2013年高考数学（理科）真题分类汇编C单元 三角函数

2013年高考数学（理科）真题分类汇编C单元 三角函数

C单元　三角函数 C1　角的概念及任意的三角函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎13.　[解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ 解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.‎ C2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎13．C2[2013·全国卷] 已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________．‎ ‎13．2 　[解析] cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2 .‎ ‎13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎13.　[解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ 解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.‎ ‎15．C2，C5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．‎ ‎15．－　[解析] 由tan＝得＝tan θ＝－cos θ＝－3sin θ ，‎ 由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ 在第二象限， sin θ＝，cos θ＝－，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－ .‎ ‎20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△‎ ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.‎ 因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝.‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ ‎9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2 －1‎ ‎9．C　[解析] 原式＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ C3　三角函数的图像与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎3．A2、C3[2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．A　[解析] ∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，‎ ‎∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.‎ ‎1．C3[2013·江苏卷] 函数y＝3sin的最小正周期为________．‎ ‎1．π　[解析] 周期为T＝＝π.‎ ‎8．C3[2013·山东卷] 函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为(　　)‎ 图1－2‎ ‎8．D　[解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.‎ C4　函数　的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎15．C4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．‎ ‎15．－　[解析] 因为f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x＋φ)，‎ 所以当x＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝－φ＋2kπ(k∈Z)时，y＝f(x)取得最大值，‎ 则cos θ＝cos x＝cos＝sin φ，由φ∈可得 sinφ＝－，所以cosθ＝－.‎ ‎16．C4[2013·安徽卷] 已知函数f(x)＝4cos ωx·sinωx＋(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性．‎ ‎16．解：(1)f(x)＝4cos ωx·sinωx＋ ‎＝2 sin ωx·cos ωx＋2 cos2 ωx ‎＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin2ωx＋＋.‎ 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，‎ 从而有＝π，故ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋＋.‎ 若0≤x≤，则≤2x＋≤.‎ 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减．‎ ‎20．C4，C9，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．‎ ‎(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；‎ ‎(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．‎ ‎20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.‎ 又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，‎ 故f＝sin＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos 2x.‎ 将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cos x的图像，再将y＝cos x的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos的图像，所以g(x)＝sin x.‎ ‎(2)当x∈时，cos 2x>sin xcos 2x.‎ 问题转化为方程2cos 2x＝sin x＋sin xcos 2x在内是否有解．‎ 设G(x)＝sin x＋sin xcos 2x－2cos 2x，x∈，‎ 则G′(x)＝cos x＋cos xcos 2x＋2sin 2x(2－sin x)．‎ 因为x∈，所以G′(x)>0，G(x)在内单调递增．‎ 又G＝－<0，G＝>0，‎ 且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，‎ 即存在唯一的x0∈满足题意．‎ ‎(3)方法一：依题意，F(x)＝asinx＋cos 2x，令F(x)＝asin x＋cos 2x＝0.‎ 当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπ(k∈Z)．‎ 现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a＝－的解的情况．‎ 令h(x)＝－，x∈(0，π)∪(π，2π)，‎ 则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．‎ h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝.‎ 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x h′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎  ‎1‎   ‎－1‎  当x>0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，‎ 当x<π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，‎ 当x>π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，‎ 当x<2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，‎ 故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；‎ 当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；‎ 当－10，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.‎ 当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1，0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；‎ 当a<－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0，1)(另一个零点t2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；‎ 当－10)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．B　[解析] 结合选项，将函数y＝cos x＋sin x＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cos x，它的图像关于y轴对称，选B.‎ ‎11．C4[2013·江西卷] 函数y＝sin 2x＋2 sin2 x的最小正周期T为________．‎ ‎11．π　[解析] y＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋，所以最小正周期为π.‎ ‎17．C4[2013·辽宁卷] 设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎17．解： (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x.‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋.‎ 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ ‎5．C4[2013·山东卷] 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A. B. C．0 D．－ ‎5．B　[解析] 方法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，若f(x)＝sin为偶函数，必有＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.‎ 方法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，其对称轴所在直线满足2x＋＋φ＝kπ＋，k∈Z，又∵f(x)＝sin为偶函数，∴y轴为其中一条对称轴，即＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.‎ ‎16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a＝cos x，－，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎16．解：f(x)＝cos x，－·(sin x，cos 2x)‎ ‎＝cos xsin x－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝cos sin 2x－sincos 2x ‎＝sin2x－.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ 由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，‎ 当2x－＝π，即x＝时，f＝，‎ ‎∴f(x)的最小值为－.‎ 因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.‎ ‎5．C4[2013·四川卷] 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， ‎5．A　[解析] 由图知＝＋＝，故周期T＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．再由f＝2，得sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.‎ ‎15．C4，C5[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2 sin2x－.