2018-2019学年吉林省辽源市上学期高二期末模拟考试试题 理科数学-解析版

2018-2019学年吉林省辽源市上学期高二期末模拟考试试题 理科数学-解析版

吉林省辽源市 2018-2019 学年上学期高二期末模拟考试 理 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．[2018·华侨中学]已知命题 ， ，则 是 成立的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 2．[2018·福师附中]已知双曲线 的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．[2018·学军中学]如图，长方体 中， ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D．0 4．[2018·新余四中]已知定点 ，点 的坐标满足 ，当 （ 为坐 标原点）的最小值是 2 时，实数 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．[2018·九江十校联考]朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在 他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他 对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢 琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有 13 个音，相邻两个音之间的 频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为 ，第八个音的 频率为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 6．[2018·怀化三中]在 中， ， ， ，则 的面积等于（ ） A． B． C． 或 D． 或 7．[2018·邹城质检]已知命题 存在实数 ， ，满足 ； 命题 ( )．则下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 8．[2018·长沙一中]已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆 上 任意一点，则 的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．[2018·泉州月考]如图所示，在正四面体 中， 为棱 的中点，则 与平面 的夹 角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 10．[2018·镇海中学]已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ， ，使得 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． : 1 2p x− < < 2:log 1q x < p q 2 2 2 1yx b − = 3 3y x= ± 3 2y x= ± 3y x= ± 5y x= ± 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= = 1AD = E F G 1DD AB 1CC 1AE GF 15 5 2 2 10 5 ( )2,0A ( ),P x y 4 3 0 3 5 25 0 0 x y x y x a − + ≤ + − ≤ − ≥    OP OA OA ⋅    O a 2f 8f 8 2 f f 2 4 2 3 2 6 2 ABC△ 3AB = 1AC = π 6B = ABC△ 3 3 4 3 2 3 3 2 3 4 :p α β ( )sin sin sinα β α β+ = + 2:log 2 log 2aq a+ ≥ 0 1a a> ≠且 ( )p q∧ ¬ p q∧ p q¬ ∧ p q¬ ∨ ( )5,2A P 2 16y x= Q ( )2 24 1x y− + = PA PQ+ A BCD− E AD CE BCD 3 2 2 3 1 2 3 3 { }na 7 6 52a a a= + ma na 2 116m na a a⋅ = 1 9 m n + 3 2 11 4 8 3 10 3 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 11．[2018·天津期中]设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆的外部，点 是椭圆上的动点，满足 恒成立，则椭圆离心率 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 12．[2018 湖北调研]设点 是棱长为 2 的正方体 的棱 的中点，点 在面 所在的平面内，若平面 分别与平面 和平面 所成的锐二面角相等，则点 到点 的最短距离是（ ） A． B． C．1 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．[2018·营口期中]若不等式 与关于 不等式 的解集相同，则 _____． 14．[2018·泸州质检]在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则角 的大小为______． 15．[2018·本溪高中]如图，在长方体 中， ， ，点 在棱 上． 若二面角 的大小为 ，则 ________． 16．