2018-2019学年浙江省东阳中学高一上学期12月阶段性考试数学试卷

2018-2019学年浙江省东阳中学高一上学期12月阶段性考试数学试卷

2018-2019 学年浙江省东阳中学高一上学期 12 月阶段性考 试数学试卷 提醒：答案全部写在答题卷上。 一、选择题（第小题 4 分，共 40 分） 1.与角 终边相同的角是 A. B. C. D. 2．下列结论正确的是 A．向量 与向量 是共线向量，则 A、B、C、D 四点在同一条直线上 B．若 ，则 或 C．单位向量都相等 D．零向量不可作为基底中的向量 3. 已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为 A.－ 1 2 B. 1 2 C.－ 3 2 D. 3 2 4．若平面向量 与向量 的夹角为 ，且 ，则 等于 A． B． C． D． 5．已知 P 是 内部任一点（不包括边界），且满足 则 一定为 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 6 ． 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 1650 30 210 30−  210−  AB CD 0a b⋅ =  0a =  0b =  θ ( ,, sin )8 6 30P m− −  cos 4 5 θ = − m b )2,1( −=a 180 53|| =b b )6,3(− )6,3( − )3,6( − )3,6(− ABC∆ ( ) ( )2 0PB PA PB PA PC− ⋅ + − =     ABC∆ sin(2 )5y x π= + 10 π A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 7．在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 8．方程 在区间 上的解的个数是 A. B. C. D. 9．已知函数 ，若 在区间 上的最大值为 ，则 的 最小值是 A. B. C. D. 10．在平面坐标系中， 是单位圆上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上， 角 以 O푥 为 始 边 ， OP 为 终 边 ， 若 ， 则 P 所 在 的 圆 弧 是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题（单空题每题 4 分，双空题每题 6 分，共 36 分） 11．已知 为单位向量， ， 与 的夹角为 ，则 ________， 在 方向上 的投影为_______. 12. 已知扇形周长为 ，当它的圆心角 _____时，扇形面积 的最大值是_______. 3 5[ , ]4 4 π π 3[ , ]4 π π 5 3[ , ]4 2 π π 3[ ,2 ]2 π π ∆ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4 −AB AC  1 3 4 4 −AB AC  3 1 4 4 +AB AC  1 3 4 4 +AB AC  tan( )2 33x π+ = [ , )0 2π 2 3 4 5 π 1( ) sin(2 )6 2f x x= − + ( )f x [ , ]3 m π− 3 2 m 2 π 3 π 6 π 12 π    , , ,AB CD EF GH α tan cos sinα α α< < AB CD EF GH e 4|| =a a e 3 2π a e⋅ =  a e 40 θ = S 13.已知函数 ，则 ______， _____. 14.已知函数 是 R 上的偶函数，其图像关于点 对称，且在区间 是单调函数，则 _______， _________． 15.若向量 满足 ，则 ________. 16. 已知函数 ,则 的值域是________. 17.如图， 是以边长为 的等边三角形， 是 以点 为圆心，1 为半径 的圆上的任意一点，则 的最大值是________. 三、解答题（共 74 分） 18.设 为平面内的四点，且 ，（1）若 ，求点 D 的坐标；（2）设向量 ，若 与 垂直，求实数 的值。 19. （1）已知 ，求 的值； （2）已知 ， ，且 ，求 的值。 sin( ), ( ) ( ) , 0 31 04 x x f x f x x π <=  − + > ( )11 6f − = ( )11 3f = ( ) sin( )( 0,0 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ ≤ 3( ,0)4 π [0, ]2 π ϕ = ω = ,α β  | | ,| |2 2 2 4α β α β+ = − =    α β⋅ =  1 1( ) (sin cos ) sin cos2 2f x x x x x= + − − ( )f x ABC∆ 2 3 P C AP BP⋅  , , ,A B C D ( , ), ( , ), ( , )1 3 2 2 4 1A B C− 1 2AB CD=  ,a AB b BC= =    ka b−  3a b+  k 0cossin3 =+ xx xxxx 22 coscossin2sin ++ cos( ) cos( )322 2 π πα β− = − − sin( ) sin( )33 22 2 π πα β− = − + ,02 π α π β π< < < < ,α β 20.