【数学】2020届一轮复习(文理合用)第6章第4讲基本不等式作业
对应学生用书[练案42理][练案41文]
第四讲 基本不等式
A组基础巩固
一、选择题
1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( C )
A.a+b≥2 B.+≥2
C.|+|≥2 D.a2+b2>2ab
[解析] 因为和同号,所以|+|=||+||≥2.
2.(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( D )
A.函数y=sinx+(0
0)的最小值为2-4
D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4
[解析] A.sinx=取到最小值4,则sin2x=4,显然不成立.因为≥,所以取不到“=”,故B项不正确;因为x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-(3x+)有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.
3.(2018·西藏林芝期中)若x,y均为正数,则++13的最小值是( C )
A.24 B.28
C.25 D.26
[解析] 因为x,y均为正数,所以由基本不等式得++13≥2+13=25,当且仅当x=2y时等号成立,故++13的最小值是25,故选C.
4.(2018·广东江门调研)若log3m+log3n=4,则m+n的( D )
A.最大值是9 B.最小值是9
C.最大值是18 D.最小值是18
[解析] ∵log3(mn)=4,∴mn=34=81.又m>0,n>0,m+n≥2=18,当且仅当m=n=9时等号成立,故选D.
5.(2018·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( A )
A.4 B.4
C.2 D.2
[解析] ∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥2=2=4,当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=,y=时等号成立,∴8x+4y的最小值为4,故选A.
6.(2018·湖北稳派教育联考)若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是( C )
A.x=y B.x=2y
C.x=2且y=1 D.x=y或y=1
[解析] ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2,当且仅当x=2y时取等号.故“x=2,且y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件,故选C.
7.(2018·宁夏月考)若正数x,y满足+=1,则x+3y的最小值为( C )
A.24 B.18
C.12 D.6
[解析] 由+=1得x+3y=(x+3y)(+)=++6≥2+6=12,当且仅当=,且+=1,即x=6,y=2时等号成立,所以x+3y的最小值为12,故选C.
[方法总结] 利用基本不等式求最值的注意事项
利用基本不等式求最值注意三点要求:“一正、二定、三相等”,两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数,一正,这两个数要求是正数:二定,若这两个正数的和为定值,则积有最大值,若这两个正数的积为定值,则和有最小值;三相等,当且仅当这两个数相等时取等号,三者缺一不可.
8.(2018·安徽六安阶段考试)已知m=a+(a>2),n=23-x2(x<0),则m,n的大小关系是( A )
A.m>n B.m2,∴a-2>0,则m=a+=(a-2)++2≥2+2=8,即m≥8,当且仅当a=5时取等号.又当x<0时,3-x2<3,则n=23-x2<8.综上可得m>n,故选A.
9.(2018·四川成都一诊)已知x≥,则f(x)=有( D )
A.最大值2 B.最小值2
C.最大值1 D.最小值1
[解析] ∵x≥,∴f(x)==(x-2+)≥·2=1,当且仅当x-2=,即x=3或x=1(舍)时取等号,∴f(x)有最小值1,故选D.
10.(2018·湖南邵阳大联考)已知lg(x+y)=lgx+lgy,则x+y的取值范围是( D )
A.(0,1] B.[2,+∞)
C.(0,4] D.[4,+∞)
[解析] ∵lg(x+y)=lgx+lgy=lg(xy),∴x+y=xy.∵x>0,y>0,x+y=xy≤()2,∴x+y≥4,故选D.
二、填空题
11.(1)当x>1时,x+的最小值为__5___;
(2)当x≥4时,x+的最小值为 .
[解析] (1)∵x>1,∴x-1>0.
∴x+=x-1++1≥2+1=5.
(当且仅当x-1=.即x=3时“=”号成立)
∴x+的最小值为5.
(2)因为x≥4,所以x-1≥3.因为函数y=x+在[3,+∞)上为增函数,所以当x-1=3时,y=(x-1)++1有最小值.
12.(2018·沈阳模拟)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是 .
[解析] an=a1+(n-1)d=n,Sn=,
所以=
=(n++1)≥(2+1)=,
当且仅当n=4时取等号.
所以的最小值是.
13.(2018·湖南模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产品__80___件.
[解析] 由题意知平均每件产品的生产准备费用是元,则+≥2=20,当且仅当=,即x=80时“=”成立,所以每批应生产产品80件.
14.(文)(2019·湖北省荆州市高三上学期第一次质量检查)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则+的最小值是 5+2 .
(理)(2019·江苏省徐州市高三考前模拟检测)已知正实数m,n满足m+n=3,则+的最小值为__3___.
[解析] (文)8a·2b=2,∴3a+b=1,
+=(+)(3a+b)
=5++≥5+2=5+2.当且仅当b=a时,取“=”.
(理)+=m++
=m++n-1+=2++
=2+,
∵m(n+1)≤()2=4,∴+≥3.
B组能力提升
1.(2018·辽宁沈阳五校联考)无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于其不证自明的特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理,由下图可证明( D )
A.a2+b2≥a+b B.4ab≥a2+b2
C.a+b≥2 D.a2+b2≥2ab
[解析] 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大,当中心小正方形缩为一个点时,8个直角三角形的面积和与正方形的面积相等.因此(a+b)2≥8×ab=4ab,所以a2+b2≥2ab,故选D.
[方法总结] 基本不等式的实际应用
对基本不等式的实际应用单独考查一般出现在客观题中,如果出现在解答题中,那么还会涉及其他知识的应用,解答应用题的关键是建立函数关系式,如果关系式出现了其中两项和或积为定值,则常常考虑利用基本不等式来解决.
2.函数f(x)=+(00
∴f(x)=[(1-x)+x](+)
=++≥+2=
(当且仅当2x=1-x,即x=时取等号)
∴f(x)的最小值为,故选C.
3.(2018·云南玉溪月考)在△ABC中,若a2+b2=2c2,则内角C的最大值为( C )
A. B.
C. D.
[解析] ∵a2+b2=2c2,∴由余弦定理得cosC=≥==,当且仅当a=b时取等号,∵C是三角形的内角,∴角C的最大值为,故选C.
4. (2018·北京朝阳区期中)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是__3___.
[解析] ∵x>1且x-y=1,∴y=x-1>0
∴x+=x+=(x-1)++1
≥2+1=3(当且仅当x=2时取等号,此时y=1)∴x+的最小值为3.
5.(2018·江西月考)已知a>b>0,则a2+取最小值时b的值为__2___.
[解析] 因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当b=a-b,即b=时等号成立,所以a2+≥a2+≥2=32.当且仅当a2=,即a=4时等号成立,此时b==2.
[易错警示] 忽略集合元素的特性(限制条件)致错
在多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件是否能够同时成立(或者等号成立的务件是否相同).若不能同时成立,那么一般不能取到等号.