2019年高考数学练习题汇总6_数 列
6.数 列
1.已知从数列{an}中取出部分项，并按原来的顺序组成一个新的数列，，…，称为数列{an}的一个子数列，若该子数列为等比数列，则称为数列{an}的等比子数列.
(1)设数列{an}是一个公差不为0的等差数列，若a1＝1，a3＝6，且a1，a3，，，，…，为数列{an}的等比子数列，求数列{nk}的通项公式；
(2)是否存在一个等差数列{an}，使得{bn}是数列{an}的一个等比子数列？其中数列{bn}的公比为q，同时满足b1＝a，b2＝a，b3＝a(a1
0.
由题意得a(a1＋2d)2＝(a1＋d)4，
化简得2a＋4a1d＋d2＝0，
所以d＝(－2±)a1，而－2±<0，故a1<0.
若d＝(－2－)a1，则q＝＝＝(＋1)2，
故b1＝a＝(1＋)(1－q)＝(1＋)(－2－2)<0，故舍去.
若d＝(－2＋)a1，则q＝＝＝(－1)2，
从而b1＝a＝(1＋)(1－q)＝(2－2)(1＋)＝2，
所以a1＝－，d＝(－2＋)a1＝2－2，
所以an＝(2－2)n－3＋2.
又b1＝2，令(2－2)n－3＋2＝2，
故n＝不是整数，即b1不是数列{an}中的项.
故不存在满足条件的等差数列{an}.
2.设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2－(t＋bn)n＋bn＝0(t∈R，n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；
(3)当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak＋1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm＝2cm＋1的所有正整数m.
解 (1)由题意6a3＝8a1＋a5，则6q2＝8＋q4，解得q2＝4或q2＝2(舍)，则q＝2，又a1＝2，所以an＝2n.
(2)当n＝1时，2－(t＋b1)＋b1＝0，得b1＝2t－4，
当n＝2时，2×22－(t＋b2)×2＋b2＝0，得b2＝16－4t，
当n＝3时，2×32－(t＋b3)×3＋b3＝0，得b3＝12－2t，
则由b1＋b3＝2b2，得t＝3，
而当t＝3时，2n2－(3＋bn)n＋bn＝0，得bn＝2n，
由bn＋1－bn＝2(常数)知，此时数列{bn}为等差数列，故t＝3.
(3)由(1)(2)知，an＝2n，bk＝2k.
由题意知，c1＝a1＝2，c2＝c3＝2，c4＝a2＝4，c5＝c6＝c7＝c8＝2，c9＝a3＝8，…，
则当m＝1时，T1≠2c2，不合题意，
当m＝2时，T2＝2c3，适合题意.
当m≥3时，若cm＋1＝2，则Tm≠2cm＋1，一定不适合题意，
从而cm＋1必是数列{an}中的某一项ak＋1，
则Tm＝a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4＋…＋ak＋，
＝(2＋22＋23＋…＋2k)＋2(b1＋b2＋b3＋…＋bk)
＝2×(2k－1)＋2×＝2k＋1＋2k2＋2k－2，
2cm＋1＝2ak＋1＝2×2k＋1，
所以2k＋1＋2k2＋2k－2＝2×2k＋1，即2k－k2－k＋1＝0，所以2k＋1＝k2＋k.
2k＋1(k∈N*)为奇数，而k2＋k＝k(k＋1)为偶数，
所以上式无解.
即当m≥3时，Tm≠2cm＋1.
综上知，满足题意的正整数仅有m＝2.
3.(2018·江苏省邗江中学期中)已知各项均为正数的数列满足a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列{bn}满足 bn＝，是否存在正整数m，n(1m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，请说明理由.
解 (1)设数列{an}的公差为d.
因为2a5－a3＝13，S4＝16，
所以解得
所以an＝2n－1，Sn＝n2.
(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，
则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k.
代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·2k<4k，从而λ<.
设bk＝，k∈N*，则bk＋1－bk＝－＝.因为k∈N*，所以bk＋1－bk＞0，
所以数列{bk}是递增的，所以(bk)min＝2，所以λ<2.
②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，
则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.
代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1，得λ(1－2k)<(2k－1)4k，从而λ>－4k.
因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4.
综上，λ的取值范围为(－4,2).
(3)假设存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，
则(Sm－S2)2＝S2(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，
所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，
即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12.
因为n>m>2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.
因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，
故不存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列.
6.(2018·南京模拟)若数列满足：对于任意n∈N*，an＋均为数列中的项，则称数列为“T 数列”.
(1)若数列的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列为“T 数列”；
(2)若公差为d的等差数列为“T 数列”，求d的取值范围；
(3)若数列为“T 数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an
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