高科数学专题复习课件：第四章 4_4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

高科数学专题复习课件：第四章 4_4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

§4.4 　 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象及 应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的有关概念 知识梳理 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ( A >0 ， ω >0) ， x ∈ R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ ___ f ＝ ＝ ___ ωx ＋ φ φ 2. 用五点法画 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x _____ _____ _____ _____ _____ ωx ＋ φ ____ ____ ____ ____ ____ y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 0 A 0 － A 0 0 π 2π 几何画板展示 3. 函数 y ＝ sin x 的图象经变换得到 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ( A >0 ， ω >0) 的图象的步骤如下： ω 1. 由 y ＝ sin ωx 到 y ＝ sin( ωx ＋ φ )( ω >0 ， φ >0) 的变换：向 左平移 个 单位长度而非 φ 个单位长度 . 2. 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的对称轴由 ωx ＋ φ ＝ k π ＋ ， k ∈ Z 确定；对称中心由 ωx ＋ φ ＝ k π ， k ∈ Z 确定其横坐标 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 √ (2) 将函数 y ＝ sin ωx 的图象向右平移 φ ( φ >0) 个单位长度，得到函数 y ＝ sin( ωx － φ ) 的图象 .( 　　 ) (3) 利用图象变换作图时 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩，后平移 ” 中平移的长度一致 .( 　　 ) (4) 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的最小正周期为 T ＝ .( 　　 ) × × × (5) 把 y ＝ sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来 的 ， 所得图象对应的函数解析式为 y ＝ sin x .( 　　 ) (6) 若函数 y ＝ A cos( ωx ＋ φ ) 的最小正周期为 T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离 为 .( 　　 ) × √ 考点自测 答案 解析 2.(2015· 山东 ) 要得到函数 y ＝ 的 图象，只需将函数 y ＝ sin 4 x 的图象 答案 解析 3.( 2017· 青岛 质检 ) 将函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点向右 平行移动 个 单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，所得图象的函数解析式是 答案 解析 y ＝ sin x y ＝ sin( x － ) 答案 解析 5. 若将函数 f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ ) 的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是 ________. 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象及变换 (1 ) 请 将上表数据补充完整 ，并 直接写出函数 f ( x ) 的解析式； 解答 根据表中已知数据，解得 A ＝ 5 ， ω ＝ 2 ， φ ＝ . 数据补全如下表： (2) 将 y ＝ f ( x ) 图象上所有点向左平行移动 θ ( θ >0) 个单位长度，得到 y ＝ g ( x ) 的图象 . 若 y ＝ g ( x ) 图象的一个对称中心 为 ， 求 θ 的最小值 . 解答 因为函数 y ＝ sin x 图象的对称中心为 ( k π ， 0) ， k ∈ Z . 引申探究 在本例 (2) 中，将 f ( x ) 图象上所有点向 左平移 个 单位长度，得到 g ( x ) 的图象，求 g ( x ) 的解析式，并写出 g ( x ) 图象的对称中心 . 解答 因为 y ＝ sin x 的对称中心为 ( k π ， 0) ， k ∈ Z . 思维 升华 (1) 五点法作简图：用 “ 五点法 ” 作 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的简图，主要是通过变量代换，设 z ＝ ωx ＋ φ ，由 z 取 0 ，， π ， ， 2π 来求出相应的 x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象 . (2) 图象变换：由函数 y ＝ sin x 的图象通过变换得到 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象，有两种主要途径： “ 先平移后伸缩 ” 与 “ 先伸缩后平移 ”. 跟踪训练 1 　把函数 y ＝ sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象 向左平移 个 单位，得到的函数图象的解析式是 答案 解析 A. y ＝ cos 2 x B. y ＝－ sin 2 x C. y ＝ sin(2 x － ) D. y ＝ sin(2 x ＋ ) 由 y ＝ sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变， 所得图象的解析式为 y ＝ sin 2 x ， 几何画板展示 题型二　由图象确定 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的解析式 例 2 　 已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ( A >0 ， | φ |< ， ω >0) 的图象的一部分如图所示 . (1) 求 f ( x ) 的表达式 ； 解答 观察图象可知 A ＝ 2 且点 (0,1) 在图象上， 又 ∵ 是 函数的一个零点且是图象递增穿过 x 轴形成的零点， (2) 试写出 f ( x ) 的对称轴方程 . 解 答 思维 升华 求 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ B ( A >0 ， ω >0) 解析式的步骤 (3) 求 φ ，常用方法如下： ① 代入法：把图象上的一个已知点代入 ( 此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上 ) 或把图象的最高点或最低点代入 . ② 五点法：确定 φ 值时，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的特殊点作为突破口 . 