[2018·石嘴山三中]以下四个关于圆锥曲线的命题： ①设 ， 是两个定点， 为非零常数，若 ，则 的轨迹是双曲线； ②过定圆 上一定点 作圆的弦 ， 为原点，若 ．则动点 的轨迹是椭圆； ③方程 的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 与椭圆 有相同的焦点． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）[2018·广安诊断]设数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的前 项和为 ，求 ． 18．（12 分）[2018·齐鲁名校]在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，已知 ，其中 为 外接圆的半径， ，其中 为 的面积． （1）求 ； （2）若 ，求 的周长． ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c , 2 aN c     M 1 1 2 3 2MF MN F F+ < e 20, 2       2 ,12       2 5,2 6       5 ,16      M 1 1 1 1ABCD A B C D− AD P 1 1BCC B 1D PM ABCD 1 1BCC B P 1C 2 5 5 2 2 6 3 2 3 4x − < x 2 0ax px q+ + < p q = ABC△ A B C a b c ( )sin sin sina A c C a b B= + − C 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AD AA= = 2AB = E AB 1D EC D− − π 4 AE = A B k PA PB k− = P C A AB O ( )1 2OP OA OB= +   P 22 5 2 0x x− + = 2 2 125 9 x y− = 2 2 135 x y+ = { }na 1 1a = ( )1 1n na a n n+ = + + ∈ *N { }na 1 na       n nT nT ABC△ a b c A B C cosa A R= R ABC△ 2 2 2 4 3 3a c b S+ − = S ABC△ sinC 2 3a b− = − ABC△ 19．（12 分）[2018·青冈实验中学]已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上， ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 ， 两点． （1）求抛物线 的方程及点 的坐标； （2）求 的最大值． 20．（12 分）[2018·奉贤区调研]已知几何体 的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是 腰长为 4 的等腰直角三角形，主视图为直角梯形． （1）求几何体 的体积； （2）求直线 与平面 所成角的大小． ( )2: 2 0C y px p= > F ( )( )2, 0P n n > C 3PF = l F C A B C P PA PB⋅  A BCED− A BCED− CE AED 21．（12 分）[2018·东北育才学]已知点 和点 ，记满足 的动点 的轨 迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）已知直线 与曲线 有两个不同的交点 、 ，且 与 轴相交于 点 ．若 ， 为坐标原点，求 面积． 22．（10 分）[2018·屯溪一中]如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ， ，点 是 上的点，且 ． （1）求证：对任意的 ，都有 ． （2）设二面角 的大小为 ，直线 与平面 所成的角为 ， 若 ，求 的值． ( )6,0A − ( )6,0B 1 3PA PBk k⋅ = − P C C ( ): 1l y k x= + C M N l x E 2ME EN=  O MON△ S ABCD− SD ⊥ ABCD 2SD a= 2AD a= E SD ( )0 2DE aλ λ= < ≤ ( ]0,2λ ∈ AC BE⊥ C AE D− − θ BE ACE ϕ cos 3sinθ ϕ= λ 2018-2019 学年上学期高二期末考试 理 科 数 学答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】由 ，得 ． ∵ ，∴ 是 成立的必要不充分条件．故选 B． 2．【答案】C 【解析】由双曲线 ，可得 ，离心率为 ， 则 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 C． 3．【答案】D 【解析】以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 则可得 ， ， ， ， ， ， 设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，故选 D． 4．【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） ∵定点 ，点 ，∴ ， ， 设 ，要使当 （ 为坐标原点）的最小值是 2 时，即 时， 点 落在直线 上，此时 ．故答案为 B． 5．【答案】A 【解析】根据题意得音频率构成的数列 为等比数列，设该数列的公比为 ， 则 ，∴ ．故选 A． 6．【答案】D 【解析】由正弦定理得 ， ，所以 或者 ， 当 时， ，三角形面积为 ． 当 时， ，三角形面积为 ．故选 D． 7．