2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期开学考试数学试题（Word版）

2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期开学考试数学试题（Word版）

铜仁一中2018—2019学年度第一学高二开学考试 ‎ 数学试题 ‎ 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷（60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 =（　　）‎ A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，，c=log23，则a，b，c大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a ‎4．已知α为第二象限的角，且，则sinα+cosα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设为等差数列的前n项和，已知a1=S3=3，则S4的值为（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．3 D．6‎ ‎8．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知变量x，y满足约束条件，则2x﹣y的最小值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣1‎ ‎10．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值（　　）‎ A．2 B．6 C．12 D．3+2‎ ‎11．已知函数，则满足的x的取值范围是（　　）‎ A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜3‎ ‎12．设等差数列满足，公差，若当且仅当n=11时，数列的前n项和取得最大值，则首项的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　第Ⅱ卷（90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设向量，．若，则m=　 　．‎ ‎14．已知，则的值是　 　．‎ ‎15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（2018）的值为　 　．‎ ‎16．已知直线l：与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则|CD|=　 　．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB=90°，CB=CD，点E为棱PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）若PB=PD，求证：PC⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：CE∥平面PAD．‎ ‎18．（12分）‎ 已知的前n项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．‎ ‎19．在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设，，试用、表示、．‎ ‎20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．‎ ‎21．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．‎ ‎（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部，求实数m的取值范围．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，证明： 为偶函数；‎ ‎（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A C C B B A C D D D ‎8．‎ ‎【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，‎ ‎∴0＜2A＜，且B+A=3A，‎ ‎∴＜3A＜π．‎ ‎∴＜A＜，‎ ‎∴＜cosA＜，‎ ‎∵a=1，B=2A，‎ ‎∴由正弦定理可得：=b==2cosA，‎ ‎∴＜2cosA＜，‎ 则b的取值范围为（，）．‎ 故选：A．‎ ‎11．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，‎ 令t=ex，可得y=e（t+），‎ 内函数t=ex为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．‎ 又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，‎ ‎∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．‎ 故选：D．‎ ‎12．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}满足=1，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=[]‎ sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，‎ ‎∴sin（5d）=﹣1，‎ ‎∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．‎ 由Sn=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．‎ 对称轴方程为n=（a1+），‎ 由题意当且仅当n=11时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，‎ ‎∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．‎ ‎∴首项a1的取值范围是（π，）．‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．﹣1． 14. 15. 2 16. 4 ‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，‎ ‎=11﹣2=9，解得T=12，ω==；‎ 又f（0）=Asinφ=1，‎ ‎∴sinφ=；‎ f（2）=Asin（×2+φ）=A，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴=sin=，‎ ‎∴A=2，‎ ‎∴f（2018）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎16．‎ ‎【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．‎ ‎【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴m=﹣‎ ‎∴直线l的倾斜角为30°，‎ ‎∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，‎ ‎∴|CD|==4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　三．解答题（共6小题，满分22分）‎ ‎17．‎ ‎【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，‎ 因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．‎ 因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．‎ 又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．‎ 因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．‎ 解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，‎ 又EO平面PAD，所以EO∥平面PAD．‎ 由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，‎ 又CO平面PAD，所以CO∥平面PAD．‎ 又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，[]‎ 而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：已知{an}的前n项和，‎ 则：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．‎ 当n=1时，a1=S1=3，适合上式 ‎∴an=5﹣2n．‎ ‎（Ⅱ）解：令=，‎ ‎+…+①，‎ 所以：+…+②，‎ ‎①﹣②得：﹣，‎ ‎=，‎ ‎=．‎ 整理得：．‎ ‎　‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，‎ 所以=+=+（﹣）‎ ‎=﹣+（﹣+）=．‎ 因为A、H、G三点共线，‎ 所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；‎ 又D、H、F三点共线，‎ 所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．‎ 因为+=，所以+n=m+‎ 因为a、b不共线，‎ ‎∴解得m=，‎ 即=（+）=+．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，‎ 又bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，‎ ‎∴tanB=，‎ 又B∈（0，π），∴B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，‎ 由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，‎ ‎∵a＜c，∴cosA=，‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=，‎ cos2A=2cos2A﹣1=，‎ ‎∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．‎ ‎　‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：（1）∵程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，‎ ‎∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m＞0，‎ 解得m＜5，‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．‎ ‎（2）直线x+2y﹣4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2﹣16y+8+m=0‎ ‎∵△＞0，∴m＜，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，‎ ‎∴x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2=，‎ ‎∵坐标原点O在以MN为径的圆的外部，‎ ‎∴＞0，‎ ‎∴x1x2+y1y2＞0，‎ ‎∴+＞0‎ 解得m＞．　‎ ‎22．‎ ‎【解答】：‎ ‎（1）当时， ，定义域关于原点对称，‎ 而，说明为偶函数；‎ ‎（2）在上任取、，且，‎ 则，‎ 因为，函数为增函数，得， ，‎ 而在上单调递增，得， ，‎ 于是必须恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ ‎；‎ ‎（3）由（1）、（2）知函数在上递减，在上递增，‎ 其最小值，‎ 且，‎ 设，则， ‎ 于是不等式恒成立，等价于，‎ 即恒成立，‎ 而，仅当，即时取最大值，‎ 故