2018-2019学年江西省上饶中学高一下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶中学高一下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶中学高一下学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：数列中正负项（先正后负）间隔出现，必有，1，3,5,7,9，……故2n-1，所以数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式是，故选B。‎ ‎【考点】数列的通项公式。‎ 点评：简单题，利用数列的前几项写出数列的一个通项公式，有时结果不唯一。‎ ‎2．设，角的终边经过点，那么（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意有,所以,所以,故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，三角函数的正负.对于给定角的终边上一点,求出角的正弦值,余弦值和正切值的题目,首先根据三角函数的定义求得,然后利用三角函数的定义,可直接计算得.本题由于点的坐标含有参数,要注意三角函数的正负.‎ ‎3．已知是等差数列，且，则（ ）‎ A．12 B．24 C．20 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质可得，所以，故。选B。‎ ‎4．已知等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知等比数列 中， ， 是方程 的两根,故 ‎ 根据等比数列的性质得到 ‎ 故答案为：B.‎ ‎5．若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵logm2＜logn2＜0，‎ ‎∴＜＜0，‎ ‎∴lgn＜lgm＜0，‎ 可得n＜m＜1．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数换底公式、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6．设为等差数列的前项的和， ， ，则数列的前2017项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】Sn为等差数列{an}的前n项的和a1=1，设公差为d， = 因为 ‎，所以，所以 ‎ 所以数列的前2017项和为 ‎ 故选A ‎7．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设每年应还万元，则， ，选.选B.‎ ‎8．先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后将其图象沿轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同，则的表达式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】法一：由题意变化后函数解析式为,得令，求得，即可求解；法二：由三角函数图象的平移和伸缩变换得变换前的解析式 ‎【详解】‎ 解法一：‎ ‎，即，‎ 所以令则，∴，即. ‎ 解法二： ‎ 据题意，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象的平移和伸缩变换，熟记平移和伸缩变化原则是解题关键，是中档题 ‎9．某柱体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积（单位：）是（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图还原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为直角梯形，且CD＝CG＝BC＝2，AB＝1，则AD＝．则可求该柱体的侧面积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为直角梯形，‎ 且CD＝CG＝BC＝2，AB＝1，则AD＝．‎ ‎∴该柱体的侧面积为（2+2+1+）＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．‎ ‎10．已知是的角平分线与边交于点，且，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：如图，过点分别作的高线，垂足分别是．过点作于点，由勾股定理可得长度，利用面积法可得，即可得．‎ 详解：如图，如图，过点分别作的高线，垂足分别是． ∵是的角平分线， 过点作于点， ∵在直角中，‎ ‎ ． 又 ‎ ‎∴在直角中，由勾股定理得到 ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ， 又∵在直角 中， ．‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了勾股定理、角平分的性质以及含30度角的直角三角形．根据题意作出辅助线，是解题的难点．‎ ‎11．已知定义在上的函数满足：①对于任意的 ，都有 ；②函数是偶函数；③当时， ， ，则 的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由①得 ，由②得 ，所以 因为当时， 单调递增，所以，选A.‎ 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ‎，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.‎ ‎12．已知函数，则下列说法错误的是（ ）‎ A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．若，则（）‎ D．的最小正周期为 ‎【答案】C ‎【解析】∵=，‎ 故函数的图象关于直线x=kπ+，k∈Z对称，故A正确；‎ f（x）在区间上单调递增，故B正确；‎ 函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误；‎ f（x）的周期为2π中，故D正确；‎ 故选：C．‎ 二、填空题 ‎13．已知半径为2的扇形的弦长，则该扇形的弧长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 故，故弧长 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．如图在平行四边形中， 为中点， ‎ ‎__________． （用表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，故答案为 ‎ ‎15．