江苏省南通市如东县高级中学2020届高三上学期10月月考数学试题

江苏省南通市如东县高级中学2020届高三上学期10月月考数学试题

如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月 调研测试数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.设集合，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合的交集运算求解即可 ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合型对数函数的定义域进行求解 ‎【详解】，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的定义域，是基础题.‎ ‎3.命题“”的否定是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将全称量词改存在量词，再否定结论即可，“都有”改为“有”，大于号改成小于等于号 ‎【详解】全称量词改存在，再否定结论，即“”的否定是：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，全称改存在，再否定结论 ‎4.已知，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正切的和角公式求出，再根据，利用同角三角函数基本关系求出 ‎【详解】由，又因，根据同角三角函数的基本关系，可求得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正切三角函数和角公式的求法，同角三角函数的基本求法，解题关键是正确掌握四象限对应三角函数的正负值 ‎5.若直线：()与直线：的距离为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可.‎ ‎【详解】直线：()与直线：平行，直线：可化为，利用两直线平行的距离公式：，可求得或，因为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，的系数需化成一致，以免造成误解.‎ ‎6.已知函数f(x)＝sin.若y＝f(x－φ)是偶函数，则φ＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 利用偶函数定义求解．y＝f(x－φ)＝sin＝sin是偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，得φ＝－－，k∈Z.又0＜φ＜，所以k＝－1，φ＝.‎ ‎7.设函数，若，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，当时，解，当时，解，即可求出.‎ ‎【详解】当时,由得，解得，又，所以无解，当时，由得，解得，故填.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式及分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎8.定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化成，令，，根据两函数图像交点，再结合奇函数性质求出零点个数即可 ‎【详解】由可得，令，，分别画出两个函数图像，如图所示 当大于零时，与有一个交点，根据奇函数的对称性，在时还存在一个关于原点对称的交点，又因定义域，所以 所以在上方程的实根个数为3个 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查函数零点个数的求解问题，函数与方程转化，数形结合的重要思想，通过构造函数，转化成两函数交点问题，往往能将问题简化，这也是解决零点问题常用的基本方法 ‎9.若是不等式成立的充分不必要条件,则实数的范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得不等式的解集，然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】不等式可转化为，解得，由于是的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.‎ 集合的三要素是：确定性、互异性以及无序性.‎ ‎10.已知直线的方程是，是直线上的两点，且是正三角形（为坐标原点），则外接圆的方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AB中点D，连结OD，由已知得圆心在OD上，且半径为，由此能求出圆的方程 ‎【详解】如图所示：‎ 取AB中点D，连结OD，是正三角形， ，过点的直线为，联立得D点坐标为，‎ 则，由已知得圆心在OD上，且半径为（重心性质）‎ 圆心为，圆的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角形外接圆的方程的求法，正三角形是解题的关键，数形结合思想的合理运用更能辅助解题 ‎11.在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入曲线求出关于的关系式，再结合两直线垂直的条件和曲线在点的导数求解即可 ‎【详解】将点代入曲线可得，曲线的导数为 ‎，根据曲线在点处的切线与直线垂直，所以过曲线上点的切线斜率为，联立得，，则 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查曲线在某点对应切线斜率的求法，两直线垂直时斜率的关系，是中档题型.‎ ‎12.在三角形中，，，若对任意的恒成立，则角的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用平面向量数量积公式，以为基底，表示出的关系式，再利用不等式的关系进行求解即可 ‎【详解】‎ 如图，由，即恒成立，同时除以得：，‎ ‎，当且仅当时等号成立，所以，‎ 又因，所以 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查根据向量数量积公式求解参数问题，基本不等式求最值问题，是中档题 ‎13.已知函数，记为函数图像上的点到直线的距离的最大值，那么的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如解析中的图所示，我们研究平行直线系与函数图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线与之间，图象上的个别点在直线上．‎ 设两条平行直线与之间的距离为．我们发现只有经过点，，与图象相切于点时，的最小值．求出即可 ‎【详解】‎ 我们研究平行直线系与函数图象的关系，‎ 其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线与之间，图象上的个别点在直线上．‎ 设两条平行直线与之间的距离为．‎ 我们发现只有经过点，，与图象相切于点时，‎ 的最小值．‎ 设，．‎ ‎，，解得．‎ ‎，直线的方程为：．‎ ‎（点到直线距离）‎ 的最小值．‎ 的最小值为：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于难题 ‎14.