【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第九章48˫曲线作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第九章48˫曲线作业

第48节　双 曲 线 一、选择题 ‎1．(2018合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2　⇒b＝4.故选B.‎ ‎2．(2018广州联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B．－＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知解得∴双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎3．(2018浙江桐乡一中模拟)已知双曲线－＝1(b＞0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)‎ A．2 B．2 C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得 c＝4，则该双曲线的焦距为8.‎ ‎4．(2018山西平遥中学月考)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知双曲线的一个顶点为，一条渐近线的方程为mx－3y＝0，则顶点到渐近线的距离为＝， 解得m＝4.‎ ‎5．(2018湖南六校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B．－＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3.故选C.‎ ‎6．(2018南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)‎ A.x±y＝0 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，‎ 则根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝6a，联立解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.‎ 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a，‎ 所以|PF2|＜|F1F2|.‎ 所以∠PF1F2＝30°.所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2×2c×4acos 30°，‎ 得c＝a.所以b＝＝a.‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.‎ ‎7．(2018江苏无锡模拟)已知A，B分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点．若双曲线C的离心率为2，PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2k3的取值范围为(　　)‎ A. B．(0，)‎ C．(0,3) D．(0,8)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为e＝＝2，所以b＝a.设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则－＝1，k1·k2＝·＝＝＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以0＜k3＜.所以0＜k1k2k3＜3　.故选C.‎ ‎8．(2018沈阳质量监测)已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则·的值是(　　)‎ A．－ B． C．－ D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝.‎ 又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos 2∠AOx＝－cos＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·＝×＝－.故选A.‎ 二、填空题 ‎9．(2018武汉武昌区调研)双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8.‎ ‎10．(2018山东烟台模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，‎ 则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．由题意得＝×2c.所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝＝＝.‎ 三、解答题 ‎11．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x之间的阴影部分为W.区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程．‎ ‎(2)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点．若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．‎ ‎(1)【解】由题意得·＝1，‎ 所以|(x＋y)(x－y)|＝2.‎ 因为点P在区域W内，所以x＋y与x－y同号，‎ 所以(x＋y)(x－y)＝x2－y2＝2，‎ 所以点P的轨迹C的方程为－＝1.‎ ‎(2)【证明】设直线l与x轴相交于点D.‎ 当直线l的斜率不存在时，|OD|＝，|AB|＝2，‎ S△OAB＝|AB|·|OD|＝2.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，显然k≠0，m≠0，则D.‎ 把直线l的方程与C：x2－y2＝2联立得 ‎(k2－1)x2＋2kmx＋m2＋2＝0.‎ 由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知Δ＝4k2m2－4(k2－1)·(m2＋2)＝0，得m2＝2(k2－1)＞0，‎ 所以k＞1或k＜－1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得y1＝，同理得y2＝.‎ 所以S△OAB＝|OD||y1－y2|＝＝＝2.综上， △OAB的面积恒为定值2.‎