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2 ，f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2 ，最小值为－2.‎ C5　两角和与差的正弦、余弦、正切　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎17．C5、C8[2013·山东卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.‎ ‎(1)求a，c的值；‎ ‎(2)求sin(A－B)的值．‎ ‎17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，‎ 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，‎ 解得a＝3，c＝3.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝.‎ 由正弦定理得sin A＝＝.‎ 因为a＝c，所以A为锐角，‎ 所以cos A＝＝.‎ 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.‎ ‎17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．‎ ‎17．解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 ‎[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，‎ 即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，‎ 则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.‎ ‎(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.‎ 根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1或c＝－7(舍去)，‎ 故向量在方向上的投影为||cosB＝.‎ ‎15．C4，C5[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2 sin2x－.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2 ，f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2 ，最小值为－2.‎ ‎17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①‎ 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②‎ 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.‎ 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .‎ 又a2＋c2≥2ac，故 ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 因此△ABC面积的最大值为＋1.‎ ‎17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①‎ 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②‎ 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.‎ 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .‎ 又a2＋c2≥2ac，故 ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 因此△ABC面积的最大值为＋1.‎ ‎15．C2，C5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．‎ ‎15．－　[解析] 由tan＝得＝tan θ＝－cos θ＝－3sin θ ，‎ 由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ 在第二象限， sin θ＝，cos θ＝－，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－ .‎ ‎20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.‎ 因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝.‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ C6　二倍角公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎13.　[解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ 解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.‎ ‎20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.‎ 因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝.‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ ‎9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2 －1‎ ‎9．C　[解析] 原式＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ C7　三角函数的求值、化简与证明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎15．C7，C8[2013·北京卷] 在△ABC中，a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求c的值．‎ ‎15．解：(1)因为a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A，‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得＝.‎ 所以＝.‎ 故cos A＝.‎ ‎(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.‎ 又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2 A－1＝.‎ 所以sin B＝＝.‎ 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin AcosB＋cos Asin B ‎＝.‎ 所以c＝＝5.‎ ‎18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若sin Asin C＝，求C.‎ ‎18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.‎ 由余弦定理得cos B＝＝－，‎ 因此B＝120°.‎ ‎(2)由(1)知A＋C＝60°，所以 cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C ‎＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C ‎＝cos(A＋C)＋2sin Asin C ‎＝＋2× ‎＝，‎ 故A－C＝30°或A－C＝－30°，‎ 因此C＝15°或C＝45°.‎ ‎6．C7[2013·浙江卷] 已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎6．C　[解析] 由(sin α＋2cos α)2＝2'得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝＝，4sin αcos α＋1＋3cos2α＝，2sin 2α＋1＋3×＝，故2sin 2α＝－，所以tan 2α＝－，选择C.‎ ‎9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2 －1‎ ‎9．C　[解析] 原式＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ C8　解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎17．C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－4所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.‎ ‎(1)若PB＝，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan ∠PBA.‎ 图1－4‎ ‎17．解：(1)由已知得， ∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.‎ 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝.‎ ‎(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.‎ 在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α.‎ 所以tan α＝，即tan ∠PBA＝.‎ ‎13．C8[2013·福建卷] 如图1－4所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为__________．‎ 图1－4‎ ‎13.　[解析] 设∠BAD＝θ，则∠BAC＝θ＋，sinθ＋＝ ，所以cos θ＝ ，△ABD中，由余弦定理得BD＝＝.‎ ‎17．C8[2013·湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝5 ，b＝5，求sin Bsin C的值．‎ ‎17．解： (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0.‎ 即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，‎ 因为0b，则∠B＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．A　[解析] 由正弦定理可得到sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B．因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝sin B＝，则∠B＝，故选A.‎ ‎18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若sin Asin C＝，求C.‎ ‎18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.‎ 由余弦定理得cos B＝＝－，‎ 因此B＝120°.‎ ‎(2)由(1)知A＋C＝60°，所以 cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C ‎＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C ‎＝cos(A＋C)＋2sin Asin C ‎＝＋2× ‎＝，‎ 故A－C＝30°或A－C＝－30°，‎ 因此C＝15°或C＝45°.‎ ‎17．C5、C8[2013·山东卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.‎ ‎(1)求a，c的值；‎ ‎(2)求sin(A－B)的值．‎ ‎17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，‎ 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，‎ 解得a＝3，c＝3.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝.‎ 由正弦定理得sin A＝＝.‎ 因为a＝c，所以A为锐角，‎ 所以cos A＝＝.‎ 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.‎ ‎7．C8[2013·陕西卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎7．