【数学】2018届一轮复习苏教版概率与统计学案理

【数学】2018届一轮复习苏教版概率与统计学案理

专题1.8 概率与统计 一．考场传真 ‎1. 【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形 自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 2．【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】A ‎ 3．【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得.‎ ‎4．【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值 ‎，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎ 5．【2017课标II，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个 箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：‎ ‎ ‎ （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于‎50kg, 新养殖法的箱产量不低于‎50kg”，估计A的概率；‎ （1） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜‎‎50kg 箱产量≥‎‎50kg 旧养殖法 新养殖法 （2） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ 附： ‎ ‎ ‎ ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎，由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关. ‎ ‎（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.‎ ‎6．【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎ 10，15）‎ ‎ 15，20）‎ ‎ 20，25）‎ ‎ 25，30）‎ ‎ 30，35）‎ ‎ 35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎ 520元.‎ 二．高考研究 ‎【考纲解读】‎ ‎1.考纲要求 概率与统计 ‎（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式．‎ ‎（2）理解古典概型及其概率计算公式．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎（3）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．‎ ‎（4）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．‎ ‎（5）能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．‎ ‎（6）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．‎ ‎（7）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．‎ ‎（8）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．‎ ‎（9）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ 独立性检验：了解独立性检验(只要求2 2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.‎ 回归解析：了解回归解析的基本思想、方法及其简单应用.‎ ‎2.命题规律：‎ ‎（1）随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查；‎ ‎（2）借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；‎ ‎（3）以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，常与积分结合起 出题.‎ ‎（4）考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算． ‎ ‎（5）考查以样本的分布估计总体的分布（以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数）；‎ ‎（6）离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择、填空题，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题．‎ ‎（7）概率与统计问题是每年高考必考内容，且本部分题多为中低档题.一般是一个选择题、一道解答题.选择题或填空题以中低档题为主，‎ ‎ 解答题中等难度，重点考查基本概念及运算，往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，成为近年命题的一个明显趋势，而统计案例这二年有所加强.‎ ‎3．学法导航 ‎ ‎1. 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎2. 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．‎ ‎3．反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．‎ ‎4. 在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图 确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(，)，应引起关注．‎ ‎5．独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入公式求解K2即可．‎ ‎6．几种常见的分布列的求法 取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.‎ 射击问题：若是一人连续射击，且限制在次射击中发生次，则往往与二项分布联系起 ；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.‎ 对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.‎ ‎7．解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：‎ 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.‎ 第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.‎ 第三步，运用公式求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.‎ 一．基础知识整合 基础知识：‎ ‎1．随机事件的概率 ‎（1）随机事件的概率范围：；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0．‎ ‎（2）古典概型的概率：；‎ ‎（3）几何概型的概率：；‎ ‎（4）互斥事件的概率加法公式：；对立事件的概率减法公式：；‎ ‎（5）相互独立事件的概率乘法公式：；（6）条件概率除法公式：．‎ ‎2．独立重复试验概率公式：‎ ‎3．超几何分布的概率：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．‎ ‎4．离散型随机变量的均值与方差 ‎（1）均值：；‎ ‎（2）方差：；‎ ‎（3）性质：；．‎ ‎5．两点分布与二项分布的均值与方差：（1）若服从两点分布，则；‎ ‎（2）若，则．‎ ‎6．正态分布的三个常用数据 ‎（1）；（2）；（3）．‎ ‎7．直方图的三个常用结论 ‎（1）小长方形的面积=组距=频率；（2）各长方形的面积和等于1；（3）小长方形的高=．‎ ‎8．统计中的四个数据特征：（1）众数、中位数；（2）样本平均数；（3）样本方差；（4）样本标准差．‎ ‎9．线性回归方程 线性回归方程为， ，）.其中＝i，＝i，一定经过样本中心点．‎ ‎10.独立性检验：设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1.