【答案】A 【解析】当 时，满足 ，故命题 是真命题，则 是假命题， 当 时， ， ，不等式不成立，故命题 是假命题，则 是真命题， 则 是真命题，其余为假命题．故选 A． 8．【答案】B 【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 1， ， ， 由抛物线定义知：点 到直线 的距离 ， ∴ 的最小值即 到准线距离 ， ∴ 的最小值为 ，故选 B． 9．【答案】B 【解析】在正四面体 中，设棱长为 ， 为棱 的中点， 如下图所示过 做 平面 ， 2log 1x < 0 2x< < ( )0,2 ⊂≠ ( )1,2− p q 2 2 2 1yx b − = 1a = 2c ca = = 4 1 3b = − = 3y x= ± DA DC 1DD x y z ( )1 1,0,2A ( )0,0,1E ( )0,2,1G ( )1,1,0F ( )1 1,0, 1A E∴ = − − ( )1, 1, 1GF = − − 1AE GF θ ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1c 3 os cos , 0 2 A E GFθ − × + + − × −= 〈 〉 = = ×   ( )2,0A ( ),P x y ( ),OP x y= ( )2,0OA = OP OAz x OA ⋅= =       OP OA OA ⋅    O 2x = P x a= 2a = { }nf q 1213 1 2f qf = = 68 2 2f qf = = sin sin AB AC C B = 3sin 2C = π 3C = 2π 3C = π 3C = ππ 2A B C= − − = 1 3sin2 2AC AB A⋅ = 2π 3C = ππ 6A B C= − − = 1 3sin2 4AC AB A⋅ = 0α β= = ( )sin sin sinα β α β+ = + p p¬ 1 2a = log 2 1a = − 2log 1a = − q q¬ ( )p q∧ ¬ 2 16y x= ( )4,0F 4x = − ( )2 24 1x y− + = ( )4,0 1PA PF≥ − 1PA PQ PF PQ+ ≥ + − P 4x = − d PF= PF PQ+ A ( )5 4 9− − = PA PQ+ 9 1 8− = A BCD− a E AD A AO ⊥ BCD 则 为平面 的中心，延长 交 于 ，过 做 ， 连接 ，所以 就是所求的 与平面 的夹角． 所以 ，求得 ， 所以 ，利用 ，解得 ， 所以 ， ，在 中， ，故选 B． 10．【答案】B 【解析】设正项等比数列 的公比为 ，且 ， 由 得： ， 化简得， ，解得 或 （舍去）， 因为 ，所以 ， 则 ，解得 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号，此时 ，解得 ， 因为 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 ， 验证可得，当 、 时， 取最小值为 ，故选 B． 11．【答案】D 【解析】∵点 在椭圆的外部，∴ ， ， 由椭圆的离心率 ， ，又因为 ，且 ， 要 恒成立，即 ， 则椭圆离心率的取值范围是 ．故选 D． 12．【答案】A 【解析】设 在平面 上的射影为 ， 在平面 上的射影为 ，平面 与平面 和平面 成的锐二面角分别为 ， ，则 ， ， ， ，设 到 距离为 ，则 ， ， 即点 在与直线 平行且与直线距离为 的直线上， 到 的最短距离为 ， 故答案为 A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】由 有 ， ，由于绝对值不等式的解集和 的解集相同，故 ， ，是一元二次方程 的两个根，由韦达定理得 ，两式相除得 ． 14．【答案】 【解析】 ， 由正弦定理可得 ， 化为 ， ， ，故答案为 ． 15．【答案】 【解析】以 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设 ，平面 的法向量为 ， O BCD DO BC G E EF GD⊥ FC ECF∠ CE BCD 2 2 2GD CD CG= − 3 2GD a= 3 3DO a= 2 2 2AO AD OD= − 6 3AO a= 6 6EF a= 3 2CE a= EFCRt△ 2sin 3 EFECF CE ∠ = = { }na q 0q > 7 6 52a a a= + 6 6 6 2aa q a q = + 2 2 0q q− − = 2q = 1q = − 2 116m na a a= ( )( )1 1 2 1 1 116m na q a q a− − = 2 16m nq + =﹣ 6m n+ = ( )1 9 1 1 9 1 9 1 9 810 10 26 6 6 3 n m n mm nm n m n m n m n     + = + + = + + ≥ + ⋅ =            9n m m n = 9 6 n m m n m n = + =   3 2 9 2 m n   = =  mn 1 9 8 3m n + > 2m = 4n = 1 9 m n + 11 4 , 2 aN c     2 2 2 2 14 c a a b + > 2 2 1 2 b a < 2 2 1 21 1 2 2 c be a a = = − > − = 1 22MF MN a MF MN+ = − + 2 2MF MN NF− + ≤ 2 2 aNF = 1 1 2 3 2MF MN F F+ < 2 32 2 22 2 aa MF MN a c− + ≤ + < × 5 ,16      P ABCD P′ M 1 1BB C C M ′ 1D PM ABCD 1 1BCC