2017-2018学年吉林省长春汽车经济开发区第六中学高二下学期4月月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年吉林省长春汽车经济开发区第六中学高二下学期4月月考数学（理）试题 Word版

汽车区六中高二年级2017~2018学年度下学期4月月考考试 数学（理）学科 ‎ 命题人：‎ 考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。‎ ‎ 2.考试完毕交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．复数的虚部为（ ）‎ A. -2 B. C. D. 0‎ ‎3．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（　　）‎ A. 种 B. 3！ C. 种 D. 以上均不对 ‎4．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎5．若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎6．从4台甲型和5台乙型电脑中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电脑各一台，则不同的取法有（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 ‎7．学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对四个参赛团队获奖结果预测如下:‎ 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说:“丁团队获得一等奖”；‎ 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎8．函数 的图象如下图所示，则导函数 的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知 ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．等比数列{an}中，，前3项和为＝，则公比q的值是 (　　)‎ A. 1 B. － C. 1或－ D. －1或－‎ ‎11．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) ‎ A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 ‎12．已知函数，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题包括4个小题，共20分）‎ ‎13．考查下列例子：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，……‎ 得出的结论是___________________________________．‎ ‎14．___________.‎ ‎15．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为________．‎ ‎16．已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________.‎ 三、简答题（本题包括6个小题，共70分）‎ ‎17．(满分10分)已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间．‎ ‎18．(满分12分)‎ 的表达式，并用数学归纳法进行证明。‎ ‎19．(满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ‎（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（2）从评分在的受访职工中，随机抽取 ‎2人，求此2人评分都在的概率．‎ ‎20．(满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底边是正方形，侧棱底面,点是的中点，作于点 ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．(满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若不过原点的直线与椭圆相交于两点，与直线相较于点，且是线段的中点，求三角形OAB面积的最大值.‎ ‎22．(满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）当时，证明： ．‎ ‎ 2017——2018年度下学期高二数学（理）月考答案 ‎1．A ‎2．A ‎3．C ‎4．D ‎5．B ‎6．C ‎7．D ‎8．D ‎9．B ‎10．C ‎11．D ‎12．B ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．4860‎ ‎16． ‎17．（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即。‎ ‎（2）由（1）得，‎ 令，解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。‎ ‎18． ‎ 试题解析：‎ 猜想 下面用数学归纳法证明这个猜想 ‎（1）‎ 猜想成立 ‎（2）假设当 那么 所以，当 根据（1）与（2），可知猜想对任何都成立.‎ ‎19．‎ 试题解析：（1）由频率分布直方图知，‎ 所以.‎ 该企业的职工对该部分评分不低于80的概率为.‎ ‎（2）在的受访职工人数为，‎ 此2人评分都在的概率为.‎ ‎20．（Ⅰ）侧棱底面 又,点是的中点，‎ 底边是正方形，,‎ 又，且 平面,‎ 又且,‎ 平面.‎ 又于点,且平面 ‎（Ⅱ）分别以为轴，轴，轴建系如图：‎ 设点的坐标为，则，‎ 因为 因为 点的坐标为 设是平面的法向量，则,可取 则 故直线与平面所成角的正弦值为 ‎21．（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)易得直线的方程为.‎ 当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为,与联立消得 ‎,‎ 所以.‎ 设,则,.‎ 由,所以的中点,‎ 因为在直线上，所以,解得 所以,得,且,‎ 又原点到直线的距离,‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，符合,且.‎ 所以面积的最大值为：.‎ ‎22．（1）；（2）存在实数，使得当时有最小值3；（3）详见解析．‎ 试题解析：（1）在上恒成立，‎ 令，有得，得．‎ ‎（2）假设存在实数，使有最小值3，‎ ‎①当时，在上单调递减，（舍去），‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎∴，满足条件．‎ ‎③当时，在上单调递减，（舍去），‎ 综上，存在实数，使得当时有最小值3．‎ ‎（3）令，由（2）知，．令，‎ 当时，，在上单调递增 ‎∴‎ 即