2020届高考分类汇编01：集合逻辑用语函数导数(含解析)
2020 届全国各地高考试题分类汇编目录
01 集合..........................................................................................................................................................................1
02 复数..........................................................................................................................................................................5
03 逻辑用语..................................................................................................................................................................8
04 函数与导数........................................................................................................................................................... 10
05 三角函数和解三角形............................................................................................................................................34
06 平面向量................................................................................................................................................................ 47
07 数列....................................................................................................................................................................... 53
08 不等式和线性规划............................................................................................................................................... 69
09 空间立体几何....................................................................................................................................................... 73
10 平面解析几何....................................................................................................................................................... 98
11 统计和概率.........................................................................................................................................................123
12 极坐标和参数方程.............................................................................................................................................142
13 不等式选讲.........................................................................................................................................................147
01 集合
1.（2020•北京卷）已知集合 { 1,0,1,2}A ， { | 0 3}B x x ，则 A B （ ）．
A. { 1,0,1} B. {0,1} C. { 1,1,2} D. {1,2}
【答案】D
【解析】根据交集定义直接得结果.
【详解】 { 1,0,1,2} (0,3) {1,2}A B I I ，故选：D.
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.（2020•全国 1 卷）设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a 的值.
【详解】求解二次不等式 2 4 0x 可得： 2| 2A x x ，
求解一次不等式 2 0x a 可得： | 2
aB x x .
由于 | 2 1A B x x ，故： 12
a ，解得： 2a .故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.（2020•全国 2 卷）已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 ( )U A B ð （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð .故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
4.（2020•全国 3 卷）已知集合 {( , ) | , , }A x y x y y x *N ， {( , ) | 8}B x y x y ，则 A B 中元素的个数为
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】采用列举法列举出 A B 中元素的即可.
【详解】由题意， A B 中的元素满足
8
y x
x y
，且 *,x y N ，
由 8 2x y x ，得 4x ，所以满足 8x y 的有 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，
故 A B 中元素的个数为 4.故选：C.
5.（2020•江苏卷）已知集合 { 1,0,1,2}, {0,2,3}A B ，则 A B _____.
【答案】 0,2
【解析】根据集合的交集即可计算.
【详解】∵ 1,0,1,2A , 0,2,3B ∴ 0,2A B I ,故答案为： 0,2 .
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
6.（2020•新全国 1 山东）设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2
， g x 单调递增；
当 2,x 时， ( ) 0g x¢ < ， g x 单调递减；因此，
2
max
72 4
eg x g ,
综上可得，实数 a 的取值范围是
27 ,4
e
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
7.（2020•全国 2 卷）设函数 ( ) ln | 2 1| ln | 2 1|f x x x ，则 f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在 1( , )2
单调递增 B. 是奇函数，且在 1 1( , )2 2
单调递减
C. 是偶函数，且在 1( , )2
单调递增 D. 是奇函数，且在 1( , )2
单调递减
【答案】D
【解析】
根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除 AC；当 1 1,2 2x
时，利用函数单调性的性质可判断
出 f x 单调递增，排除 B；当 1, 2x
时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得
到结果.
【详解】由 ln 2 1 ln 2 1f x x x 得 f x 定义域为 1
2x x
，关于坐标原点对称，
又 ln 1 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1f x x x x x f x ，
f x 为定义域上的奇函数，可排除 AC；当 1 1,2 2x
时， ln 2 1 ln 1 2f x x x ，
ln 2 1y x Q 在 1 1,2 2
上单调递增， ln 1 2y x 在 1 1,2 2
上单调递减，
f x 在 1 1,2 2
上单调递增，排除 B；
当 1, 2x
时， 2 1 2ln 2 1 ln 1 2 ln ln 12 1 2 1
xf x x x x x
，
21 2 1x
在 1, 2
上单调递减， lnf 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： f x 在 1, 2
上单调递减，D 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的
性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
8.（2020•全国 2 卷）若 2 2 3 3x y x y ，则（ ）
A. ln( 1) 0y x B. ln( 1) 0y x C. ln | | 0x y D. ln | | 0x y
【答案】A
【解析】将不等式变为 2 3 2 3x x y y ，根据 2 3t tf t 的单调性知 x y ，以此去判断各个选项
中真数与1的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 2 2 3 3x y x y 得： 2 3 2 3x x y y ，
令 2 3t tf t ， 2xy 为 R 上的增函数， 3 xy 为 R 上的减函数， f t 为 R 上的增函数，
x y ， 0y x Q ， 1 1y x ， ln 1 0y x ，则 A 正确，B 错误；
x yQ 与1的大小不确定，故 CD 无法确定.故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 ,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
9.（2020•全国 2 卷）已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： 3 3( ) 8f x ；
（3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 3
4
n
n .
