2015年高考真题——理科数学（浙江卷） 解析版

2015年高考真题——理科数学（浙江卷） 解析版

一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一项是 符合要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. [来源:Zxxk.Com] 【答案】C. 2{ 2 0}P x x x   { 1 2}Q x x   ( )R P Q ð [0,1) (0,2] (1,2) [1,2] 38cm 312cm 332 3 cm 340 3 cm 3. 已知 是等差数列，公差 不为零，前 项和是 ，若 ， ， 成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题“ 且 的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 { }na d n nS 3a 4a 8a 1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  1 40, 0a d dS  * *, ( )n N f n N   ( )f n n * *, ( )n N f n N   ( )f n n * *, ( )n N f n N   ( )f n n * * 0 0, ( )n N f n N   0 0( )f n n * * 0 0, ( )n N f n N   0 0( )f n n 5. 如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是（ ） A. B. C. D. 6. 设 ， 是有限集，定义 ，其中 表示有限集 A 中的元 素个数，命题①：对任意有限集 ， ，“ ”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集 ， ， ， ，（ ） 2 4y x F A B C A B C y BCF ACF 1 1 BF AF   2 2 1 1 BF AF   1 1 BF AF   2 2 1 1 BF AF   A B ( , ) ( ) ( )d A B card A B card A B   ( )card A A B A B ( , ) 0d A B  A B C ( , ) ( , ) ( , )d A C d A B d B C  A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D . 命题①不成立，命题②成立 7. 存在函数 满足，对任意 都有（ ） A. B. C. D. ( )f x x R (sin 2 ) sinf x x 2(sin 2 )f x x x  2( 1) 1f x x   2( 2 ) 1f x x x   8. 如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 折成 ，所成二面角 的 平面角为 ，则（ ） A. B. C. D. ABC D AB CD ACD A CD A CD B   A DB   A DB   A CB   A CB   二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 9. 双曲线 的焦距是 ，渐近线方程是 ． 2 2 12 x y  10. 已知函数 ，则 ， 的最小值是 ． 11. 函 数 的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 12. 若 ，则 ． 【答案】 . 【 解析】 2 2 3, 1( ) lg( 1), 1 x xf x x x x         ( ( 3))f f   ( )f x 2( ) sin sin cos 1f x x x x   4log 3a  2 2a a  33 4 13. 如图，三棱锥 中， ，点 分别是 的中 点，则异面直线 ， 所成的角的余弦值是 ． A BCD 3, 2AB AC BD CD AD BC      ,M N ,AD BC AN CM 13. 若实数 满足 ，则 的最小值是 ．,x y 2 2 1x y  2 2 6 3x y x y     15. 已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于任意 ， ，则 ， ， ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分 14 分） 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， = . （1）求 的值； （2）若 的面积为 3，求 的值. 1 2,e e  1 2 1 2e e   b 1 2 52, 2b e b e       ,x y R 1 2 0 1 0 2 0 0( ) ( ) 1( , )b xe ye b x e y e x y R             0x  0y  b  ABC A B C a b c 4A  2 2b a 1 2 2c tanC ABC b 17.（本题满分 15 分） 如 图，在三棱柱 -中， ， ， ， 在底面 的射影为 的中点， 为 的中点. （1）证明： D 平面 ； （2）求二面角 -BD- 的平面角的 余弦值. 1 1 1ABC A B C 90BAC   2AB AC  1 4A A  1A ABC BC D 1 1B C 1A  1A B C 1A 1B [来源:Zxxk.Com] [来源:学科网] 18.（本题满分 15 分） 已知函数 ，记 是 在区间 上的最大值. （1）证明：当 时， ； （2）当 ， 满足 ，求 的最大值 .[来源:Zxxk.Com] 2( ) ( , )f x x ax b a b R    ( , )M a b | ( ) |f x [ 1,1] | | 2a  ( , ) 2M a b  a b ( , ) 2M a b  | | | |a b 19.（本 题满分 15 分） 已知椭圆 上两个不同的点 ， 关于直线 对称． （1）求实数 的取值范围； （2）求 面积的最大值（ 为坐标原点）． 2 2 12 x y  A B 1 2y mx  m AOB O 20.（本题满分 15 分） 已知数列 满足 = 且 = - （ ） （1）证明：1 （ ）； （2 ）设数列 的前 项和为 ，证明 （ ）.  na 1a 1 2 1na  na 2 na n *N 1 2n n a a    n *N  2 na n nS 1 1 2( 2) 2( 1) nS n n n   n *N [来源:学科网 ZXXK]