2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校（师大附中分校）高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版
哈师大青冈实验中学2017——2018学年度期中试题
高二学年数学（文）试题
一． 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）。
1.命题“若x2<1，则－1
1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
2.双曲线x2－5y2＝5的焦距为( )
A． B．2 C．2 D．4
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
4.顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
图 1
5.如图1所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．1
6.如图2所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )
图 2
A．k≥6? B．k＝7?
C．k≥8? D．k≥9?
7.过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )．
A. B. C. D.
8.如图3，在长方体中，，，，由
在表面到达的最短行程为（ ）
A．12 B．
图 3
C． D．
9.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点.若线段的中点到轴的距离为,则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
10.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
11.双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
A
B
C
D
图 4
12.如图4，四面体A-BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，面ABD⊥平面BCD，若四面体A-BCD的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． [k.Com]
C． D．
一． 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。
13.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．
14.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.
15.命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是_______.
16.斜率为2的直线过双曲线－＝1的右焦点且与双曲线两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每题12分，共70分）。
17.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18.如图，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，
⑴求证：MD∥平面APC；
⑵求证：平面ABC⊥平面APC．
19.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
20.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角互补，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
高二学年数学（文)答案
DBACA CBBCB BC
13. ＋y2＝1或＋x2＝1 14.0 15.(－2，1]∪[2，＋∞)． 16.（，+∞)
17.[解析] 由(4x－3)2≤1，得≤x≤1，令A＝{x|≤x≤1}．由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，令B＝{x|a≤x≤a＋1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即∴，∴0≤a≤.∴实数a的取值范围是[0，]．
18.证明：⑴因为M为AB中点，D为PB中点，
所以MD∥AP， 又MD平面APC，所以MD∥平面APC．
⑵因为△PMB为正三角形，且D为PB中点，所以MD⊥PB．
又由⑴知MD∥AP，所以AP⊥PB．已知AP⊥PC，PB∩PC=P， 所以AP⊥平面PBC，而BCPBC， 所以AP⊥BC，又AC⊥BC，而AP∩AC=A，
所以BC⊥平面APC， 又BC平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAC．
19.解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，
图 5
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1.即t的取值范围是
(2)r＝ ＝ .
20.[解析] (1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1、x2＝4，y1＝－2、y2＝4，
从而A(1，－2)、B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
22[解析] (1)由椭圆C的离心率e＝，得＝，其中c＝，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝()2＋(2－c)2，解得c＝1.∵e＝，∴a2＝2，b2＝1.∴所求的椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意，知直线l斜率存在，其方程为y＝kx＋m.由，消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
其中Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－2)>0，即2k2－m2>－1.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，且kF2M＝，kF2N＝.
由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补，得kF2M＋kF2N＝0，即＋＝0.
化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，∴2k·－－2m＝0，
整理得m＝－2k，∴直线l的方程为y＝k(x－2)．当x－2＝0时，y＝0，该方程就与参数k无关，
因此直线l过定点，该定点的坐标为(2,0)．
