山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

绝密★启用前 高二下学期阶段性质量检测·数学试题2020.5‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟.‎ 第I卷（共60分）‎ 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设，，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 ‎3.已知下表为x与y之间的一组数据，若y与x线性相关，则y与x的回归直线必过点（ ）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A． B． C． D．‎ ‎4.下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎7.已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎8．已知定义在R上的函数x满足：（1）；（2）；（3）时，.则，，大小关系（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二、多选题（共4小题，每小题5分共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）‎ ‎9．设集合，，若实数，则a的值可以是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．调查样本里面倾向选择生育二胎的人群中，男性人数少于女性人数 D．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数 ‎11.已知，，，，且，，则（ ）‎ A．，使得 B．，都有 C．，y且，使得 D．a，b，c，d中至少有两个大于1‎ ‎12.数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（ ）‎ A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个 B．可以是某个圆的“优美函数”‎ C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”‎ D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎13.疫情过后市民进行报复性消费，某超市为此进行大酬宾活动，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，顾客获得相应袋子里的奖品．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为．若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A袋中的奖品的概率为________.‎ ‎14.已知函数，则使得不等式成立的实数a的取值范围是________.‎ ‎15.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．‎ ‎16.已知函数，若在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为________；若，在上至少存在一点x，使得成立，则实数p的取值范围为________．（注意：第一空2分，第二空3分）‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为R，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分）‎ 已知函数的图像过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数的极大值.‎ ‎19．（12分）‎ 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求展开式中的项；‎ ‎（3）求展开式中系数最大的项.‎ ‎20.（12分）‎ 手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的列联表，已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.‎ ‎（1）根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？‎ 列联表：‎ 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎120‎ 不使用手机支付 ‎48‎ 合计 ‎200‎ ‎（2）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.‎ 附：‎ ‎0‎ ‎21．（12分）某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段，设曲线段为函数，‎ ‎（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为线；观光带的后一部分为线段段，如图所示.‎ ‎（1）求曲线段对应的函数，的解析式；‎ ‎（2）若计划在河流和观光带之间新建一个如图所示的矩形绿化带，绿化带由线段，，构成，其中点在线段上．当长为多少时，绿化带的总长度最长？‎ ‎22．（12分）设函数.‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）当，时，恒成立，求实数a的取值范围.‎ 绝密★启用前 高二下学期阶段性质量检测·参考答案2020.5‎ 一、单选题（每题5分，共40分）DCBA ABCD 二、多选题（每题5分，共20分）AC AB BD ABC 三、填空题（每题5分，共20分）13.‎ ‎14.‎ ‎15.12‎ ‎16.1；‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）‎ ‎（1）当时，不等式为，，………………4分 ‎∴解集为或…………………………………………5分 ‎（2）若不等式的解集为R，则 ‎①当时，恒成立，适合题意；…………………………7分 ‎②当时，应满足即解得………………9分 由上可知，即为所求………………………………………………10分 ‎18．（12分）‎ ‎（1）∵的图象经过，∴，……………………1分 ‎∴，．………………………………2分 ‎∵点处的切线方程为 ‎∴①，……………………………………3分 还可以得到，，即点满足方程，得到②………………4分 由①、②联立得…………………………………………………………5分 故所求的解析式是．…………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，，…………………7分 ‎…………………………………8分 令，得或…………………………………………………………9分 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎…………………………………………………………11分 所以函数的极大值为.…………………………………………12分 ‎19.（12分）‎ 解：（I）展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴；（4分）‎ ‎（II）展开式的通项公式为：‎ ‎，‎ 令，‎ 解得；‎ 展开式中的项为：‎ ‎（8分）‎ ‎（III）设第项的系数为，则，‎ 由得，‎ 所以；‎ 展开式系数最大项为：‎ ‎.（12分）‎ ‎20.（12分）‎ 解析（1）从使用手机支付的人群中随意抽取1人，抽到青年的概率为，‎ ‎∴使用手机支付的人群中青年的人数为，‎ 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为，……………………………1分 由此填写列联表如下；‎ 青年 中老年 合计 使用手机支付 ‎84‎ ‎36‎ ‎120‎ 不使用手机支付 ‎32‎ ‎48‎ ‎80‎ 合计 ‎116‎ ‎84‎ ‎200‎ ‎　………………………………………3分 根据表中数据，计算，‎ ‎∴，‎ 由此判断有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”；……………4分 ‎（2）根据分层抽样方法，从这200名顾客中抽取10人，‎ 抽到“使用手机支付”的人数为，“不使用手机支付”的人数为4，………5分 设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X，‎ 则X的可能取值分别为0，1，2，3；………………………………………………6分 计算，，，，‎ ‎…………………………………………………………………………………………………………10分 ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…………………………………………………………………………………………11分 X的数学期望为．……………………………12分 ‎21．（12分）‎ ‎（1）因为曲线段过点O，且最高点为，‎ ‎，解得.………………………………………………1分 所以，当时，，…………………………………………2分 因为后一部分为线段，，，‎ 当时，，……………………………………………3分 综上，.……………………………………………4分 ‎（2）设，则，………5分 由，得，所以点，………7分 所以，绿化带的总长度：‎ ‎.………10分 所以当时.……………………………………………………………12分 ‎22．（12分）‎ ‎（1）当时，．………………………………1分 令，，由，可得．…………2分 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴当时，，即，…………………………3分 ‎∴，则在是增函数；………………………4分 ‎（2）解：设，‎ ‎．………………………………………………5分 令，则．…………………………6分 ‎①当时，，…………………………7分 ‎∴在上单调递增，∴．‎ ‎∴，∴在上单调递增，‎ 则，结论成立；…………………………9分 ‎②当时，由，可得，………………………10分 当时，，单调递减，又，‎ ‎∴时，恒成立，即．‎ ‎∴时，单调递减，‎ 此时，结论不成立．…………………………11分 综上，即为所求．…………………………12分