‎ ‎2×2列联表 ‎　B A　‎ B1‎ B2‎ 总计 A1‎ a b a＋b A2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量其中为样本容量．‎ ‎(2)独立性检验:利用随机变量 判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验．‎ ‎(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断 ‎①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；‎ ‎②当χ2＞2.706时，有90 的把握判定变量A，B有关联；‎ ‎③当χ2＞3.841时，有95 的把握判定变量A，B有关联；‎ ‎④当χ2＞6.635时，有99 的把握判定变量A，B有关联．‎ 二．高频考点突破 考点1 古典概型与几何概型 ‎【例1】已知函数，其中，，则函数在上是增函数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题考函数的单调性2、古典概型，涉及函数与方程思想、数形结合思想、或然与必然思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化与化归思想，将原命题等价转化为在恒成立，符合上述不等式的有 所求概率.‎ ‎【答案】D ‎【规律方法】1．解决古典概型问题，关键是弄清楚基本事件的总数以及某个事件A所包含的基本事件的个数，然后由公式 求概率；‎ ‎2．几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域；‎ ‎3．对于较复杂的互斥事件可先分解为基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解．‎ ‎【举一反三】【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形为正方形， 为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接， ，则向多边形中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点2 互斥事件与相互独立事件 ‎【例2】某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：‎ ‎（Ⅰ）试确定图中与的值；‎ ‎（Ⅱ）规定等级D为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频数分布条形图得由频率分布条形图得（Ⅱ）甲、乙两校“合格”的学生分别有54人和51人，所以从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生共有种选法，其中甲校学生成绩高于乙校学生成绩包含种选法，因此所求概率为 ‎【规律方法】1．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解；‎ ‎2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 计算．‎ ‎【举一反三】甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：‎ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4‎ 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7‎ ‎（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；‎ ‎（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙人分别获得优秀的概率.‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴乙比甲的射击成绩稳定.‎ ‎（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为，乙运动员为，则甲、乙在第11次射击中获得优秀次数的情况为取值0、1、2，∴；；‎ ‎.∴甲、乙两人分别获得优秀的概率： ‎ 考点3 独立重复实验与二项分布 ‎【例3】某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：‎ ‎（Ⅰ）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；‎ ‎（Ⅱ）以这16人的样本数据 估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用对立事件求可以简化情况，即得；（Ⅱ）由已知得 ‎，利用二项分布求分布列及期望即可.‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，由已知得，∴‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎【规律方法】1．注意辨别独立重复试验的基本特征 第一，每次试验是在同样条件下进行的；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．‎ ‎2．牢记公式并深刻理解其含义．‎ ‎【举一反三】【广西贵港市2018届12月联考】2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.‎ ‎（1）求该学生进入省队的概率.‎ ‎（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望.‎ 考点4 离散型随机变量的分布列、均值与方差 ‎【例4】根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上 购物者的年龄情况如图．‎ ‎（1）已知、，三个年龄段的上 购物者人数成等差数列，求，的值；‎ ‎（2）该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上 购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图可有，所以，又根据等差中项有，所以解得，‎ ‎；（2）根据频率分布直方图可知高消费人群与潜在消费人群的频率之比为，所以根据分层抽样的性质可知，应从高消费人群中抽取人，潜在消费人群中抽取人，现从这人抽取人进行回访，分析可知三人获得代金券总和的所有可能取值为，，，，对应的概率分别为，，，，于是可以求出分布列和数学期望.‎ ‎ 240,210,180,150.，，，，列表如下：‎ ‎240‎ ‎210‎ ‎180‎ ‎150‎ 数学期望．‎ ‎【规律方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎2. 求离散型随机变量均值的步骤 ‎(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；‎ ‎(2)求的每个值的概率；‎ ‎(3)写出的分布列；‎ ‎(4)由均值定义求出．‎ ‎3. 六条性质 ‎(1) (为常数)‎ ‎(2) (为常数)‎ ‎(3) ‎ ‎(4)如果相互独立，则 ‎(5) ‎ ‎(6) ‎ ‎4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带 的繁琐运算．‎ ‎【举一反三】【2018届广东省七校第二次联考】 上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加 购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝 购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝 和京东商城选择一家购物.‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去淘宝 购物的概率;‎ ‎(2)求这4个人中去淘宝 购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率:‎ ‎(3)用X,Y分别表示这4个人中去淘宝 购物的人数和去京东商城购物的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎ (3) 可取0,2,4，,,‎ ‎,随机变量的分布列为 ‎∴‎ 考点5 抽样方法 ‎【例5】贵阳市观山湖区松景阁小区45户住户5月的电费（单位：元）的茎叶图如图所示，若将该小区住户按电费数额由低到高编为1-45号，再用系统抽样的方法从中抽取9户，则这9户中电费在内的住户数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于系统抽样就是等距抽样,而,在中的数据共有个,所以.