【数学】2020届一轮复习(文理合用)第6章第4讲基本不等式作业

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【数学】2020届一轮复习(文理合用)第6章第4讲基本不等式作业

对应学生用书[练案42理][练案41文]‎ 第四讲 基本不等式 A组基础巩固 一、选择题 ‎1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( C )‎ A.a+b≥2    B.+≥2‎ C.|+|≥2    D.a2+b2>2ab ‎[解析] 因为和同号,所以|+|=||+||≥2.‎ ‎2.(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( D )‎ A.函数y=sinx+(00)的最小值为2-4 D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4 ‎[解析] A.sinx=取到最小值4,则sin2x=4,显然不成立.因为≥,所以取不到“=”,故B项不正确;因为x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-(3x+)有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.‎ ‎3.(2018·西藏林芝期中)若x,y均为正数,则++13的最小值是( C )‎ A.24    B.28   ‎ C.25    D.26‎ ‎[解析] 因为x,y均为正数,所以由基本不等式得++13≥2+13=25,当且仅当x=2y时等号成立,故++13的最小值是25,故选C.‎ ‎4.(2018·广东江门调研)若log3m+log3n=4,则m+n的( D )‎ A.最大值是9    B.最小值是9‎ C.最大值是18    D.最小值是18‎ ‎[解析] ∵log3(mn)=4,∴mn=34=81.又m>0,n>0,m+n≥2=18,当且仅当m=n=9时等号成立,故选D.‎ ‎5.(2018·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( A )‎ A.4    B.4   ‎ C.2    D.2 ‎[解析] ∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥2=2=4,当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=,y=时等号成立,∴8x+4y的最小值为4,故选A.‎ ‎6.(2018·湖北稳派教育联考)若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是( C )‎ A.x=y    B.x=2y C.x=2且y=1    D.x=y或y=1‎ ‎[解析] ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2,当且仅当x=2y时取等号.故“x=2,且y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件,故选C.‎ ‎7.(2018·宁夏月考)若正数x,y满足+=1,则x+3y的最小值为( C )‎ A.24    B.18   ‎ C.12    D.6‎ ‎[解析] 由+=1得x+3y=(x+3y)(+)=++6≥2+6=12,当且仅当=,且+=1,即x=6,y=2时等号成立,所以x+3y的最小值为12,故选C.‎ ‎[方法总结] 利用基本不等式求最值的注意事项 利用基本不等式求最值注意三点要求:“一正、二定、三相等”,两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数,一正,这两个数要求是正数:二定,若这两个正数的和为定值,则积有最大值,若这两个正数的积为定值,则和有最小值;三相等,当且仅当这两个数相等时取等号,三者缺一不可.‎ ‎8.(2018·安徽六安阶段考试)已知m=a+(a>2),n=23-x2(x<0),则m,n的大小关系是( A )‎ A.m>n    B.m2,∴a-2>0,则m=a+=(a-2)++2≥2+2=8,即m≥8,当且仅当a=5时取等号.又当x<0时,3-x2<3,则n=23-x2<8.综上可得m>n,故选A.‎ ‎9.(2018·四川成都一诊)已知x≥,则f(x)=有( D )‎ A.最大值2    B.最小值2‎ C.最大值1    D.最小值1‎ ‎[解析] ∵x≥,∴f(x)==(x-2+)≥·2=1,当且仅当x-2=,即x=3或x=1(舍)时取等号,∴f(x)有最小值1,故选D.‎ ‎10.(2018·湖南邵阳大联考)已知lg(x+y)=lgx+lgy,则x+y的取值范围是( D )‎ A.