B　[解析] 结合已知bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理代入可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin Asin(B＋C)＝sin2Asin A＝sin2Asin A＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．‎ ‎17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．‎ ‎17．解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 ‎[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，‎ 即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，‎ 则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.‎ ‎(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.‎ 根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1或c＝－7(舍去)，‎ 故向量在方向上的投影为||cosB＝.‎ ‎15．C8，E8，N1[2013·四川卷] 设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：‎ ‎①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；‎ ‎②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；‎ ‎③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；‎ ‎④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．‎ 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎15．①④　[解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；‎ 对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 ＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；‎ 对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；‎ 对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．‎ ‎6．C8[2013·天津卷] 在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．C　[解析] 由余弦定理得AC2＝2＋9－2×3××＝5，即AC＝，由正弦定理得＝，‎ 解得sin ∠BAC＝.‎ ‎17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①‎ 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②‎ 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.‎ 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .‎ 又a2＋c2≥2ac，故 ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 因此△ABC面积的最大值为＋1.‎ ‎20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．‎ ‎20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，‎ 所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.‎ ‎(2)由题意得 ＝，‎ 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，‎ tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①‎ 因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.‎ 因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，‎ 即－sin Asin B＝.‎ 解得sin Asin B＝－＝.‎ 由①得tan2α－5tan α＋4＝0，‎ 解得tan α＝1或tan α＝4.‎ C9　单元综合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎20．C4，C9，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．‎ ‎(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；‎ ‎(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．‎ ‎20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.‎ 又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，‎ 故f＝sin＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos 2x.‎ 将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cos x的图像，再将y＝cos x的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos的图像，所以g(x)＝sin x.‎ ‎(2)当x∈时，cos 2x>sin xcos 2x.‎ 问题转化为方程2cos 2x＝sin x＋sin xcos 2x在内是否有解．‎ 设G(x)＝sin x＋sin xcos 2x－2cos 2x，x∈，‎ 则G′(x)＝cos x＋cos xcos 2x＋2sin 2x(2－sin x)．‎ 因为x∈，所以G′(x)>0，G(x)在内单调递增．‎ 又G＝－<0，G＝>0，‎ 且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，‎ 即存在唯一的x0∈满足题意．‎ ‎(3)方法一：依题意，F(x)＝asinx＋cos 2x，令F(x)＝asin x＋cos 2x＝0.‎ 当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπ(k∈Z)．‎ 现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a＝－的解的情况．‎ 令h(x)＝－，x∈(0，π)∪(π，2π)，‎ 则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．‎ h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝.‎ 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x h′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎  ‎1‎   ‎－1‎  当x>0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，‎ 当x<π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，‎ 当x>π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，‎ 当x<2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，‎ 故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；‎ 当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；‎ 当－10，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.‎ 当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1，0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；‎ 当a<－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0，1)(另一个零点t2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；‎ 当－10.从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.‎ ‎(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1，于是sin≥.‎ 从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.‎ 故使f(x)≥g(x) 成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.‎ ‎18．C9[2013·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 图1－4‎ ‎18．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝，‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]‎ ‎＝sin(A＋C)‎ ‎＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得 AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．‎ 因为0≤t≤，即0≤t≤8，‎ 故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由正弦定理＝，得 BC＝×sin A＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，‎ 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ ‎15．C9[2013·江苏卷] 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ ‎15．解：(1)由题意得|a－b|2＝2，‎ 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.‎ 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.‎ ‎(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，‎ 所以 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，‎ 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝.‎ ‎12．C9、B14[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是(　　)‎ A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 ‎12．C　[解析] 因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cos xsin 2x－cos xsin 2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cos xsin 2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsin x＝2(1－sin2x)sin x，令t＝sin x∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝，所以y在上的极大值为－＋＝，函数的端点值为0，故函数y在区间的最大值为，函数f(x)的最大值为，所以选项C中的结论错误．‎ ‎16．C9[2013·浙江卷] 在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________．‎ ‎16.　[解析] 设△ABC的三边长为a，b，c，tan∠BAM＝.‎ 而tan∠BAM＝tan(∠BAC－∠CAM)＝＝＝＝，‎ 则＝1＋－2＋2＝0－2＝0，故＝sin ∠BAC＝＝＝＝.‎