【答案】（1）当 0, 3x
时， ' 0,f x f x 单调递增，当 2,3 3x
时， ' 0,f x f x 单调递
减，当 2 ,3x
时， ' 0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数
的单调性即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的
不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得
2
2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nf x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角
函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cosf x x x ，则：
2 2 4' 2 3sin cos sinf x x x x 2 2 22sin 3cos sinx x x
2 22sin 4cos 1x x 22sin 2cos 1 2cos 1x x x ，
' 0f x 在 0,x 上的根为： 1 2
2,3 3x x ，当 0, 3x
时， ' 0,f x f x 单调递增，
当 2,3 3x
时， ' 0,f x f x 单调递减，当 2 ,3x
时， ' 0,f x f x 单调递增.
(2)注意到 2 2sin sin 2 sin sin 2f x x x x x f x ，
故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 0 0f f ，
2
3 3 3 3
3 2 2 8f
，
2
2 3 3 3 3
3 2 2 8f
，
据此可得： max
3 3
8f x ， min
3 3
8f x ，即 3 3
8f x .
(3)结合(2)的结论有：
2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x
2
3 3 3 3 3sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x
2
2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nx x x x x x x x
2
3
23 3 3 3 3 3sin sin 28 8 8
nx x
2
33 3
8
n
3
4
n
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
10.（2020•全国 3 卷）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建
立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23( 53)( )=
1 e tI Kt
，其中 K 为最大
确诊病例数．当 I( *t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 *t 约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
【答案】C
【解析】将t t 代入函数 0.23 531 t
KI t
e
结合 0.95I t K 求得t 即可得解.
【详解】 0.23 531 t
KI t
e
，所以 0.23 53
0.95
1 t
KI t K
e
，则 0.23 53 19te
，
所以， 0.23 53 ln19 3t ，解得 3 53 660.23t .故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
11.（2020•全国 3 卷）若直线 l 与曲线 y= x 和 x2+y2= 1
5
都相切，则 l 的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ 1
2 C. y= 1
2 x+1 D. y= 1
2 x+ 1
2
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线l 在曲线 y x 上的切点为 0 0,x x ，则 0 0x ，
函数 y x 的导数为 1
2
y
x
，则直线 l 的斜率
0
1
2
k
x
，
设直线l 的方程为 0 0
0
1
2
y x x x
x
，即 0 02 0x x y x ，
由于直线 l 与圆 2 2 1
5x y 相切，则 0
0
1
1 4 5
x
x
，
两边平方并整理得 2
0 05 4 1 0x x ，解得 0 1x ， 0
1
5x （舍），
则直线l 的方程为 2 1 0x y ，即 1 1
2 2y x .故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
12.（2020•全国 3 卷）已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a0).问 O E 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价
最低?
【答案】（1）120 米（2） 20O E 米
【解析】（1）根据 A,B 高度一致列方程求得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.
