陕西省延安市吴起县2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

陕西省延安市吴起县2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吴起高级中学2019-2020学年第一学期中期考试 高二理科数学能力卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题中，只有一个选项正确）‎ ‎1.命题“若，则”的否命题为（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则或 C. 若，则且 D. 若，则或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：命题“若，则”的否命题是“若，则或”．故选D．‎ 考点：四种命题．‎ ‎2.给出下列命题：⑴在△ABC中，若，则；⑵设，，为实数，若，则；⑶设，则的取值范围是.其中，真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于（1）中，利用正弦定理，可判定是正确的；对于（2）中，根据不等式的性质，可判定不正确；对于（3）中，利用不等式的性质，可判定不正确，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，对于（1）中，在△ABC中，若，可得，由正弦定理得，则，所以（1）是正确的；‎ 对于（2）中，若，当时，此时，所以（2）不正确；‎ 对于（3）中，由，则的取值范围是，所以（3）不正确.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题真假判定，其中解答中涉及到三角形的正弦定理的应用，以及不等式的性质的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎3.已知满足，则下列选项中不一定能成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据，得出的符号，再结合的关系利用不等式的基本性质，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，实数且，可得，‎ 因为，可得，所以A是正确；‎ 因，则，则，所以B正确；‎ 因为，所以，则，所以D正确；‎ 由，‎ 因为，则，且，当的符号不确定，所以C不一定成立.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及不等式的概念等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及化归与转化能力，属于基础题.‎ ‎4.在中，是的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】在中，若，可得，满足，即必要性成立；‎ 反之不一定成立，‎ 所以在中，是的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质是解答的关键，属于基础题.‎ ‎5.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．‎ ‎【详解】由题知，，解得，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．‎ ‎6.关于的不等式的解集是，则关于的不等式 的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的解集是，求得且，代入，利用一元二次不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，关于的不等式的解集是，‎ 可得且，即，‎ 所以不等式可化为，‎ 即，解得，即不等式的解集为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解集与系数的关系，以及熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.某工厂过去的年产量为，改革后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，得到方程，然后利用基本不等式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可得，即，‎ 又由，‎ 所以，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式应用，其中解答中根据变化率的公式，列出方程，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.若的周长等于20，面积是，则边的长是（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面积公式得到的值，结合周长为，再根据余弦定理列出关于的方程，求出的值即为的值.‎ ‎【详解】因为面积公式，‎ 所以，得，‎ 又周长为，故，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 故，解得，故选C.‎ ‎【点睛】考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎9.在梯形中，,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在中，由余弦定理得：，解得，所以，故，在中，，在中，由余弦定理，所以．‎ ‎10.满足的图形面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把画出满足的平面区域，得到阴影部分为正方形，利用面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可得，‎ 画出对应的平面区域，如图所示，其中为正方形，‎ 因为，所以，‎ 即所表示的图形的面积为.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知，全集为R，集合，，，则有（　）‎ A. （） B. （）‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析得出，根据集合的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为，结合实数的性质以及基本不等式，可得，‎ 可得或，所以，‎ 即 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及基本不等式的应用，其中解答中结合实数的性质和基本不等式求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知数列前项和为，则 的值（ ）‎ A. 13 B. ‎-76 ‎C. 46 D. 76‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得S15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，S22＝﹣4×11＝﹣44，S31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，由此能求出S15+S22﹣S31的值．‎ ‎【详解】∵Sn＝1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），‎ ‎∴S15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，‎ S22＝﹣4×11＝﹣44，‎ S31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，‎ ‎∴S15+S22﹣S31＝29﹣44﹣61＝﹣76．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n项和公式的合理运用．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在命题的逆命题、否命题、逆否命题，这三个命题中，真命题的个数最少是_____‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的等价关系，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，若命题为假命题，根据命题的等价性，可得其逆否命题为假命题；‎ 若命题的逆命题为假命题，根据命题的等价性，可得命题的否命题也为假命题，‎ 所以在命题的逆命题、否命题、逆否命题，这三个命题中，真命题的个数最少是0个.‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】本题主要考查了四种命题的关系及其应用，其中解答中熟记四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎14.若x、y满足则的最小值为________．‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，‎ 目标函数，可化为直线，‎ 当直线过点A时，此时目标函数取得最小值，‎ 又由，解得，‎ 所以目标函数的最小值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.在数列中，若，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列， 利用等比数列的通项公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，数列满足，可得，‎ 即，又由，‎ 所以数列表示首项为，公比为的等比数列， ‎ 所以，可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，其中解答中根据数列的递推公式，求得数列表示首项为，公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎16.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则ABC周长的最大值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理以及基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，当且仅当时取等号，因此，即ABC周长的最大值是 ‎【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 三、解答题 ‎17.（1）设，求函数最小值.‎ ‎（2）解不等式：‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，得，化简函数为，利用基本不等式，即可求解；‎ ‎（2）把不等式，化为，利用分式不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，设，则，‎ 则，‎ 当时，即时，即时取等号，‎ 所以函数的最小值为.‎ ‎（2）由不等式，可得，解得或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及分式不等式的求解，其中解答中合理利用换元法，合理利用基本不等式，以及熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.求函数的定义域为R的充要条件.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的定义域为，得到不等式在上恒成立，根据二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，‎ 所以不等式在上恒成立，‎ 当时，不等式，由二次函数的性质可得不可能恒成立，不合题意；‎ 当时，不等式恒成立，符合题意；‎ 当时，则满足，解得，‎ 综上所述，函数的定义域为R的充要条件是 ‎【点睛】本题主要考查了充要条件的应用，其中解答中熟记对数函数和一元二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎19.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有种原料 200 吨， 种原料 360 吨，种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润。‎ 原料 肥料 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）最大利润为112万元 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域；（2）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润.‎ 试题解析：（1）解：由已知，满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图中的阴影部分：‎ ‎（图 1）‎ ‎（2）解：设利润为万元，则目标函数为.考虑z=2x+3y，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.解方程组，得点的坐标为，所以.‎ 答：生产甲种肥料车皮、乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.‎ ‎（图 2）‎ ‎【考点】线性规划 ‎【名师点睛】解线性规划应用问题一般步骤是：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答．而求线性规划的最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数在何处取得最值.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.在中，角所对边分别是，若，且,‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由，化简得，利用余弦定理，即可求解；‎ ‎ (2)由（1）及三角函数的基本关系式，可得，利用正弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】(1)由，可得，‎ 即，即，‎ 由余弦定理可得.‎ ‎ (2)由（1）及三角函数的基本关系式，可得，‎ 在中，由正弦定理可得，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎21.设数列满足：，.‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，；当时，得到 两式相减求得，进而可得；‎ ‎（2）由（1）知，利用乘公比错位相减法，即可求得.‎ ‎【详解】（1）由题意，数列满足：，，‎ 当时，；‎ 当时，‎ 两式相减得：，‎ 解得，‎ 当时上式也成立，所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则 所以 两式相减得：‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用数列的递推公式求解数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎22.已知 ，求数列的前项和﹒‎ ‎【答案】当为偶数时，；当为奇数时，；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式，分和两种情况讨论，利用等差、等比数列的前项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，当时，‎ ‎=；‎ 当时，为偶数，利用上面结果得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据数列的通项公式，合理分类讨论，利用等差、等比数列的前项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎ ‎