具体如下： “ 第一点 ” ( 即图象上升时与 x 轴的交点 ) 为 ωx ＋ φ ＝ 0 ； “ 第二点 ” ( 即图象的 “ 峰点 ” ) 为 ωx ＋ φ ＝ ； “ 第三点 ” ( 即图象下降时与 x 轴的交点 ) 为 ωx ＋ φ ＝ π ； “ 第四点 ” ( 即图象的 “ 谷点 ” ) 为 ωx ＋ φ ＝ ； “ 第五点 ” 为 ωx ＋ φ ＝ 2π. 跟踪训练 2 　 (2016· 太原模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ φ ) ( ω >0 ， | φ |< ) 的部分图象如图所示，则 y ＝ f ( x ＋ ) 取得最小值时 x 的集合为 答案 解析 ∴ ω ＝ 2 ，因此 f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ) ， 题型三　三角函数图象性质的应用 命题点 1 　三角函数模型的应用 例 3 　 (2015· 陕西 ) 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足 函数 ， 据此函数可知，这段时间水深 ( 单位： m) 的最大值为 答案 解析 A.5 B.6 C.8 D.10 由题干图易得 y min ＝ k － 3 ＝ 2 ，则 k ＝ 5. ∴ y max ＝ k ＋ 3 ＝ 8. 命题点 2 　函数零点 ( 方程根 ) 问题 答案 解析 ( － 2 ，－ 1) 故 m 的取值范围是 ( － 2 ，－ 1). 引申探究 例 4 中，若将 “ 有两个不同的实数根 ” 改成 “ 有实根 ” ，则 m 的取值范围是 ________. 答案 解析 [ － 2,1) ∴ － 2 ≤ m <1 ， ∴ m 的取值范围是 [ － 2,1). 命题点 3 　图象与性质的综合应用 解 答 (1) 求 ω 和 φ 的值； 因为 f ( x ) 的图象上相邻两个最高点的距离为 π ， (2) 当 x ∈ [0 ， ] 时，求函数 y ＝ f ( x ) 的最大值和最小值 . 解答 思维 升华 (1) 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题 . (2) 方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 . (3) 研究 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的性质时可将 ωx ＋ φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题 . 答案 解析 画出函数的图象 . 三角函数 图象与性质的综合问题 答题模板系列 4 (1) 求 f ( x ) 的最小正周期； (2) 若将 f ( x ) 的图象向右 平移 个 单位长度，得到函数 g ( x ) 的图象，求函数 g ( x ) 在区间 [ 0 ， π ] 上的最大值和最小值 . 思维点拨 规范解答 答题模板 (1) 先将 f ( x ) 化成 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的形式再求周期； (2) 将 f ( x ) 解析式中的 x 换成 x － ， 得 g ( x ) ，然后利用整体思想求最值 . 故函数 g ( x ) 在区间 [ 0 ， π ] 上的最大值为 2 ，最小值为－ 1 . [ 12 分 ] 返回 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步： ( 化简 ) 将 f ( x ) 化为 a sin x ＋ b cos x 的形式； 第四步： ( 反思 ) 反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 . 返回 课时作业 1. 为了得到函数 y ＝ cos(2 x ＋ ) 的图象，可将函数 y ＝ sin 2 x 的图象 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A. － 2 或 0 B.0 或 1 C .±1 D .±2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 所以 b ＝－ 2 或 b ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 观察图象可知， A ＝ 1 ， T ＝ π ， ∴ ω ＝ 2 ， f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 8.( 2017· 长春 质检 ) 设偶函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ( A >0 ， ω >0,0< φ <π) 的部分图象如图所示， △ KLM 为等腰 直角 三角形 ， ∠ KML ＝ 90° ， KL ＝ 1 ，则 f ( ) 的值为 _______. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(2015· 天津 ) 已知函数 f ( x ) ＝ sin ωx ＋ cos ωx ( ω ＞ 0) ， x ∈ R . 若函数 f ( x ) 在区间 ( － ω ， ω ) 内单调递增，且函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ ω 对称 ， 则 ω 的值为 _____. 答案 解析 因为 f ( x ) 在区间 ( － ω ， ω ) 内单调递增，且函数图象关于直线 x ＝ ω 对称， 所以 f ( ω ) 必为一个周期上的最大值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 电流强度 I ( 安 ) 随时间 t ( 秒 ) 变化的函数 I ＝ A sin( ωt ＋ φ )( A >0 ， ω >0,0< φ < ) 的图象如图所示，则当 t ＝ 秒 时，电流强度是 _____ 安 . 答案 解析 － 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 (1) 求函数的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求函数 f ( x ) 的递增区间 . 解 答 (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期 T 和函数 f ( x ) 的单调递增区间； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若函数 f ( x ) 的对称中心为 ( x, 0) ，求 x ∈ [0,2π) 的所有 x 的和 . 解答 ∵ x ∈ [0,2π) ， ∴ k 可取 1,2,3,4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13.(2016· 潍坊模拟 ) 函数 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ( A >0 ， ω >0,0< φ < ) 的部分图象如图所示 . (1) 求 f ( x ) 的解析式； 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13