在 中， ，记 ，且 （k 为正实 数），（1）求证： ；（2）将 与 的数量积表示为关于 的函数 ； （3）求函数 的最小值及此时角 的大小。 21. 已知函数 在一个周期内的图象如图所 示．(1)求函数 的解析式；（2）求函数 的单调递增区间；(3)设 ，且 方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围以及这两个根的和。 22.已知函数 ，（1）当 时，求当 时， 的取值范围（注：可用公式为 ）；（2）若 ，求 的最小值；（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 ABC∆ 2CA CB= = ,a CA b CB= =    | | | |3ka b a kb+ = −    ( ) ( )a b a b+ ⊥ −    a b k ( )f k ( )f k A ( ) sin( )( , ,| | )0 0 2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < ( )f x ( )f x 0 x π< < ( )f x m= m ( ) sin cos sin cosf x x x a x x= + + 0a = ( , )0 2x π∈ ( )f x sin cos sin( )2 4x x x π+ = + 0a > ( )f x [ , ]0 2x π∈ ( ) 1f x ≥ a 东阳中学 2018 年下学期第二次阶段性考试卷 （高一数学） 提醒：答案全部写在答题卷上。 一、选择题（第小题 4 分，共 40 分） 1.与角 终边相同的角是 A. B. C. D. 解：B。 2．下列结论正确的是 A．向量 与向量 是共线向量，则 A、B、C、D 四点在同一条直线上 B．若 ，则 或 C．单位向量都相等 D．零向量不可作为基底中的向量 解：D 3. 已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为 A.－ 1 2 B. 1 2 C.－ 3 2 D. 3 2 解：B 因为 r＝ 64m2＋9，则 ＝ －8m 64m2＋9＝－ 4 5，所以 m>0，且 4m2 64m2＋9＝ 1 25， 则 ＝ 1 2.选 B 4．若平面向量 与向量 的夹角为 ，且 ，则 等于 A． B． C． D． 解：A。设 ，由 ，得 。考虑到向量 与向量 反向，取 ，故有 。 5．已知 P 是 内部任一点（不包括边界），且满足 则 一定为 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 解 ： D 由 条 件 得 ， 1650 30 210 30−  210−  AB CD 0a b⋅ =  0a =  0b =  θ ( ,, sin )8 6 30P m− −  cos 4 5 θ = − m cosθ m b )2,1( −=a 180 53|| =b b )6,3(− )6,3( − )3,6( − )3,6(− ( , ) ( , )1 2 2b λ λ λ= − = − 53|| =b 3λ = ± b a 3λ = − ( , )3 6b = − ABC∆ ( ) ( )2 0PB PA PB PA PC− ⋅ + − =     ABC∆ ( ) ( ) 0PC CB PC CA PB PC PA PC+ − − ⋅ − + − =        ， ，得 ，所以此三角形是等腰三角 形。 6．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 解：A 函数为 7．在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 解 ： A 因 为 ，故选 A。 8．方程 在区间 上的解的个数是（ ） A. B. C. D. 解 ： C 因 为 ， 则 。 考 虑 到 ， 则 取 ，故符合条件的角有 4 个。 9．已知函数 ，若 在区间 上的最大值为 ，则 的最 小值是 ( ) ( ) 0CB CA CB CA− ⋅ + =    2 2 0CB CA− =  | | | |CB CA=  sin(2 )5y x π= + 10 π 3 5[ , ]4 4 π π 3[ , ]4 π π 5 3[ , ]4 2 π π 3[ ,2 ]2 π π sin2y x= ∆ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4 −AB AC  1 3 4 4 −AB AC  3 1 4 4 +AB AC  1 3 4 4 +AB AC  ( ) ( )1 1 1 1 2 2 4 2EB ED DB AD CB AB AC AB AC= + = + = + + −         3 1 4 4AB AC= −  tan( )2 33x π+ = [ , )0 2π 2 3 4 5 ,2 3 3x k k Z π ππ+ = + ∈ 2 kx π= [ , )0 2x π∈ , , ,0 1 2 3k = π 1( ) sin(2 )6 2f x x= − + ( )f x [ , ]3 m π− 3 2 m A. B. C. D. 解：B 因为 ，所以 ，要使得 在 上 的最大值为 ，即 在 上的最大值为 1，所以 ，即 ， 以 的最小值为 . 10．