【详解】（1）由题意得 2 31 1| | 40 6 40 | | 8040 800O A O A
| | | | | | 80 40 120AB O A O B 米
（2）设总造价为 ( )f x 万元， 21| | 80 16040O O ，设| |O E x ，
3 21 3 1( ) (160 6 ) [160 (80 ) ],(0 40)800 2 40f x k x x k x x
3 2 21 3 3 6( ) (160 ), ( ) ( ) 0 20800 80 800 80f x k x x f x k x x x (0 舍去)
当 0 20x 时， ( ) 0f x ；当 20 40x 时， ( ) 0f x ，因此当 20x = 时， ( )f x 取最小值，
答：当 20O E 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
16.（2020•江苏卷）已知关于 x 的函数 ( ), ( )y f x y g x 与 ( ) ( , )h x kx b k b R 在区间 D 上恒有
( ) ( ) ( )f x h x g x ．
（1）若 2 22 2 ( )f x x x g x x x D ， ， ， ，求 h(x)的表达式；
（2）若 2 1 ln ,( ) ( ) ( ) (0 ) x x g k x h kx k Df x x x ， ， ， ，求 k 的取值范围；
（3）若 4 2 2 2 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t ， ， ≤ ， , 2, 2D m n ，求
证： 7n m ．
【答案】（1） 2h x x ；（2） 0,3k ；（3）证明详见解析
【解析】（1）求得 f x 与 g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 h x 的表达式.
（2）先由 0h x g x ，求得 k 的一个取值范围，再由 0f x h x ，求得 k 的另一个取值范围，
从而求得 k 的取值范围.
（3）先由 f x h x ，求得 t 的取值范围，由方程 0g x h x 的两个根，求得 n m 的表达式，利
用导数证得不等式成立.
【详解】（1）由题设有 2 22 2x x kx b x x 对任意的 xR 恒成立.
令 0x ，则 0 0b ，所以 0b .因此 2 2kx x x 即 2 2 0x k x 对任意的 xR 恒成立，
所以 22 0k ，因此 2k .故 2h x x .
（2）令 1 ln 0F x h x g x k x x x ， 01F .又 1xF x k x
.
若 k 0 ，则 F x 在( )0,1 上递增，在( )1,+¥ 上递减，则 1 0F x F ，即 0h x g x ，不符
合题意.当 0k 时， 0,F x h x g x h x g x ，符合题意.
当 0k 时， F x 在( )0,1 上递减，在( )1,+¥ 上递增，则 1 0F x F ，
即 0h x g x ，符合题意.综上所述， 0k .
由 2 1f x h x x x kx k 2 1 1 0x k x k
当 1 02
kx ，即 1k 时， 2 1 1y x k x k 在( )0,+¥ 为增函数，
因为 0 0 1 0f h k ，故存在 0 0,x ，使 0f x h x ，不符合题意.
当 1 02
kx ，即 1k 时， 2 0f x h x x ，符合题意.
当 1 02
kx ，即 1k 时，则需 21 4 1 0k k ，解得 1 3k .
综上所述， k 的取值范围是 0,3k .
（3）因为 4 2 3 4 2 22 4 3 2 4 8x x t t x t t x 对任意 [ , ] [ 2, 2]x m n 恒成立，
4 2 3 4 22 4 3 2x x t t x t t 对任意 [ , ] [ 2, 2]x m n 恒成立，
等价于 2 2 2( ) 2 3 2 0x t x tx t 对任意 [ , ] [ 2, 2]x m n 恒成立.
故 2 22 3 2 0x tx t 对任意 [ , ] [ 2, 2]x m n 恒成立.
令 2 2( ) 2 3 2M x x tx t ，当 20 1t ， 28 8 0, 1 1t t ，
此时 2 2 1 7n m t ，当 21 2t ， 28 8 0t ，
但 2 3 4 24 8 4 3 2x t t x t t 对任意的 [ , ] [ 2, 2]x m n 恒成立.
等价于 2 3 2 24 4 3 4 2 0x t t x t t 对任意的 [ , ] [ 2, 2]x m n 恒成立.
2 3 2 24 4 3 4 2 0x t t x t t 的两根为 1 2,x x ，则
4 2
3
1 2 1 2
3 2 8, 4
t tx x t t x x ，
所以 2
1 2 1 2 1 2= 4n m x x x x x x 6 4 25 3 8t t t .
令 2 , 1,2t ，则 3 25 3 8n m .