若存在，使得关于的方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，把关于的方程有四个不等的实数根转化为与的图象有四个不同交点，利用导数研究的单调性并画简图，得到，即存在，有，再由导数得到的单调性，求得最小值即可求得实数的取值范围 ‎【详解】由，‎ 得，‎ 令，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 在上为减函数，在上为增函数；‎ 当上，，当时，，当时，， ‎ 在上为减函数，在上为增函数．‎ 则．‎ 作出函数的图象，如图：‎ 由图可知，要是关于的方程有四个不等的实数根，‎ 则需与的图象有四个不同交点，则，‎ 即存在，有，令，则．‎ 在上为增函数，则，‎ 又，实数的取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，数形结合的解题思想方法，利用导数求最值，属于难题 二、解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若，，求函数的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）采用二倍角公式化简表达式，根据求周期 ‎（2）先求出，根据复合函数的定义域和复合函数的增减性，结合进行求解即可 ‎【详解】解：（1），‎ 的最小正周期 ‎（2）由（1）知， ‎ 故，得， ‎ 结合单调递增得，‎ ‎， ‎ ‎，函数的单调递增区间为．‎ ‎【点睛】本题考查结合二倍角公式化简求解三角函数，求解复合三角函数定义域，复合三角函数在定区间内增减区间的判断，属于中档题 ‎16.在中，， ．‎ ‎（1）求三边的平方和；‎ ‎（2）当的面积最大时，求的值．‎ ‎【答案】（1）16（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求得，再用余弦定理整体代换，可得的整体数值，即可求得三边的平方和 ‎（2）先利用重要不等式代换出，再根据求出，结合同角三角函数的基本关系表示出，采用正弦定理的面积公式进行求解即可 ‎【详解】解：（1）因为，所以． ‎ 在中，由余弦定理得：， ‎ 即，于是， ‎ 故为定值．‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 所以，当且仅当时取“=”号，‎ 因为，所以，‎ 从而． ‎ 的面积，‎ ‎， ‎ 当且仅当时取“=”号．‎ 因为，所以当时，，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查利用向量的数量积公式和余弦定理求解三边关系，利用正弦的面积公式与不等式求解具体的三角函数值，体现了不等式在解三角函数中的重要应用 ‎17.已知直线： ().‎ ‎（1）证明：直线过定点；‎ ‎（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2），此时直线方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线变形化简即可求得 ‎（2）根据题意表示出，，结合三角形面积公式和均值不等式进行求解即可 ‎【详解】解:(1)证明：∵直线的方程可化为， ‎ 令，解得：， ‎ ‎∴无论取何值，直线总经过定点. ‎ ‎(2)解：由题意可知，再由的方程，得，．‎ 依题意得：，解得．‎ ‎∵，‎ 当且仅当 ，即，取“＝”‎ ‎∴，此时直线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力 ‎18.如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.‎ ‎（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；‎ ‎（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q的方程解之即可；‎ ‎（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可 试题解析：如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.‎ 设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A方程为 ‎（1）由题意可设直线PQ的方程为，‎ 即 因为PQ与圆A相切，‎ 所以，解得，‎ 故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米.‎ ‎（2）设直线PQ的方程为，‎ 即.‎ 因为PQ与圆A相切，‎ 所以，化简得 在Pt△POQ中，.‎ 令 则 当时，，即f(q)在（上单调递减；‎ 当时，，即f(q)在上单调递增.‎ 所以f(q)在时取得最小值，‎ 故当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米.‎ 答：（1）当点P距O处2百米时，OQ的长为百米；（2）当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米.‎ 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用 ‎19.已知，函数的图象与轴相切．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）当时，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为．（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设切点为，求出函数的导数表达式，根据图像特征，可得，解方程即可求得实数a ‎（2）由（1）得，再令导数为0，根据导数正负判断函数增减性即可 ‎（3）当时，恒有等价于，当时恒成立，再利用来研究函数的单调性，由于一阶导数无法直接判断正负，故需求解二阶导数，由于参数的存在，还需对参数进行分类讨论，进一步验证函数的恒成立问题即可 ‎【详解】解：（1），设切点为，‎ 依题意，即解得，所以． ‎ ‎(2) ，当时，；当时，．‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为． ‎ ‎（3）令，．‎ 则，令，则，‎ ‎（ⅰ）若 ，因为当时，，，‎ 所以，所以即在上单调递增． ‎ 又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，‎ 所以，即成立． ‎ ‎（ⅱ）若，可得在上单调递增．‎ 因为，， ‎ 所以存在，使得，且当时，，‎ 所以即在上单调递减，‎ 又因为，所以当时，，‎ 从而在上单调递减，‎ 而，所以当时，，即不成立 综上所述的取值范围是 ‎【点睛】本题考查根据导数和函数表达式求解参数，根据导数求解函数单调区间，根据函数在定区间恒成立利用导数求解参数取值范围问题，前两小问比较基础，最后一问难度偏大，其中二阶导数的应用容易自乱阵脚，建议涉及二阶导数时，配合草图加以理解，同时参数的范围判断至关重要，一般是通过试值法确定特殊点，本题中当时是一个特殊值，以此对进行分类讨论，此法可在同类型题中借鉴 ‎20.已知函数f (x)＝xlnx－x．‎ ‎（1）设g(x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e为自然对数的底数．‎ ‎①当时，判断函数g(x)零点的个数；‎ ‎②时，求函数g(x)的最小值．‎ ‎（2）设0＜m＜n＜1，求证：‎ ‎【答案】（1）① g(x)有且仅有两个零点．②a－e．