故应填答案.‎ ‎【规律方法】‎ 类 别 共 同 点 各 自 特 点 相 互 联 系 适 用 范 围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等 从总体中逐个抽取学 总体中的个体数较少:‎ 系统抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎(1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本．‎ ‎(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．‎ ‎【举一反三】【2018江西宜春二模】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为（ ）‎ A. 28、27、26 B. 28、26、‎24 C. 26、27、28 D. 27、26、25‎ ‎【答案】A 考点6 用样本估计总体 ‎【例6】【2018贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越 越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有2500人，年龄在岁的有1200人，则的值为（ ）‎ A. 0.013‎‎ B. ‎0.13 C. 0.012 D. 0.12‎ ‎【分析】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.‎ ‎【答案】C ‎【规律方法】1．利用频率分布直方图估计样本的数字特征 ‎(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．‎ ‎(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．‎ ‎2．平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．‎ ‎【举一反三】某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）．‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的中位数是89，所以，选B.‎ 考点7 线性回归分析与独立性检验 ‎【例7】中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表：‎ 年份 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 水上狂欢节届编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 外地游客人数（单位：十万）‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多少？‎ 参考公式：,．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求平均数，再将数据依次代入相关公式，求出以及，（Ⅱ）本题实际为利用线性回归方程进行估值：当时，，即得结果 ‎【规律方法】1．两个具有线性相关关系的变量的一组数据：其回归方程为则；‎ ‎2．假设有两个分类变量和，它们的值域分别为和，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：‎ 总 计 总 计 ‎ (其中为样本容量)，可利用独立性检验判断表 判断“x与y的关系”．‎ ‎【举一反三】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整；‎ ‎（2）并判断是否有99.9 的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；‎ ‎（3）已知在被调查的学生中有5名 自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎1. 某孪生兄弟均为三口之家，2016年1－8月他们的家用煤气用量（单位：‎ ‎）的茎叶图如下图所示，其中两兄弟家的家用煤气用量的平均数之和为69，哥哥家的家用煤气用量的中位数比弟弟家的家用煤气用量的众数大2，则的值为（　　　）‎ A．5　　　　B．‎10　‎　　　C．15　　　　D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图知弟弟家用煤气用量的众数为34，则哥哥家用煤气用量的中位数为36，则，解得，又由两兄弟家用煤气用量的平均数之和为69，知＋＝69，解得，所以，故选C．‎ 押题依据　从茎叶图中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型．‎ ‎2. 已知,若,则“存在不相等的实数,使得”的概率为 ( )‎ A． B. C． D.‎ ‎【答案】B ‎ 押题依据　与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大．‎ ‎3. 2017年高考体检，某中学随机抽取名女学生的身高（厘米）和体重（公斤）的数据如下表：‎ x ‎165‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎155‎ ‎170‎ y ‎58‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎43‎ ‎60‎ ‎ 根据上表可得回归直线方程为，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 【答案】A ‎ 【解析】由表中数据可得，∵点一定在回归直线方程上，‎ ‎ ∴，解得．故选A．‎ 押题依据　线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点．‎ ‎4. 至2016年10月,两大用户使用粘度最高的第三方支付相继对提现转账收费,业内人士分析,部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系,某调查机构对此进行调查,并从参与调查的数万名用户中随机选取200人,把这200人分为3类：认为使用第三方支付方便,仍使用第三方支付提现转账的用户称为“A类用户”,根据提现转账的多少确定是否使用第三方支付的用户称为“B类用户”,提前将第三方支付账户内的资金全部提现,以后转账全部通过银行的用户称为“C类用户”,其中A类用户与B类用户之比为2:1,B类用户与C类用户之比为3:1,同时把这200人按年龄分为青少年组与中老年组,制成如下图所示的列联表：‎ A类用户 非A类用户 合计 青少年 ‎20‎ 中老年 ‎40‎ 合计 ‎200‎ ‎(1)是否有99.9 以上的把握认为“A类用户与年龄有关”；‎ ‎(2)把频率作为概率,从第三方支付所有用户(人数很多)中抽取3人,用X,Y分别表示所选3人中A类用户与非A类用户的人数,记,求的分布列与期望.‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：,其中）‎ 押题依据　本题主要考查独立性检验，二项分布，数学期望等基础知识的理解和应用，意在考查学生的审读能力、获取信息的能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力.‎ ‎5. 人最宝贵的是生命，然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己，在交通运输业发展迅猛的今天，由于不懂得交通法规，以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐，那些在交通复杂多变的地方而引发的行人交通事故也是接连不断．为了警示市民，某市对近三年内某多发事故路口在每天 时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研，数据按事发时间分成8组：（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图． ‎ ‎（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段与的次数；‎ ‎（Ⅱ）在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析，再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究．记这3次交通事故中发生时间在与的次数为，求的分布列及数学期望．‎ 押题依据　本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列及数学期望，意在考查学生的识图能力、数据处理能力、运算求解能力以及分类讨论思想．题目背景非常贴近学生生活实际，体现了新课程的理念，故选此题.‎