四川省攀枝花市第十五中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

四川省攀枝花市第十五中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

攀枝花十五中2019-2020学年高二下学期期中考试 数 学（理工类） ‎ 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．‎ 注意事项：‎ ‎1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．‎ ‎2．填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．下列几何体中是旋转体的是(　 )‎ ‎①圆柱　 ②六棱锥 　③正方体 ④球体 ⑤四面体 A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④‎ ‎2．设双曲线的渐近线方程为，则的值为( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3. 下列命题中，错误的是( )‎ A.平行于同一平面的两个平面平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.一个平面同时和两个平行平面相交，则交线平行 ‎ D.一条直线和两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个相交 ‎4．若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是( )‎ A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 ‎5.将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成的几何体的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6．在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是( )‎ A．若且，则 B．若，，，则 C．若且，则 D．若不垂直于，且，则必不垂直于 ‎7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种 标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其 体积为（立方寸），则图中的为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的余弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．‎ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)‎ ‎13．已知，，若，则实数m的值为________．‎ ‎14．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为________．‎ ‎15．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则__________．‎ ‎16．如图，四棱锥中，是矩形，平面，，‎ ‎，四棱锥外接球的球心为，点是棱上的一个动点.给出如下命题：‎ ‎①直线与直线所成的角中最小的角为；②与一定不垂直；‎ ‎③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.‎ 其中正确命题的序号是 .（将你认为正确的命题序号都填上）‎ 三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17．(10分)若长方体的三个面的面积分别是，求：‎ ‎（1）长方体的体对角线的长； （2）长方体的表面积.‎ ‎18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为的中点为N.‎ ‎（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；‎ ‎（2）证明：直线平面.‎ ‎19．（12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|．‎ ‎20．(12分)如图，在边长为的正方形中，‎ 点是的中点，点是的中点，点是上的点，‎ 且．将△AED，△DCF分别沿，折起，‎ 使，两点重合于，连接，.‎ ‎（1） 求证：；‎ ‎（2）试判断与平面的位置关系，并给出证明.‎ ‎21．(12分)椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.‎ ‎22．（12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，且与平面所成的角 为，求二面角的平面角的余弦值． ‎ 数 学（理工类）参考答案 ‎ 选择题 ‎1-5 DCBDA 6-10 CBACC 11-12 BA 二、填空题 ‎13、7 14、 15、 16、①③④‎ 三、解答题 ‎17.解（1）设长方体的长，宽，高分别为，如图.‎ 可令解得 ‎，‎ ‎，∴该长方体的体对角线长为.‎ ‎（2）.‎ ‎18.（1）解：点的位置如图所示.‎ ‎（2）如图，连接，设O为的中点，连接.‎ 因为分别是的中点，所以，且，‎ ‎，且，所以，.‎ 所以四边形是平行四边形，从而.又平面，平面，所以平面.‎ ‎19．解：设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．‎ 从而，得．所以的方程为．‎ ‎（2）由可得．由，可得．所以 ‎．从而，故．代入的方程得．故．‎ ‎20.证明：∵折叠前,∴折叠后，‎ ‎,∵∴平面，而平面 ‎，∴．‎ ‎（2）平面，证明如下：连接交于，连接，在正方形中，连接交于，‎ 则，所以，又，即，在中，，所以. 平面，平面，所以平面.‎ ‎21.解：（1）因为，所以， ①‎ 又椭圆过点， 所以 ②由①②，解得 所以椭圆的标准方程为 .‎ ‎（2）证明 设直线：， 联立得， ‎ 设，则 ‎ 易知故 ‎，所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.‎ ‎22.证明：（Ⅰ）由已知侧面底面，, 底面,得到侧面，‎ 又因为侧面,所以,又由已知，侧面 为菱形，所以对角线,‎ 即，，,所以平面.‎ ‎（Ⅱ）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线,由（Ⅰ）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角， ,,, ,得到;‎ 以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，,,,,,,，‎ 由（Ⅰ）知平面的法向量为，设平面的法向量，,‎ 解得,,二面角为钝二面角，故余弦值为.‎