构造函数 3 25 3 8 1,2P ， 23 10 3 3 3 1P ，
所以 1,2 时， 0P ， P 递减， max 1 7P P .
所以 max 7n m ，即 7n m .
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证
明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
17.（2020•新全国 1 山东）基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个
感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指
数模型： ( e) rtI t 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足
R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加
1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2 天 B. 1.8 天
C. 2.5 天 D. 3.5 天
【答案】B
【解析】根据题意可得 0.38rt tI t e e ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时
间为 1t 天，根据 10.38( ) 0.382t t te e ，解得 1t 即可得结果.
【详解】因为 0 3.28R ， 6T ， 0 1R rT ，所以 3.28 1 0.386r ，所以 0.38rt tI t e e ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1t 天，
则 10.38( ) 0.382t t te e ，所以 10.38 2te ，所以 10.38 ln 2t ，所以 1
ln 2 0.69 1.80.38 0.38t 天.故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
18.（2020•新全国 1 山东）若定义在 R 的奇函数 f(x)在 ( ,0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足 ( 1 0)xf x 的
x 的取值范围是（ ）
A. [ )1,1] [3, B. 3, 1] [ ,[ 0 1]
C. [ 1,0] [1, ) D. [ 1,0] [1,3]
【答案】D
【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 ( )f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 R 上的奇函数 ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减，且 (2) 0f ，
所以 ( )f x 在 (0, ) 上也是单调递减，且 ( 2) 0f ， (0) 0f ，
所以当 ( , 2) (0,2)x 时， ( ) 0f x ，当 ( 2,0) (2, )x 时， ( ) 0f x ，
所以由 ( 1 0)xf x 可得： 0
2 1 0 1 2
x
x x
或 或 0
0 1 2 1 2
x
x x
或 或 0x
解得 1 0x ≤ ≤ 或1 3x ，所以满足 ( 1 0)xf x 的 x 的取值范围是[ 1,0] [1,3] ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
19.（2020•新全国 1 山东）已知函数 1( ) e ln lnxf x a x a ．
（1）当 a e 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围．
【答案】（1） 2
1e
（2）[1, )
【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐
标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f x 得导函数 ’f x 的单调递增，当 a=1 时由 ’ 1 0f 得
1 1minf x f ,符合题意；当 a>1 时，可证 1( ) (1) 0f fa
，从而 'f x 存在零点 0 0x ，使得
0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
，得到 min( )f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式
可以证得 1x 恒成立；当 0 1a 时，研究 f 1 .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将 11 1lna x lnxf x e lna x e lnx 转化为 ,
令 xg x e x ,上述不等式等价于 1g lna x g lnx ,注意到 g x 的单调性，进一步等价转化为
1lna lnx x ，令 1h x lnx x ,利用导数求得 maxh x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a
的对数不等式，解得 a 的取值范围.
全国高中数学教师群：1142300029
【详解】（1） ( ) ln 1xf x e x Q ， 1( ) xf x e x
， (1) 1k f e .
(1) 1f e Q ，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 1 ( 1)( 1)y e e x ,即 1 2y e x ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 2(0,2),( ,0)1e
,∴所求三角形面积为 1 2 22 | |=2 1 1e e
;
（2）解法一： 1( ) ln lnxf x ae x a Q ,
1 1( ) xf x ae x
，且 0a .设 ( ) ( )g x f x ,则 1
2
1( ) 0,xg x ae x
∴g(x)在 (0, ) 上单调递增，即 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，
当 1a 时， ( ) 01f ,∴ 1 1minf x f ,∴ 1f x 成立.
当 1a 时， 1 1a
， 1 1
1ae
∴ ，
1 11( ) (1) ( 1)( 1) 0af f a e aa
,
∴存在唯一 0 0x ，使得 0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
，且当 0(0, )x x 时 ( ) 0f x ，当 0( , )x x 时
( ) 0f x ， 0 1
0
1xae x
， 0 0ln 1 lna x x ，因此 0 1
min 0 0( ) ( ) ln lnxf x f x ae x a
0 0
0 0
1 1ln 1 ln 2ln 1 2 2ln 1a x a a x ax x
>1,
∴ 1,f x ∴ 1f x 恒成立；
当 0 1a 时， (1) ln 1,f a a a ∴ (1) 1, ( ) 1f f x 不是恒成立.
