2010年数学试题分类汇编全国卷

2010年数学试题分类汇编全国卷

‎2010年数学试题分类汇编全国卷 一、选择题 ‎1、‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2、设全集，集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎3、.函数的反函数是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎4、若曲线在点处的切线方程是，则 ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎5、函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 ‎（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0) ‎ ‎(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)‎ ‎6、已知函数.若且，，则的取值范围是 ‎(A) (B)(C) (D) ‎ ‎7、已知函数f(x)=|lgx|.若0b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎73、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ 十三、填空题 ‎74、动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。‎ ‎75、设抛物线的焦点为，点 ‎.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。‎ ‎76、已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ． ‎ 十四、选择题 ‎77、复数 ‎(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13‎ ‎78、复数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 十五、填空题 ‎79、将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。‎ ‎80、(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________‎ ‎81、的展开式中的常数项为_________.‎ ‎82、若的展开式中的系数是，则 ． ‎ ‎83、的展开式中的第四项是 . ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎ 本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ ，∴故选 C .‎ ‎2、C ‎【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 ‎【解析】，，则=‎ ‎3、D ‎【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。‎ ‎【解析】由原函数解得，即，又；‎ ‎∴在反函数中，故选D.‎ ‎4、A 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ‎∵ ，∴ ，在切线，∴ ‎ ‎5、D 本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴ ‎ ‎6、C ‎【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.‎ ‎【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=‎ 又0f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).‎ ‎【解析2】由00),‎ 由已知得 ‎ =alnx，‎ ‎=， 解德a=,x=e2,‎ 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,‎ 切线的方程为y-e=(x- e2). ‎ ‎（2）由条件知 Ⅰ当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,‎ 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；‎ 当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。‎ 所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。‎ 所以Φ （a）=h()= ‎2a-aln=2‎ Ⅱ当a  ≤   0时，h(x)=(1/2‎-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。‎ 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为‎2a(1-ln‎2a) (a>o)‎ ‎（3）由（2）知Φ （a）=‎2a(1-ln‎2a) ‎ 则 Φ 1（a ）=-2ln‎2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2‎ 当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。‎ 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1‎ 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1‎ ‎16、‎ ‎17、‎ 三、选择题 ‎18、B ‎【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.‎ ‎【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.‎ ‎19、C ‎【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.‎ ‎【解析】设底面边长为a，则高所以体积，‎ 设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.‎ ‎20、D ‎【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.‎ ‎21、‎ ‎22、D 本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。‎ A B C S E F 过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴ ‎ ‎23、B ‎【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有 ‎,当直径通过AB与CD的中点时,,故A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ O ‎24、D ‎ ‎【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.‎ ‎【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,‎ 则,.‎ 所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.‎ ‎【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，‎ ‎25、C ‎【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. ‎ ‎【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线 与所成的角，又三角形为等边三角形，‎ ‎26、D 本题考查了空间想象能力 ‎∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，‎ ‎27、B 本题考查了排列组合的知识 ‎∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有 ‎28、‎ 四、解答题 ‎29、【参考答案】‎ ‎(19)解法一：‎ ‎（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.‎ 因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.‎ 又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.‎ 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.‎ ‎（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°‎ 设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.‎ 作B1H⊥A‎1C1，H为垂足，因为底面A1B‎1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA‎1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.‎ ‎【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.‎ ‎30、解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.‎ ‎ 又BC∥AD,∴EF∥AD,‎ ‎ 又∵AD平面PAD,EF平面PAD,‎ ‎ ∴EF∥平面PAD.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,‎ ‎ 则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.‎ ‎ 在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.‎ ‎ ∴S△ABC=AB·BC=××2=,‎ ‎ ∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.‎ ‎31、解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以 ‎ ‎ 又已知 ‎ 所又平面A1BC1，又平面AB‎1C ，‎ ‎ 所以平面平面A1BC1 .‎ ‎ （Ⅱ）设BC1交B‎1C于点E，连结DE，‎ ‎ 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，‎ ‎ 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.‎ ‎ 又E是BC1的中点，所以D为A‎1C1的中点.‎ ‎ 即A1D：DC1=1.‎ ‎32、【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，‎ 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，‎ 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为 ‎，所以平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则 ‎，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎33、‎ ‎34、证明：‎ 设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。‎ 则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分 ‎（Ⅰ）,‎ 因为，‎ 所以CM⊥SN ……6分 ‎（Ⅱ）,‎ 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，‎ 则 ……9分 因为 所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分 ‎35、‎ ‎36、‎ ‎37、【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，‎ 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面。‎ ‎（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为 ‎=，又因为，‎ 所以=，当且仅当时等号成立，‎ 从而，而圆柱的体积，‎ 故=当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值是。‎ ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，由，故，‎ 取得平面的一个法向量为，因为，‎ 所以。‎ ‎38、‎ 五、选择题 ‎39、D ‎40、D ‎【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。‎ ‎【方法技巧】由动点在圆 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.‎ 六、填空题 ‎41、3‎ 本题考查球、直线与圆的基础知识 ‎∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴ NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵ NE=，ON=3，∴ ，∴ ，∴ MN=3‎ ‎42、-1, ‎ ‎43、3 ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.‎ ‎【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， ‎ ‎44、解 （）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。‎ ‎（）有统计图知，样本中身高在170~‎185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~‎185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~‎180cm之间的概率 ‎（）样本中身高在180~‎185cm之间的男生有4人，设其编号为 ‎ 样本中身高在185~‎190cm之间的男生有2人，设其编号为 从上述6人中任取2人的树状图为：‎ 故从样本中身高在180~‎190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~‎190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率 ‎45、【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.‎ ‎46、‎ ‎47、 ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.‎ ‎【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.‎ ‎48、 ‎ 本题考查了同角三角函数的基础知识 ‎ ∵，∴‎ ‎49、解析：‎ 又，所以 ‎50、‎ 七、解答题 ‎51、【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。‎ 由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。‎ ‎52、【参考答案】‎ ‎【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.‎ 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.‎ ‎53、解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，‎ ‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，‎ ‎ 解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.‎ ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得 ‎ Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.‎ ‎54、【参考答案】‎ 由cos∠ADC=＞0，知B＜.‎ 由已知得cosB=，sin∠ADC=.‎ 从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.‎ 由正弦定理得 ，所以=.‎ ‎【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.‎ 八、选择题 ‎55、B ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.‎ ‎【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.‎ ‎56、D ‎【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.‎ P A B O ‎【解析1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，‎ ‎===，令，则，即，由是实数，所以 ‎，，解得或.故.此时.‎ ‎【解析2】设，‎ 换元：，‎ ‎【解析3】建系：园的方程为，设，‎ ‎57、B 本题考查了平面向量的基础知识 ‎∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ‎ ‎58、C ‎59、A ‎60、A. ‎ ‎【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.‎ ‎【解析】‎ 的系数是 -12+6=-6‎ 九、解答题 ‎61、‎ 十、选择题 ‎62、 A ‎【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ‎ ∵ ，∴ ‎ ‎63、C 本题考查了线性规划的知识。‎ ‎∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时 ‎64、C ‎65、B ‎ ‎【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.‎ x A L0‎ A ‎【解析】画出可行域（如右图），，由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.‎ ‎66、C ‎【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.‎ ‎【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C ‎67、C ‎ ‎【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.‎ ‎【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a

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