【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第21讲两角和与差的正弦作业
课时作业(二十一) 第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
时间 / 45分钟 分值 / 100分
基础热身
1.sin 15°cos 45°-sin 75°sin 45°的值为 ( )
A.12 B.-12
C.32 D.-32
2.在△ABC中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
3.已知tanx+π4=-30
0,∴-cos C>0,∴cos C<0,∴C为钝角.故选C.
3.C [解析] ∵tanx+π4=tanx+11-tanx=-3,∴tan x=2,
∴tanx-π4=tanx-11+tanx=2-11+2=13.故选C.
4.D [解析] ∵60°<α<150°,∴90°<30°+α<180°,
∴cos(30°+α)=-45,cos α=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos 30°+sin(30°+α)sin 30°=-45×32+35×12=3-4310.故选D.
5.2 [解析] 因为sin(α+β)=3sin(π-α+β),所以sin αcos β=2cos αsin β,所以tan α=2tan β,所以tanαtanβ=2.
6.A [解析] ∵α,β∈-π2,π2,tan α,tan β是方程x2+12x+10=0的两根,
∴tan α+tan β=-12,tan α·tan β=10,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-121-10=43,故选A.
7.B [解析] 因为α∈0,π2,sin α=1717,所以cos α=1-sin2α=1-17172=41717,
所以tan α=sinαcosα=14,
所以tanα-π4=tanα-11+tanα=-35.
8.D [解析] 由题意可得,(cos α+2cos β)2=cos2α+4cos2β+4cos αcos β=2,(sin α-2sin β)2=sin2α+4sin2β-4sin αsin β=3,两式相加可得1+4+4(cos αcos β-sin αsin β)=5+4cos(α+β)=5,
即cos(α+β)=0,∴sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=1.
故选D.
9.B [解析] ∵α∈π2,5π4,∴α-π4∈π4,π,
又sinα-π4=35,∴cosα-π4=-45,
∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=35×22-45×22=-210.
10.A [解析] ∵sin Bsin C=cos2A2=1+cosA2,
∴2sin Bsin C=1+cos A,
又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴cos Bcos C+sin Bsin C=cos(B-C)=1,
又B,C为△ABC的内角,
∴B-C=0,∴B=C.故选A.
11.A [解析] 由题意可知α+β,β+π3都为钝角,∴sin(α+β)=1213,cosβ+π3=-45,
∴cosα+π6=cos(α+β)-β+π3+π2=-sin(α+β)-β+π3=-sin(α+β)cosβ+π3+cos(α+β)sinβ+π3=-1213×-45+-513×35=3365.故选A.
12.-1 [解析] 由sinπ6-α=cosπ6+α,得12cos α-32sin α=32cos α-12sin α,
即12-32cos α=32-12sin α,所以cos α=-sin α,即tan α=-1.
13.17 [解析] ∵α∈(0,π),且cos α=35,
∴sin α=1-cos2α=45,∴tan α=43,
∴tanα-π4=tanα-11+tanα=43-11+43=17.
14.-13 [解析] ∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,且sin α=33,
∴sin β=-33.
若α为第一象限角,则cos α=63,cos β=-63,
此时cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=63×-63-33×-33=-13;
若α为第二象限角,则cos α=-63,cos β=63,
此时cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-63×63-33×-33=-13.
∴cos(α+β)=-13.
15.解:(1)由题可知,tanα+π4=tanα+11-tanα=2,
解得tan α=13.
(2)由tan α=13,α∈0,π2,可得sin α=1010,cos α=31010,
所以sin 2α=2sin αcos α=35,cos 2α=1-2sin2α=45,
所以sin2α-π3=sin 2αcosπ3-cos 2αsinπ3=35×12-45×32=3-4310.
16.解:(1)∵α,β∈0,π2,∴-π2<α-β<π2.
又tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0,
∴sin(α-β)=-1010.
(2)由(1)可得,cos(α-β)=31010.
∵α为锐角,sin α=35,∴cos α=45,
∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×31010+35×-1010=91050.
17.B [解析] 因为α为锐角,β为第二象限角,cos(α-β)>0,sin(α+β)>0,
所以α-β为第四象限角,α+β为第二象限角,
因此sin(α-β)=-32,cos(α+β)=-32,
所以sin 2α=sin(α-β+α+β)=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=-32×-32+12×12=1,
因为α为锐角,所以2α=π2,所以sin(3α-β)=sin(2α+α-β)=cos(α-β)=12,故选B.
18.322 [解析] 因为cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=tanπ4+tanα1-tanπ4·tanα=tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tanβ-π41+tan(α+β)·tanβ-π4,
将tan(α+β)=25,tanβ-π4=14代入可得cosα+sinαcosα-sinα=25-141+25×14=322.