综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).
解法二： 1 1 1x lna xf x ae lnx lna e lnx lna 等价于
1 1lna x lnxe lna x lnx x e lnx ,
令 xg x e x ,上述不等式等价于 1g lna x g lnx ,
显然 g x 为单调增函数，∴又等价于 1lna x lnx ，即 1lna lnx x ，
令 1h x lnx x ,则 1 11 xh x x x
在 0,1 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴ 1 0maxh x h , 0 1lna a ，即 ，∴a 的取值范围是[1,+∞).
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思
想和等价转化思想，属较难试题.
20.（2020•天津卷）函数 2
4
1
xy x
的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图
象.
【详解】由函数的解析式可得： 2
4
1
xf x f xx
，则函数 f x 为奇函数，其图象关于坐标原点
对称，选项 CD 错误；当 1x 时， 4 2 01 1y
，选项 B 错误.故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)
从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
21.（2020•天津卷）设
0.8
0.7
0.7
13 , , log 0.83a b c
，则 , ,a b c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. b a c C. b c a D. c a b
【答案】D
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 , ,a b c 的大小关系.
【详解】因为 0.73 1a ，
0.8
0.8 0.71 3 33b a
， 0.7 0.7log 0.8 log 0.7 1c ，
所以 1c a b .故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数
函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： xy a ，当 1a 时，函数递增；当 0 1a 时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： logay x ，当 1a 时，函数递增；当 0 1a 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0 或 1 等.
22.（2020•天津卷）已知函数
3, 0,( )
, 0.
x xf x
x x
若函数 2( ) ( ) 2 ( )g x f x kx x k R 恰有 4 个零点，
则 k 的取值范围是（ ）
A. 1, (2 2, )2
B. 1, (0,2 2)2
C. ( ,0) (0,2 2) D. ( ,0) (2 2, )
【答案】D
【解析】由 (0) 0g ，结合已 知，将问题转化 为 | 2 |y kx 与 ( )( ) | |
f xh x x
有 3 个不同交 点，分
0, 0, 0k k k 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 (0) 0g ，所以要使 ( )g x 恰有 4 个零点，只需方程 ( )| 2 | | |
f xkx x
恰有 3 个实根
即可，令 ( )h x ( )
| |
f x
x
，即 | 2 |y kx 与 ( )( ) | |
f xh x x
的图象有 3 个不同交点.
因为
2, 0( )( )
1, 0
x xf xh x x x
，
当 0k 时，此时 2y ，如图 1， 2y 与 ( )( ) | |
f xh x x
有 2 个不同交点，不满足题意；
当 k 0 时，如图 2，此时 | 2 |y kx 与 ( )( ) | |
f xh x x
恒有 3 个不同交点，满足题意；
当 0k 时，如图 3，当 2y kx 与 2y x= 相切时，联立方程得 2 2 0x kx ，
令 0 得 2 8 0k ，解得 2 2k （负值舍去），所以 2 2k .
综上， k 的取值范围为 ( ,0) (2 2, ) .故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
23.（2020•天津卷）已知函数 3( ) ln ( )f x x k x k R ， ( )f x 为 ( )f x 的导函数．
（Ⅰ）当 6k 时，
（i）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
（ii）求函数 9( ) ( ) ( )g x f x f x x
的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 3k
时，求证：对任意的 1 2, [1, )x x ，且 1 2x x ，有 1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
．
【答案】（Ⅰ）（i） 9 8y x ；（ii） ( )g x 的极小值为 (1) 1g ，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得 g x 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 1
2
x tx
，将原问题转化为与 t 有关的函数，然后构造新函数，利用
新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ) (i) 当 k=6 时， 3 6lnf x x x ， 2 6' 3f x x x
.可得 1 1f ， ' 1 9f ，
所以曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线方程为 1 9 1y x ，即 9 8y x .