（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将代入g(x)＝f (x)＋|x－a|，化简得g(x)＝xlnx＋，再根据导数正负判断在极值点处函数值的正负，结合极值点两侧值加以论证即可，可取验证求解 ‎（2）由于参数的不确定性，需根据将参数分成a≤，a≥e，＜a＜e三段进行讨论，进一步判断函数的单调区间 ‎（3）可先构造函数h(x)＝，求得h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，因0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，从而有，再设φ(x)＝，x＞0 ，通过导数来验证φ(x)增减性，进一步通过增减性求得最值，即可求证不等式成立 ‎【详解】解：（1）①当时， g(x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，‎ g′(x)＝1＋lnx，‎ 当0＜x＜时，g′(x)＜0；当x＞时，g′(x)＞0；‎ 因此g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， ‎ 又，g()＝－＋＜0，g(1)＝＞0，‎ 所以g(x)有且仅有两个零点． ‎ ‎②（i）当a≤时，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a， ‎ 因为x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，‎ 所以g(x)在[，e]上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g()＝－－a． ‎ ‎（ii）当a≥e时，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，‎ 因为x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，‎ 所以g(x)在[，e]上单调递减，所以此时g(x)的最小值为g(e)＝a－e． ‎ ‎（iii）当＜a＜e时，‎ 若≤x≤a，则g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，‎ 若a≤x≤e，则g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，‎ 由（i），（ii）知g(x)在[，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，‎ 所以此时g(x)的最小值为g(a)＝alna－a， ‎ 综上有：当a≤时，g(x)的最小值为－－a；‎ 当＜a＜e时，g(x)的最小值为alna－a； ‎ 当a≥e时，g(x)的最小值为a－e． ‎ ‎（2）设h(x)＝，‎ 则当x∈(0，1)时，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，‎ 又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，‎ 从而有 ‎ 设φ(x)＝，x＞0 ‎ 则φ′(x)＝ ‎ 因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 因为0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，‎ 因此 即原不等式得证．‎ ‎【点睛】本题考查通过导数研究不含参函数零点个数问题，通过导数研究含参函数单调区间的问题，通过构造数列和放缩法结合导数求证不等式恒成立问题，属于难题 如东高级中学2019-2020学年度第一学期高三年级10月调研 测试数学加试试卷（物理方向考生作答）‎ 解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎21.设实数满足（其中），实数满足．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）观察命题对应的式子，可由因式分解法求得，再解分式不等式得，设，，由是的必要不充分条件可判断，根据范围进行判断即可 ‎【详解】解：设，，是的必要不充分条件，则；‎ 则，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，根据包含关系求解参数范围问题，属于中档题 ‎22.已知函数．若，求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将展开，再结合二倍角公式化简三角函数表达式，根据给定区间求解值域即可 ‎【详解】解：‎ ‎ ‎ 由得， ，． ‎ ‎∴，即函数的值域为．‎ ‎【点睛】本题考查根据二倍角公式进行三角函数的化简求值，求解给定区间三角函数值域的问题，是基础题型 ‎23.二次函数图像与轴交于，两点，交直线于，两点，经过三点，，作圆．‎ ‎（1）求证：当变化时，圆的圆心在一条定直线上；‎ ‎（2）求证：圆经过除原点外的一个定点．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立，求得点，联立与求得点，设圆C的方程为，根据点到圆心距离相等求得圆心坐标x0与y0的联系，消参即可求得定直线 ‎（2）由（1）知，设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理成关于b的一次函数形式，根据恒成立问题联立方程求解即可 ‎【详解】解：（1）在方程中．令，易得 设圆C的方程为 则⇒，‎ 故经过三点O，A，B的圆C的方程为x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，‎ 设圆C的圆心坐标为（x0，y0），‎ 则，∴y0=x0+1，‎ 这说明当b变化时，（1）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上 ‎（2）设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，‎ 它对任意b≠0恒成立，∴‎ 故当b变化时，（1）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．‎ ‎【点睛】本题考查根据函数图像求解交点问题，根据圆的定义和消参法求证圆心过定直线问题，恒成立问题的转化，是中档题 ‎24.已知函数.（）‎ ‎（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数在上单调递减转化为在上恒成立问题，再通过不等式恒成立条件求解即可 ‎（2）令，根据在区间上，函数的图象恒在曲线下方转化成在区间上恒成立，求得，分别对和进行分类讨论，结合正负判断单调性，再结合恒成立问题进一步求解即可 ‎【详解】解：（1）在区间上单调递减，‎ 则区间上恒成立． ‎ 即，而当时，，故．‎ 所以． ‎ ‎（2）令，定义域为. ‎ 在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立. ‎ ‎∵ ‎ ‎①若，令，得极值点，，‎ 当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；‎ 当，即时，同理可知，在区间上，‎ 有，也不合题意； ‎ ‎②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；‎ 要使在此区间上恒成立，只须满足，‎ 由此求得的范围是 ‎ 综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数在某区间单减，求解参数取值范围问题，通过函数图像特点构造新函数，用导数研究新函数恒成立问题来求解参数问题，属于难题 ‎ ‎