( ) 2 2 2 0a b c a b c ab ac bc         ，  2 2 21 2ab bc ca a b c       . 1, , ,abc a b c  均不为 0 ，则 2 2 2 0a b c   ，  2 2 21 2 0ab bc ca a b c        ； （2）不妨设 max{ , , }a b c a ， 由 0, 1a b c abc    可知， 0, 0, 0a b c   ， 1,a b c a bc     ，  2 2 2 3 2 2 2 2 4b c b c bc bc bca a a bc bc bc           . 当且仅当b c 时，取等号， 3 4a  ，即 3max{ , , } 4a b c … . 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 4.（2020•江苏卷）设 xR ，解不等式 2 | 1| | | 4x x   ． 【答案】 22, 3     【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】 1 2 2 4 x x x        或 1 0 2 2 4 x x x        或 0 2 2 4 x x x      2 1x    或 1 0x ≤ ≤ 或 20 3x  ,所以解集为 22, 3     【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.