(ii) 依题意， 3 2 33 6ln , 0,g x x x x xx
.
从而可得 2
2
6 3' 3 6g x x x x x
，整理可得：
3
2
3( 1) ( 1)( ) x xg x x
，
令 ' 0g x ，解得 1x .当 x 变化时， ' ,g x g x 的变化情况如下表：
x ( )0,1 1x ( )1,+¥
'g x 0
g x 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由 3( ) lnf x x k x ，得 2( ) 3 kf x x x
.
对任意的 1 2, [1, )x x ，且 1 2x x ，令 1
2
( 1)x t tx
，则
1 2 1 2 1 22x x f x f x f x f x
2 2 3 3 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2
3 3 2 ln xk kx x x x x x kx x x
3 3 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
2 1 2
3 3 2 lnx x xx x x x x x k kx x x
3 3 2
2
13 3 1 2lnx t t t k t tt
. ①
令 1( ) 2ln , [1, )h x x x xx
.当 x>1 时，
2
2
1 2 1( ) 1 1 0h x x x x
，
由此可得 h x 在 1, 单调递增，所以当 t>1 时， 1h t h ，即 1 2ln 0t tt
.
因为 2 1x ， 3 2 33 3 1 ( 1) 0t t t t ， 3k ，
所以 3 3 2 3 2
2
1 13 3 1 2ln 3 3 1 3 2lnx t t t k t t t t t t tt t
3 2 33 6ln 1t t t t
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 1t 时， 1g t g ，即 3 2 33 6ln 1t t t t
，
故 3 2 33 6ln 1 0t t t t
③
由①②③可得 1 2 1 2 1 22 0x x f x f x f x f x .
所以，当 3k 时，任意的 1 2, 1,x x ，且 1 2x x ，有
1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
24.（2020•浙江卷）函数 y=xcosx+sinx 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 x 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为 cos sinf x x x x ，则 cos sinf x x x x f x ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 CD 错误；
且 x 时， cos sin 0y ，据此可知选项 B 错误.故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)
从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
25.（2020•浙江卷）已知 a，bR 且 ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0 在 x≥0 上恒成立，则（ ）
A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0
【答案】C
【解析】对 a 分 0a 与 0a 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为 0ab ，所以 0a 且 0b≠ ，设 ( ) ( )( )( 2 )f x x a x b x a b ，则 ( )f x 的零点
为 1 2 3, , 2x a x b x a b ,当 0a 时，则 2 3x x ， 1 > 0x ，要使 ( ) 0f x ，必有 2a b a ，且 0b ，
即 b a ，且 0b ，所以 0b ；当 0a 时，则 2 3x x ， 1 0x ，要使 ( ) 0f x ，必有 0b .
综上一定有 0b .故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
26.（2020•浙江卷）已知1 2a ，函数 exf x x a ，其中 e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 y f x 在 (0 ) ， 上有唯一零点；
（Ⅱ）记 x0 为函数 y f x 在 (0 ) ， 上的零点，证明：
（ⅰ） 01 2( 1)a x a ；
（ⅱ） 0
0 (e ) (e 1)( 1)xx f a a ．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【解析】（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单
调性确定最值，即可证得不等式；
（ii）先根据零点条件转化： 0
0 0 0( ) ( )xx f e x f x a ，再根据1 2a 放缩，转化为证明不等式
2 24( 2) ( 1) ( 1)ae e a ，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】（I） ( ) 1, 0, 1, ( ) 0, ( )x xf x e x e f x f x Q Q 在 (0, ) 上单调递增，
2 21 2, (2) 2 4 0, (0) 1 0a f e a e f a Q ，
所以由零点存在定理得 ( )f x 在 (0, ) 上有唯一零点；
（II）（i） 0
0 0( ) 0, 0xf x e x a Q ，
0 02
0 0 0 01 2( 1) 1 2( 1)x xa x a e x x e x ，
令
2
2( ) 1 (0 2), ( ) 1 (0 2),2
x x xg x e x x x h x e x x
一方面： 1( ) 1 ( ),xh x e x h x 1 ( ) 1 0xh x e ，
( ) (0) 0, ( )h x h h x 在 (0,2) 单调递增， ( ) (0) 0h x h ，
2
21 0,2( 1)2
x xxe x e x x ，另一方面： 1 2 1 1a a Q ，
所以当 0 1x 时， 01a x 成立，因此只需证明当 0 1x 时 2( ) 1 0xg x e x x ，
因为 1 1( ) 1 2 ( ) ( ) 2 0 ln 2x xg x e x g x g x e x ，
当 (0,ln 2)x 时， 1 ( ) 0g x ，当 (ln 2,1)x 时， 1 ( ) 0g x ，
所以 ( ) max{ (0), (1)}, (0) 0, (1) 3 0, ( ) 0g x g g g g e g x Q ，
( )g x 在 (0,1) 单调递减， ( ) (0) 0g x g ， 21xe x x ，
综上， 0 02
0 0 0 01 2( 1), 1 2( 1)x xe x x e x a x a .