(0,1]    B.[2,+∞)‎ C.(0,4]    D.[4,+∞)‎ ‎[解析] ∵lg(x+y)=lgx+lgy=lg(xy),∴x+y=xy.∵x>0,y>0,x+y=xy≤()2,∴x+y≥4,故选D.‎ 二、填空题 ‎11.(1)当x>1时,x+的最小值为__5___;‎ ‎(2)当x≥4时,x+的最小值为   .‎ ‎[解析] (1)∵x>1,∴x-1>0.‎ ‎∴x+=x-1++1≥2+1=5.‎ ‎(当且仅当x-1=.即x=3时“=”号成立)‎ ‎∴x+的最小值为5.‎ ‎(2)因为x≥4,所以x-1≥3.因为函数y=x+在[3,+∞)上为增函数,所以当x-1=3时,y=(x-1)++1有最小值.‎ ‎12.(2018·沈阳模拟)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是   .‎ ‎[解析] an=a1+(n-1)d=n,Sn=,‎ 所以= ‎=(n++1)≥(2+1)=,‎ 当且仅当n=4时取等号.‎ 所以的最小值是.‎ ‎13.(2018·湖南模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产品__80___件.‎ ‎[解析] 由题意知平均每件产品的生产准备费用是元,则+≥2=20,当且仅当=,即x=80时“=”成立,所以每批应生产产品80件.‎ ‎14.(文)(2019·湖北省荆州市高三上学期第一次质量检查)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则+的最小值是 5+2  .‎ ‎(理)(2019·江苏省徐州市高三考前模拟检测)已知正实数m,n满足m+n=3,则+的最小值为__3___.‎ ‎[解析] (文)8a·2b=2,∴3a+b=1,‎ +=(+)(3a+b)‎ ‎=5++≥5+2=5+2.当且仅当b=a时,取“=”.‎ ‎(理)+=m++ ‎=m++n-1+=2++ ‎=2+,‎ ‎∵m(n+1)≤()2=4,∴+≥3.‎ B组能力提升 ‎1.(2018·辽宁沈阳五校联考)无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于其不证自明的特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理,由下图可证明( D )‎ A.a2+b2≥a+b    B.4ab≥a2+b2‎ C.a+b≥2    D.a2+b2≥2ab ‎[解析] 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大,当中心小正方形缩为一个点时,8个直角三角形的面积和与正方形的面积相等.因此(a+b)2≥8×ab=4ab,所以a2+b2≥2ab,故选D.‎ ‎[方法总结] 基本不等式的实际应用 对基本不等式的实际应用单独考查一般出现在客观题中,如果出现在解答题中,那么还会涉及其他知识的应用,解答应用题的关键是建立函数关系式,如果关系式出现了其中两项和或积为定值,则常常考虑利用基本不等式来解决.‎ ‎2.函数f(x)=+(00‎ ‎∴f(x)=[(1-x)+x](+)‎ ‎=++≥+2= ‎(当且仅当2x=1-x,即x=时取等号)‎ ‎∴f(x)的最小值为,故选C.‎ ‎3.(2018·云南玉溪月考)在△ABC中,若a2+b2=2c2,则内角C的最大值为( C )‎ A.    B.   ‎ C.    D. ‎[解析] ∵a2+b2=2c2,∴由余弦定理得cosC=≥==,当且仅当a=b时取等号,∵C是三角形的内角,∴角C的最大值为,故选C.‎ ‎4. (2018·北京朝阳区期中)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是__3___.‎ ‎[解析] ∵x>1且x-y=1,∴y=x-1>0‎ ‎∴x+=x+=(x-1)++1‎ ‎≥2+1=3(当且仅当x=2时取等号,此时y=1)∴x+的最小值为3.‎ ‎5.(2018·江西月考)已知a>b>0,则a2+取最小值时b的值为__2___.‎ ‎[解析] 因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当b=a-b,即b=时等号成立,所以a2+≥a2+≥2=32.当且仅当a2=,即a=4时等号成立,此时b==2.‎ ‎[易错警示] 忽略集合元素的特性(限制条件)致错 在多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件是否能够同时成立(或者等号成立的务件是否相同).若不能同时成立,那么一般不能取到等号.‎
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