如图，在圆内接四边形ABCD中，BC=1，CD=2，DA=3，AB=4，则四边形ABCD的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA，‎ 且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）=25+24cosA，‎ ‎∴cosA=﹣，‎ 又0＜A＜π，‎ ‎∴sinA=．‎ ‎∴S△BCD=S△ABD+S△CBD==．‎ 点睛：四边形问题往往转化为三角形问题，注意四边形的对角线是解题的关键，通过余弦定理可以把两个三角形有机的结合到一起.‎ ‎16．已知数列满足，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式，然后分组求和求解数列的前项和即可.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 由题意可得：，‎ 即：，整理可得：，‎ 令，则，由题意可得：，‎ 且，‎ 故，即，‎ ‎，据此可知：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用数列的递推关系求数列通项公式，数列求和，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，是中档题 三、解答题 ‎17．已知是等比数列，，，数列满足，，且是等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题意得 ‎，解得.‎ 所以.‎ 设等差数列的公差为，由题意得 ‎.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 数列的前项和为；‎ 数列的前项和为 所以，数列的前项和为.‎ ‎18．在中，角所对的边分别为.且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】利用正弦定理表示出a，b，代入化简即可得到答案 ‎，利用余弦定理求出ab的值即可得到的面积 ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理可得 ‎，‎ ‎（2）由余弦定理得 即 又 解得或舍去 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了运用正弦定理和余弦定理解三角形，熟练掌握公式并加以运用是解题关键，本题较为基础。‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，是线段上的一点，且平面.‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）若为的中点，连接，，，，平面平面，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】分析：（1）线面平行性质定理连接,平面，平面平面，平面，为的中点，∴为的中点；‎ ‎（2）利用边长的倍数关系进行转化 ‎ ‎ , 平面平面,即平面，‎ ‎（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，‎ ‎∵平面，平面平面，平面，‎ ‎∴，而为的中点，∴为的中点.‎ ‎（2）解：∵，分别为，的中点，‎ ‎∴ .‎ 取的中点，连接，‎ ‎∵为等边三角形，∴，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 而，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ 点晴：空间立体是高考必考题型，需熟练掌握平行垂直判定定理和性质定理，在求体积时运用体积公式，找出底和高即可 ‎20．已知数列的前项和（为正整数）．‎ ‎（Ⅰ）求证：为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和公式．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）（方法一）当时，解得 由得，‎ 当时，有 ‎ 代入上式得 ‎ 整理得，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列 ‎（方法二）当时，解得 ‎ ‎，设，则， ‎ 当时，有 ‎ 代入得 整理得 ‎ 所以即是以为首项，为公差的等差数列 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 依题意①‎ 上式两边同乘以，得②‎ ‎①-②得，‎ 所以 ‎21．如图， 是一块半径为 ，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛 ，其中动点 在扇形的弧上，记 .‎ ‎ ‎ ‎(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式；‎ ‎(2)当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.‎ ‎【答案】（1） （2）时，S取得最大值 ‎【解析】先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案 化简函数，利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为 ‎，，‎ 所以 ，‎ ‎（Ⅱ） ‎ 因为，所以 所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值 ‎【点睛】‎ 本题主要考查运用三角函数解答矩形面积，关键是用含有的表达式来表示出矩形的长和宽，在表示过程中运用三角函数解三角形，在求最值时将其转化为用辅助角化简题，然后求解，此类题目解答的方法还是需要掌握。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，点,圆的半径为2，圆心在直线上 ‎（1）若圆心也在圆上，过点作圆的切线，求切线的方程。‎ ‎（2）若圆上存在点，使,求圆心的纵坐标的取值范围。‎ ‎【答案】（1）或 ‎ ‎（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）建立方程组 圆心（2，-2），设切线方程，再由点到直线的距离公式解得或 所求切线方程为或 ‎（2）设点，由 点在以为圆心，以为半径的圆上，由圆C与圆D有公共点 或.‎ 试题解析：（1）解得，所以圆心（2，-2），设切线方程为，即， ，解得或，所求切线方程为或 ‎（2）设圆的方程为，设点，因为,所以，化简得，所以点在以为圆心，以8为半径的圆上，由题意知点在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则，即，所以，解得或