（ii） 0
0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) [( 1) ( 2)]x a at x x f e x f x a x e x a e ，
0 0( ) 2( 1) ( 2) 0a at x e x a e Q ， 01 2( 1)a x a ，
0( ) ( 1) 1[( 1) 1 ( 2)] ( 1)( 1) 1( 2)a a a at x t a a e a a e e a a a e ，因为1 2a ，
所以 , 2( 1)ae e a a ， 0( ) ( 1)( 1) 2( 1) 1( 2)at x e a a a e ，
只需证明 22( 1) 1( 2) ( 1)( 1)aa a e e a ，即只需证明 2 24( 2) ( 1) ( 1)ae e a ，
令 2 2( ) 4( 2) ( 1) ( 1),(1 2)as a e e a a ，则 2 2( ) 8 ( 2) ( 1) 8 ( 2) ( 1) 0a as a e e e e e e ，
2( ) (1) 4( 2) 0s a s e ，即 2 24( 2) ( 1) ( 1)ae e a 成立，
因此 0x
0 e (e 1)( 1)x f a a .
【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.
27.（2020•上海卷）设 a R ，若存在定义域 R的函数 f x 既满足“对于任意 0x R ， 0f x 的值为 2
0x 或
0x ”又满足“关于 x 的方程 f x a 无实数解”，则 的取值范围为
【答案】 ,0 0,1 1,
【解析】题目转换为是否为实数 a ,使得存在函数 f x
满足“对于任意 0x R ， 0f x 的值为 2
0x 或 0x ”，又满足“关于的方程 f x a 无实数解”构造函数；
2
,
,
x x af x
x x a
，则方程 f x a 只有 0,1 两个实数解。
28.（2020•上海卷）若存在 a R 且a 0 ,对任意的 x R ，均有 f x a f x f a ＜ 恒成立，则称函
数 f x 具有性质 P，已知： 1 :q f x 单调递减，且 0f x ＞ 恒成立； 2q f x： 单调递增，存在 0 0x ＜ 使
得 0 0f x ，则是 f x 具有性质 P的充分条件是（）
A、只有 1q B、只有 2q C、 1 2q q和 D、 1 2q q和 都不是
【答案】C
【解析】本题要看清楚一个函数具有性质 P的条件是，存在 a R 且a 0 ，
则对于 1 0q a， ＞ 时，易得函数 f x 具有性质 P；
对于 2q ，只需取 0a x ，则 0x a x x x ＜ ， 0 0f a f x ，
所以 0 =f x a f x x f x f x f a ＜ ，所以此时函数 f x 具有性质 P.
29.（2020•上海卷）已知： = x
q ， x (0,80] ，且
801100-135( ) , (0,40)= ( 0)3
( 40) 85, [40,80]
x x k
k x x
，
（1）若 v>95，求 x 的取值范围；
（2）已知 x=80 时，v=50，求 x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值。
【答案】（1） 80x (0, )3
；（2） 480x 7
时， max
28800q = 7
