【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-5直接证明与间接证明作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-5直接证明与间接证明作业

课时跟踪检测(四十一)　直接证明与间接证明 ‎1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是(　　)‎ A．a－b＞0　　　　　　 B．a－c＞0‎ C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0‎ 解析：选C　＜a⇔b2－ac＜3a2‎ ‎⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0‎ ‎⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0‎ ‎⇔(a－c)(a－b)＞0.‎ ‎2．用反证法证明命题“设f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)为实数，则方程f(x)＝0至少有一个实根”时，正确的假设是(　　)‎ A．方程f(x)没有实根 B．方程f(x)＝0至多有一个实根 C．方程f(x)＝0至多有两个实根 D．方程f(x)＝0恰好有两个实根 解析：选A　由反证法证明命题的格式和步骤，可知应设方程f(x)＝0没有实根，故应选A.‎ ‎3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)‎ A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定 解析：选A　假设P＞Q，要证P＞Q，只需证P2＞Q2，只需证：2a＋13＋2＞2a＋13＋2，只需证a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40，‎ 即证42＞40，因为42＞40成立，所以P＞Q成立．‎ ‎4．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：选A　因为≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，所以f≤f()≤f.‎ ‎5．设x，y，z都为正实数，则三个数＋，＋，＋(　　)‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ 解析：选C　假设三个数都小于2，‎ 则＋＋＋＋＋＜6，由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.‎ ‎6．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．‎ 解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．‎ 解析：a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然 ＜，所以a＜b.‎ 答案：a＜b ‎8．已知a＞b＞0，则①＜；②ac2＞bc2；③a2＞b2；④＞，其中正确的序号是________．‎ 解析：当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知①③④正确．‎ 答案：①③④‎ ‎9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：＞8.‎ 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，‎ 所以－1＝＝＞，①‎ －1＝＝＞，②‎ －1＝＝＞，③‎ 又x，y，z为正数，由①×②×③，‎ 得＞8.‎ 故原不等式得证．‎ ‎10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.‎ 证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.‎ 只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(|a|2＋2a·b＋|b|2)，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2|a|2＋2|b|2，‎ 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，‎ 上式显然成立，故原不等式得证．‎ ‎11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.‎ ‎(1)证明：是f(x)＝0的一个根；‎ ‎(2)试比较与c的大小；‎ ‎(3)证明：－2＜b＜－1.‎ 解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，‎ ‎∵f(c)＝0，‎ ‎∴x1＝c是f(x)＝0的根，‎ 又x1x2＝，∴x2＝，‎ ‎∴是f(x)＝0的一个根．‎ ‎(2)假设＜c，又＞0，‎ 由0＜x＜c时，f(x)＞0，‎ 知f＞0与f＝0矛盾，‎ ‎∴≥c，又∵≠c，∴＞c.‎ ‎(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，‎ ‎∴b＝－1－ac.‎ 又a＞0，c＞0，∴b＜－1.‎ 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.‎ 又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.‎