2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期六科联赛数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期六科联赛数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期六科联赛数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解出集合Q，利用交集定义即可得解.‎ ‎【详解】‎ 集合 ,则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式解法及交集，属于基础题.‎ ‎2．下列四个说法正确的是（ ）‎ A．两两相交的三条直线必在同一平面内 B．若四点不共面，则其中任意三点都不共线 C．在空间中，四边相等的四边形是菱形 D．在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形 ‎【答案】B ‎【解析】空间中的三个公理对四个命题逐一判断，空间中三个公理公理一是线在面内的基础，公理二是确定平面的依据，公理三是证明两面交于一线的依据．‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，如果三条直线交于一点，则此时三条直线不一定在同一平面内，故A不对；‎ 对选项B，若四点不共面，则一定不存在三点共线，若有三点共线，则第四点与此线确定一个平面，这样就会出现四点共面，与已知条件不符合，故B正确；‎ 对于选项C，在空间中四边相等的四边形可能是空间四边形，故C不对；‎ 对于选项D，空间四边形中也存在三个角是直角的情况，故D不对．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考点是空间图形的公理，考查用三个公理判断空间中点线面的关系．空间中三个公理与其推论是立体几何的基础，应好好理解掌握．‎ ‎3．已知a、b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是( ).‎ ‎①若，则 ②若，则 ‎③若， 则 ④若，，则 A．① ② B．③ ④ C．② ③ D．③‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据点线面的位置关系逐个进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①若，则不一定成立，可能在内，故①错；‎ ‎②若，则或，故②错；‎ ‎③若，则 故③ 对；‎ ‎④若，，则或与异面故④错；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点线面的位置关系，熟练掌握线与线，线与面，面与面的平行与垂直的判定定理与性质定理是关键，也考查了学生的空间想象能力.‎ ‎4．函数（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.‎ ‎【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.‎ ‎5．设函数是R上的奇函数，当时，，则的零点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0‎ 转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3，分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示，‎ 有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3个，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点.‎ ‎6．若，，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用指数的运算法则得出==，把，代入即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，则==；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数的运算法则，熟记法则是关键，属于基础题.‎ ‎7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，那么 A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意直线在平面上与底面正方形四条边都相交故，直线与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的前后两个侧面、上下两个底面相交，故，所以．‎ ‎【考点】直线与平面的位置关系．‎ ‎8．如图，L、M、N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（ ）‎ A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 ‎【答案】C ‎【解析】将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL, 因PQAL可得出PQ平面LMN，同理可得出PR平面LMN,由面面平行的判定定理即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图 分别取另三条棱的中点A,B,C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因PQAL,AL 平面LMN，PQ平面LMN,故PQ平面LMN,同理，由PRCN，可得PR 平面LMN,‎ 因PQ,PR为平面PQR内两相交直线,故平面PQR平面LMN.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面平行的判定定理，把平面进行延展是本题的关键，是解题的突破口，因此在平时学习要对平面延展性加强练习.‎ ‎9．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先取BC的中点D，连接ED与FD，根据中位线定理可知ED∥SB，FD∥AC，根据题意可知三角形EDF为等腰直角三角形，然后解三角形即可．‎ ‎【详解】‎ 取BC的中点D，连接ED与FD∵E、F分别是SC和AB的中点，点D为BC的中点∴ED∥SB，FD∥AC,而SB⊥AC，SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1即EF=.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了中位线定理，以及异面直线所成角的应用，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．‎ ‎10．将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求圆锥的底面半径以及高，再根据相似得内切球的半径，最后根据球的体积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的底面半径为r,高为h,则 ，‎ 设内切球的半径为R，则 选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥展开图相关知识，考查基本求解能力.‎ ‎11．若三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB=2，AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求解底面长方形的外接圆，PA⊥平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC＝2,∴平面ABC是直角三角形，补形底面为长方形．∴球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆r=,∴R2=r2+1，即R=,∴球O的表面积S=4πR2=12π．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎12．定义在上的函数满足，且当时， ，对，，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为 ．故本题答案选．‎ 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该　不重复不遗漏．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义城为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由偶次根式下的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由 得，所以函数的定义城为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．‎ ‎14．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1，则绳子的最短的长度_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，画出三种展开的图形，求出A、C1两点间的距离，比较大小，从而找出最小值即为所求．‎ ‎【详解】‎ ‎①沿平面A A 1B 1B、平面 A 1B 1C 1D 1铺展成平面，此时 AC 1=，‎ ‎②沿平面 AA 1D 1D、平面 A 1D 1C 1B 1铺展成平面，此时 AC =，‎ ‎③沿平面 AA 1B 1B、平面 BB 1C 1C铺展成平面，此时 AC 1=‎ 故绳子的最短的长为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎15．正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为F是BC1上的动点，所以在正方体中有面，再利用等体积转化， 即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为F是BC1上的动点，所以在正方体中有面，利用等体积转化有=.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等积转化的方法求三棱锥体积，利用线面平行进行转化，使得问题很容易解决，应熟练准确掌握.‎ ‎16．已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意求出f（x）的解析式，化简在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，f（x）=且周期是6，=，且此函数是偶函数， 在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：‎ ‎ 由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的周期性画出对数函数、分段函数的图象问题，考查数形结合思想，画对函数的图象是解题的关键．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合.‎ ‎(1)若，求实数m的取值范围:‎ ‎(2)若，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由A∪B=B，得A⊆B，得出端点间的不等关系得到不等式组，解之即得实数m的取值范围．‎ ‎（2）先由A∩B=∅，知集合A，B没有公共元素，从数轴上看就是它们没有相交的部分，从而得出端点间的不等关系得到不等式组，解之再取补集即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵集合，A∪B=B，‎ ‎∴A⊆B，‎ ‎∴，解得−6−2，‎ ‎∴实数m的取值范围是[−6,−2].‎ ‎ (2)∵集合，‎ ‎∴当A∩B=∅时，或者m+9−2，‎ 解得m3或m−11，‎ ‎∴A∩B≠∅时，−11

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