B α β 1 'cos DP M D PM S S α = △ △ 1 1 'cos PM C D PM S S β = △ △ cos cosα β= 1' 'DP M PM CS S∴ =△ △ P 1C M′ d 1 15 1 22 2d× × = × × 2 5 5d = P 1C M′ 2 5 5 P∴ 1C 2 5 5d = 12 7 2 3 4x − < 4 2 3 4x− < − < 1 7 2 2x− < < 2 0ax px q+ + < 1 1 2x = − 2 7 2x = 2 0ax px q+ + = 1 7 7 2 2 4 1 7 32 2 q a p a − ⋅ = − = − +   = =  −    12 7 p q = π 3 ( )sin sin sina A c C a b B= + − ∴ ( ) 2 2 2 a c ba c a bR R R × = × + − × 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = π 3C = π 3 2 3− D DA DC 1DD x y z ( )0 2AE λ λ= ≤ ≤ 1D EC ( ), ,x y z=m 由题可知， ， ， ， ， ， 平面 的一个法向量为 轴， 可取平面 的法向量为 ， 为平面 的法向量， ，令 ，则 ， 二面角 的大小为 ， ，即 ， 解得 ， （舍去）， ，故答案为 ． 16．【答案】③④ 【解析】①不正确；若动点 的轨迹为双曲线，则 要小于 ， 为两个定点间的距离， 当点 在顶点 的延长线上时， ，显然这种曲线是射线，而非双曲线； ②不正确；根据平行四边形法则，易得 是 的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直 于这条弦，设圆心为 ，那么有 ，即 恒为直角，由于 是圆的半径，是定长，而 恒为直角，也就是说， 在以 为直径的圆上运动， 为直径所对的圆周角，所以 点的轨 迹是一个圆，如图， ③正确；方程 的两根分别为 和 可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④正确；双曲线 与椭圆 焦点坐标都是 ，故答案为③④． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 ，有 ， 又 ，所以 时， ． 当 时，也满足 ， 所以数列 的通项公式为 ． （2）由（1）知 ， 所以 ． 18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由正弦定理得 ， ，又 ， ，则 ． 由 ，由余弦定理可得 ， ，又 ， ， ． （2）由正弦定理得 ，又 ， ， 又 ， ， ． 19．【答案】（1） ， ；（2）9． 【解析】（1） ， ． （2）由题意，显然直线 斜率不为 0， 设直线 ，联立 ，得 ， 设 ， ， ， ， ， ( )1 0,0,1D ( )0,2,0C ( )1, ,0E λ ( )1 0,2, 1D C = − ( )1, 2,0CE λ= −  AECD z ∴ AECD ( )0,0,1=n ( ), ,x y z=m 1D EC ( ) 1 2 0 2 0 D C y z CE x yλ  ⋅ = − =∴ ⋅ = + − =   m m 1y = ( )2 ,1,2λ= −m  1D EC D− − π 4 cos 4 π ⋅∴ = ⋅ m n m n ( )2 2 2 2 2 2 1 2λ = − + + 2 3λ = − 2 3λ = + 2 3AE∴ = − 2 3− P k A B P AB K AB= P AB C CP AB⊥ CPB∠ CA CPB∠ P CP CPB∠ P 22 5 2 0x x− + = 1 2 2 2 2 125 9 x y− = 2 2 135 x y+ = ( )34,0± ( )1 2n n na += 2 1 nT n = + ( )1 1n na a n n+ = + + ∈ *N 1 1n na a n+ − = + 1 1a = 2n ≥ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + ( ) ( )11 2 1 2 n nn n += + − + + + = 1n = ( )1 2n n na += { }na ( )1 2n n na += ( ) 1 2 1 121 1na n n n n  = = − + +  1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 1 1 1n nT n n n n         = − + − + + − = − =        + + +         2 6 4 + 3 2 632 2 + + cos 2sin aa A A = sin 2 1A∴ = 0 2 2πA< < π2 2A∴ = π 4A = 2 2 2 4 3 1 sin3 2a c b ac B+ − = ⋅ ⋅ 2 32 cos sin3ac B ac B= tan 3B∴ = 0 πB< < π 3B∴ = ( ) π 2 6sin sin sin 4 π 3 4C A B + ∴ = + = + =   sin 2 sin 3 a A b B = = 2 3a b− = − 2 3 a b  =∴ = 2 6sin 4C += 2 2 6 2 6 4 22 2 c + +∴ = ⋅ = 3 2 632 2a b c∴ + + = + + 2 4y x= ( )2,2 2P 2 4y x= ( )2,2 2P l : 1l x my= + 2 4y x= 2 4 4 0y my− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = − ( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 2 2 2 2PA PB x x y y∴ ⋅ = − − + − −  ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 12x x x x y y y y= − + + − + + ( )2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 12 8 8 2 54 4 4 4 y y y y y y y y m m  = ⋅ − + + − + + = − − +    所以，当 时， 最大值为 9． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由该几何体的三视图可知 平面 ，且 ， ． ∴ ，∴几何体 的体积 ． （2）分别以 、 、 方向为 、 、 轴建立空间直角坐标系，则： ， ， ， ．所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ，∴ ，于是可以取 ． 设 与平面 所成的角为 ，则： ． ∴ 与平面 所成的角为 ． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设点 为曲线 上任意一点， 由 得 ，整理得 为所求． （2）设 ， ，且 ， 由 得 ，∴ ， 依题意，直线 显然不平行于坐标轴，且不经过点 或点 ， 故 可化为 ， 由 得 ， 且 ，又 ，∴ ， 消去 ，整理得 ，即 ， ∴ 的面积 ． 22．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）证明：连接 、 ， 由底面 是正方形可得 ． ∵ 平面 ，∴ 是 在平面 上的射影，∴ ． （2）解：由 平面 知， ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ． 又底面 是正方形，∴ ，而 ， 平面 ． 连接 、 ，过点 在平面 内作 于 ，连接 ，则 ， 故 是二面角 的平面角，即 ． 在 中，∵ ， ，∴ ，从而 ， 在 中， ，所以 ． 过点 作 的垂线 ，因为 平面 ，所以 ， 所以 就是直线 与平面 所成的角 ， 设点 到 的距离为 ，则由等面积得 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， ． 2 2m = − PA PB⋅  40 3 4arcsin 4141 AC ⊥ BCED 4EC BC AC= = = 1BD = ( )1 4 1 4 102BCEDS = × + × = A BCED− 1 40 3 3BCEDV S AC= ⋅ ⋅ = CA CB CE x y z ( )0,0,0C ( )0,0,4E ( )4,0,0A ( )0,4,1D ( )0,0,4CE = ( )4,0,4AE = − ( )0,4, 3ED = − AED ( ), ,x y z=n 0 0 AE ED   ⋅ = ⋅ =   n n 3 4 x z zy = =   ( )4,3,4=n CE AED θ 4sin 4141 CE CE θ ⋅= = ⋅  n n CE AED 4arcsin 4141 ( )2 23 6 6x y x+ = ≠ ± 3 5 8 ( ),P x y C 1 3PA PBk k⋅ = − 1 36 6 y y x x ⋅ = − + − ( )2 23 6 6x y x+ = ≠ ± ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )1,0E − 2ME EN=  ( ) ( )1 1 2 21 2 1, ,x y x y− − − = + 1 22y y= − l A B ( )1y k x= + 1 1x yk = − 2 2 1 1 3 6 x yk x y = − + =   2 2 1 23 5 0y yk k  + − − =   1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 33 5 5 1 1 33 kky y k k ky y k k + = =     ++ −= = − +      + 1 22y y= − 2 2 2 2 2 2 2 1 3 52 1 3 ky k ky k − = + − = −     + 2y 2 1 5k = 5 5k = ± MON△ 1 2 1 3 5 2 8S OE y y= − = 2λ = BE BD ABCD AC BD⊥ SD ⊥ ABCD BD BE ABCD AC BE⊥ SD ⊥ ABCD DBE ϕ∠ = SD ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD SD CD⊥ ABCD CD AD⊥ SD AD D= CD ⊥ SAD AE CE D SAD DF AE⊥ F CF CF AE⊥ CFD∠ C AE D− − CFD θ∠ = ADERt△ 2AD a= DE aλ= 2 2AE a λ= + 2 2 2 AD DE aDF AE λ λ ⋅= = + CDFRt△ 2 2tan CD DF λθ λ += = 2 cos 2 2 λθ λ = + B EO BG AC ⊥ BDE AC BG⊥ BEO∠ BE ACE ϕ O BE h 2 2 24a a a a hλ λ⋅ = + ⋅ 2 4 ah λ λ ∴ = + 2 2 2 2 4sin 1 4 1 a a λ λλϕ λ λ λ += = + + ⋅ + cos 3sinθ ϕ= 2 2 2 3 2 2 4 1 λ λ λ λ λ = + + ⋅ + 2λ∴ =