高中数学第8章圆锥曲线方程（第2课时）椭圆及其标准方程(2)

高中数学第8章圆锥曲线方程（第2课时）椭圆及其标准方程(2)

课 题：8．1椭圆及其标准方程（二）‎ 教学目的：‎ ‎1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；‎ ‎2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程 教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程 教学难点：待定系数法 ‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1 椭圆定义：‎ 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ‎ 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)‎ ‎2.椭圆标准方程：‎ ‎（1）‎ 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 ‎（2）‎ 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程 其中 ‎ ‎ 所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小) ‎ 二、讲解范例：‎ 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).‎ ‎(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.‎ 选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查关系掌握情况.‎ 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：‎ ‎ ‎ ‎∵，2c=6.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆的方程为：.‎ ‎(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 ‎.‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆方程为： ‎ 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.‎ ‎(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).‎ ‎(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.‎ 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.‎ 解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：‎ ‎∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)‎ ‎∴‎ 故所求椭圆的标准方程为 ‎（２）∵椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：‎ ‎∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴＝１０.‎ 又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，‎ ‎∴－c－（－１０）＝２，故c=8.‎ ‎∴.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程是.‎ 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为与的值.‎ ‎(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.‎ 例3 已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程 ‎ 解：设椭圆的标准方程 则有 ，解得 ‎ 所以，所求椭圆的标准方程为 例4 已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10‎ 再根据椭圆定义得 所以顶点A的轨迹方程为 ‎ （≠0）（特别强调检验)‎ ‎ 因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件 三、课堂练习：‎ ‎1．设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是 （ ）‎ A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案：D ‎2.椭圆的左右焦点为，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为 （ ）‎ A.32 B.16 C.8 D.4 答案：B ‎3.设∈(0,)，方程表示焦点在轴上的椭圆，则∈‎ A.(0, B.(,) C.(0,) D.［,) 答案：B ‎4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.‎ 分析：将方程整理，得，据题意 ，解之得0＜k＜1. ‎5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.‎ 分析：据题意，解之得0＜m＜‎ ‎6.在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程. 分析：以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=×39=26.‎ 根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为 (≠0) ‎ 四、小结 ：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法 ‎ 五、课后作业：‎ 平面内两个定点之间的距离为2，一个动点M到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M的轨迹方程.‎ 选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法.‎ 解：建立直角坐标系,使轴经过点，并且点O与线段的中点重合. 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M与的距离的和等于常数6，则的坐标分别是(-1，0)，(1，0).‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 将这个方程移项后，两边平方，得 两边再平方，得：‎ 整理得：‎ 两边除以72得：.‎ 说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记： ‎