在平面坐标系中， 是单位圆上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上， 角 以 O푥为始边，OP 为终边，若 ，则 P 所在的圆弧是 （A） （B） （C） （D） 解：C 二、填空题（单空题每小题 4 分，双空题每题 6 分，共 36 分） 11．已知 为单位向量， ， 与 的夹角为 ，则 ________， 在 方向上 的投影为_______. 解： ， 在 方向上的投影为 。 12. 已知扇形周长为 ，当它的圆心角 _____时，扇形面积 的最大值是_______. 解： ； 设圆心角是 ，半径是 ，则 ，S＝ 1 2θ·r2＝ 1 2r(40－2r)＝ r(20－r)≤( 20 2 )2＝100，当且仅当 r＝20－r，即 r＝10 时，Smax＝100.∴当 r＝10，θ＝2 时，扇形面积最大．即半径为 10，圆心角为 2 时，扇形面积最大． 13.已知函数 ，则 ______， _____. 2 π 3 π 6 π 12 π π[ , ]3x m∈ − π 5π π2 [ ,2 ]6 6 6x m− ∈ − − ( )f x π[ , ]3 m− 3 2 πsin(2 )6x − π[ , ]3 m− π π2 6 2m − ≥ π 3m ≥ m π 3    , , ,AB CD EF GH α tan cos sinα α α< < AB CD EF GH e 4|| =a a e 3 2π a e⋅ =  a e 2− 2− a e | | cos cos 24 23a πθ = = − 40 θ = S 2 100 θ r 2 40r rθ+ = sin( ), ( ) ( ) , 0 31 04 x x f x f x x π <=  − + > ( )11 6f − = ( )11 3f = 解： ； 14.已知函数 是 R 上的偶函数，其图像关于点 对称，且在区间 是单调函数，则 _______， _________． 解： , 或 由偶函数关于 轴对称，知当 时函数 取最大值或最小值， 所以 又 所以 ;另一方面函数 的图像关于点 对称， 此 点 是 函 数 图 像 与 轴 的 一 个 交 点 ， 所 以 当 ， ， 即 ， ， ． 当 时， 在 上是减函数; 当 时， 在 上是减函数; 当 时， 在 上不是减函数． 综上所述 或 ． 另解：由 是偶函数，得 即 ，所以 对任意 都成立，只能 是 ，又 ，所以 ． 由 的图像关于点 对称，得 ，令 得 ， 以下同解法一． 15.若向量 满足 ，则 ________. 解： 。由条件得 ，则 ，相减得 ， 所以 。 16. 已知函数 ,则 的值域是________. 1 2 3 2 ( ) sin( )( 0,0 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ ≤ 3( ,0)4 π [0, ]2 π ϕ = ω = 2 π 2 2 3 x 0x = ( )f x sin 1,ϕ = ± 0 ϕ π≤ ≤ 2 πϕ = ( )f x 3( ,0)4 π x 3 4x π= 3sin( ) 04 2 π πω + = 3 3cos 0, ,4 4 2 k π π πω ω π= = + 2 (2 1)3 kω = + 0,1,2,k =  0k = 2 2, ( ) sin( )3 3 2f x x πω = = + [0, ]2 π 1k = 2, ( ) sin(2 )2f x x πω = = + [0, ]2 π 2k ≥ 10 ( ) sin( )3 f x xω ω ϕ≥ = + [0, ]2 π 2 3 ω = 2, 2 πω ϕ= = ( )f x ( ) ( )f x f x− = sin( ) sin( )x xω ϕ ω ϕ− + = + cos sin cos sinx xϕ ω ϕ ω− = x cos 0ϕ = 0 ϕ π≤ ≤ 2 πϕ = ( )f x 3( ,0)4 π 3 3( ) ( )4 4f x f x π π− = − + 0x = 3( ) 04f π = ,α β  | | ,| |2 2 2 4α β α β+ = − =    α β⋅ =  3 2 − | | | | 2 2 2 4 2 16 α β α β  + = − =     2 2 2 2 4 4 4 4 4 16 α α β β α α β β  + ⋅ + =  − ⋅ + =         8 12α β⋅ = −  3 2 α β⋅ = −  1 1( ) (sin cos ) sin cos2 2f x x x x x= + − − ( )f x 解： 17.如图， 是以边长为 的等边三角形， 是以点 为圆心，1 为半径的圆上的 任意一点，则 的最大值是________. 解 一 ： 易 得 ， 。设向量 与向量 的夹角为 ，则 ， 所 以 当 时 ， 的最大值为 。 解二：（此法要用到圆的知识）以线段 的中点为原点，以直线 为 x 轴建立坐标 系 ， 则 ， ， 所 以 圆 C 的 方 程 为 。 设 ， 则 ，所以最大值为 。 三、解答题（共 74 分） 18.设 为平面内的四点，且 ，（1）若 ，求点 D 的坐标；（2）设向量 ，若 与 垂直，求实数 的值。 解：（1）设点 D 的坐标为 ，则 。因为 ， 得 ，即 ，点 D 的坐标是 。 （2）因为 ，由 与 垂直，得 ， ， ，解得 。 21, 2  −    ABC∆ 2 3 P C AP BP⋅  cos2 3 2 3 60 6AC BC⋅ = ⋅ =  | | 2 2 2 6AC BC AC AC BC BC+ = + ⋅ + =      AC BC+  CP θ ( ) ( )AP BP AC CP BC CP⋅ = + ