高考数学专题复习课件：3-2-1导数与函数的单调性

高考数学专题复习课件：3-2-1导数与函数的单调性

当 f ′( x ) ＞ 0 ，即 0 ＜ x ＜ e 时，函数 f ( x ) 单调递增； 当 f ′( x ) ＜ 0 ，即 x ＞ e 时，函数 f ( x ) 单调递减． 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ， e) ， 单调递减区间为 (e ，＋ ∞ ) ． 【 方法规律 】 确定函数单调区间的步骤： (1) 确定函数 f ( x ) 的定义域； (2) 求 f ′( x ) ； (3) 解不等式 f ′( x ) ＞ 0 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4) 解不等式 f ′( x ) ＜ 0 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【 答案 】 B ∴ g ′ ( x ) ＝ e x － a . ① 当 a ≤ 0 时， g ′ ( x ) ＞ 0 ，函数 g ( x ) 在 R 上单调递增； ② 当 a ＞ 0 时，由 g ′( x ) ＝ e x － a ＝ 0 得 x ＝ ln a ， ∴ x ∈ ( － ∞ ， ln a ) 时， g ′ ( x ) ＜ 0 ， g ( x ) 单调递减； x ∈ (ln a ，＋ ∞ ) 时， g ′ ( x ) ＞ 0 ， g ( x ) 单调递增． 综上，当 a ≤ 0 时，函数 g ( x ) 的单调递增区间为 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ；当 a ＞ 0 时，函数 g ( x ) 的单调递增区间为 (ln a ，＋ ∞ ) ，单调递减区间为 ( － ∞ ， ln a ) ． 【 方法规律 】 (1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2) 划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点． (3) 个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f ( x ) ＝ x 3 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ≥ 0( f ′( x ) ＝ 0 在 x ＝ 0 时取到 ) ， f ( x ) 在 R 上是增函数． (1) 求 b ， c 的值； (2) 若 a ＞ 0 ，求函数 f ( x ) 的单调区间； (3) 设函数 g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ 2 x ，且 g ( x ) 在区间 ( － 2 ，－ 1) 内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围． 2 ．若 g ( x ) 的单调减区间为 ( － 2 ，－ 1) ，求 a 的值． 【 解析 】 ∵ g ( x ) 的单调减区间为 ( － 2 ，－ 1) ， ∴ x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝－ 1 是 g ′( x ) ＝ 0 的两个根， ∴ ( － 2) ＋ ( － 1) ＝ a ，即 a ＝－ 3. 3 ．若 g ( x ) 在 ( － 2 ，－ 1) 上不单调，求 a 的取值范围． 【 解析 】 由引申探究 1 知 g ( x ) 在 ( － 2 ，－ 1) 上为减函数， a 的范围是 ( － ∞ ，－ 3] ， 【 方法规律 】 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1) 利用集合间的包含关系处理： y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调，则区间 ( a ， b ) 是相应单调区间的子集． (2) 转化为不等式的恒成立问题：即 “ 若函数单调递增，则 f ′( x ) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ′( x ) ≤ 0 ” 来求解． 跟踪训练 3 (2017· 河北邯郸一中收官考试 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x － 2)e x ， g ( x ) ＝ kx 3 － x － 2. (1) 若函数 g ( x ) 在区间 (1 ， 2) 上不单调，求实数 k 的取值范围； (2) 当 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) 时，不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立，求实数 k 的最大值． 【 解析 】 (1) 依题意，得 g ′( x ) ＝ 3 kx 2 － 1. ① 当 k ≤ 0 时， g ′ ( x ) ＝ 3 kx 2 － 1 ＜ 0 ，所以 g ( x ) 在 (1 ， 2) 上单调递减，不满足题意； ► 方法与技巧 1 ．已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f ′( x ) ＞ 0 ， f ′ ( x ) ＜ 0 的解区间，并注意定义域． 2 ．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性． 3 ．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决． ► 失误与防范 1 ． f ( x ) 为增函数的充要条件是对任意的 x ∈ ( a ， b ) 都有 f ′ ( x ) ≥ 0 且在 ( a ， b ) 内的任一非空子区间上 f ′( x ) 不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 2 ．注意两种表述 “ 函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上为减函数 ” 与 “ 函数 f ( x ) 的减区间为 ( a ， b ) ” 的区别． 3 ．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点 .