2018-2019学年湖南省醴陵市第二中学高一上学期12月月考数学试题

2018-2019学年湖南省醴陵市第二中学高一上学期12月月考数学试题

‎ ‎ ‎2018-2019学年湖南省醴陵市第二中学高一上学期12月月考数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下列命题正确的是 （ ）‎ A．三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面 ‎2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)‎ ‎ ‎ ‎①正方体 ②圆锥 ③三棱台　 ④正四棱锥 A．①②　　　 B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎3．平面与平面平行的条件可以是 （ ）‎ A．内有无穷多条直线都与平行 ‎ B．直线且直线不在内，也不在内 C．直线，直线且， ‎ D．内的任何直线都与平行 ‎4．给出下列四个命题：其中假命题的个数是( )．‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ‎③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行 ‎④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎6．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（　 　）‎ Ａ．　　 Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ．‎ ‎7．已知某几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　　)‎ A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3‎ ‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 第9题图 ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．(5＋)π B．(20＋2)π C．(10＋)π D．(5＋2)π ‎9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点 E，F，且EF＝，则下列结论错误的是(　　)‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A—BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 ‎10．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）‎ A B C D E F M N A． B． C． D． ‎ ‎11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①与 平行 ②与异面 ‎ ③与成 ④与垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）‎ A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④‎ ‎12．在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面 的距离为( ) ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）‎ ‎13．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．‎ ‎14．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为__________．‎ ‎ ‎ 第13题图 第14题图 ‎15．点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的 距离为_________________．‎ ‎16．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，PA=4，‎ APB＝30︒，过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分,其余5题每题12分,共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．(10分)如图，在正三棱柱中，点是棱的中点．求证：‎ C B A A1‎ B1‎ C1‎ D ‎(1) 平面；‎ ‎(2) ．‎ ‎18． (12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD ＝AD，AD⊥CD，点E，F分别是AB， BD的中点．‎ 求证：(1)求直线EF与CA所成角的大小；(2)平面EFC⊥平面BCD.‎ ‎19．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．‎ ‎(1)证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．（直角三角形中锐角的正弦值等于锐角所对直角边与斜边的比值）‎ ‎ 第18题图 第19题图 第20题图 ‎20．(12分)在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积。‎ ‎21．(12分)在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．‎ ‎(1)求证：BC⊥AD；‎ ‎(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；（直角三角形中锐角的正弦值等于锐角所对直角边与斜边的比值）；‎ ‎22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．‎ ‎(第18题)‎ 第21题图 第22题图 ‎(1)求正视图的面积； (2)求四棱锥P－ABCD的体积； (3)求证：AC⊥平面PAB.‎ 醴陵二中2018级高一12月月考数学试卷 ‎1-12 D D D D B B C A D A C C ‎13-16 1:1 5,1 ‎ C B A A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎17.证明:（1）连接交于点，再连接．‎ ‎ 因为四边形为矩形，所以为的中点，‎ 又因为为的中点，所以.‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎ (2) 因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ 又点是棱的中点，且为正三角形，所以.‎ 因为，所以平面，‎ 又因为平面，所以．‎ ‎18.证明　(1)在△ABD中，‎ ‎∵E，F分别是AB，BD的中点，‎ ‎∴EF∥AD.‎ 所以CAD为直线EF与CA所成角的，‎ ‎∵AD⊥CD，CD ＝AD，‎ ‎∴CAD＝60︒‎ 所以直线EF与CA所成角为60︒‎ ‎ (2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，‎ ‎∴EF⊥BD.‎ 在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，‎ ‎∴CF⊥BD.‎ ‎∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，‎ 又∵BD⊂平面BCD，‎ ‎∴平面EFC⊥平面BCD.‎ ‎19．‎ 解　(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，‎ 所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，‎ 又PQ⊄平面ACD，‎ 从而PQ∥平面ACD.‎ ‎(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.‎ 因为DC⊥平面ABC，‎ EB∥DC，‎ 所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.‎ 故CQ⊥平面ABE.‎ 由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，‎ 所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.‎ 因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，‎ 在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，‎ sin∠DAP＝，‎ 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.‎ ‎21．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．‎ ‎∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，‎ ‎∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，‎ ‎∴BC⊥AD． ‎ 解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝θq，则过点D作DE⊥AD，垂足为E．‎ ‎∵BC⊥平面ADO，且BC平面ABC，‎ ‎∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，‎ ‎∴DE⊥平面ABC．‎ ‎∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．‎ 又DO＝BD＝2，‎ 在Rt△DEO中，sinθ＝＝，‎ 故二面角A－BC－D的正弦值为． ‎ ‎22、解　(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.‎ 又∵△PBC为正三角形，‎ ‎∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，‎ ‎∴PE2＝PC2－CE2＝3.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE.‎ ‎∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝.‎ 正视图的面积为S＝×2×＝.‎ ‎(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝，底面积为S＝·CD＝×1＝，‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝S·PA＝××＝.‎ ‎(3)证明：∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC.‎ ‎∵在直角三角形ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝2，‎ 在直角三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝2，‎ ‎∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC是直角三角形．‎ ‎∴AC⊥AB.‎ 又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB.‎