2020年高中数学第三章复数代数形式的乘除运算

2020年高中数学第三章复数代数形式的乘除运算

‎3.2.2‎‎ 复数代数形式的乘除运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知复数z＝1－i，则＝(　　)‎ A．2i B．－2i C．2 D．－2‎ 解析：因为z＝1－i，‎ 所以＝＝＝－2i.‎ 答案：B ‎2．已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－2‎ 解析：(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋‎2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋‎2a≠0，解得a＝2.‎ 答案：A ‎3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，‎ ‎∴(a2＋b2)i＋2＝‎2a＋2bi，‎ ‎∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.‎ 答案：A ‎4．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．‎ 答案：D ‎5．已知＝1＋i (为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ 4‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.‎ 答案：D ‎6．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是______(填序号)．‎ ‎①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.‎ 解析：z＝＝＝－1－i，‎ 所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．‎ 答案：②④‎ ‎7．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________.‎ 解析：∵z＝1＋i，则＝1－i ‎∴＋i·＝＋i(1－i)‎ ‎＝＋i＋1＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.‎ 解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，‎ 则(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.‎ 答案：3‎ ‎9．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.‎ 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，‎ 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，‎ 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，‎ 则有 解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i.‎ ‎10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.‎ ‎(1)求复数z的共轭复数．‎ ‎(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．‎ 4‎ 解析：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i ‎∴z的共轭复数＝－2－4i ‎(2)由(1)知，w＝z＋ai＝－2＋(a＋4)i ‎∴|w|＝＝，‎ ‎|z|＝2.‎ 依题意，得20＋a2＋‎8a≤20，即a2＋‎8a≤0‎ ‎∴－8≤a≤0，即a的取值范围为[－8,0]．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i 解析：因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.‎ 答案：C ‎2．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)‎ A．E B．F C．G D．H 解析：由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．‎ 答案：D ‎3．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．‎ 解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，‎ 所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.‎ 所以所以a＝.‎ 答案： ‎4．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．‎ 4‎ 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由复数相等的定义得 解得或 从而|z|＝＝.‎ 答案： ‎5．已知复数z＝.‎ ‎(1)求复数z；‎ ‎(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．‎ 解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.‎ ‎(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，‎ 所以解得 ‎6．已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.‎ 解析：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．‎ 依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，‎ ‎∴7x－y＝0.①‎ 又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②‎ 由①②得或 ‎∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.‎ 4‎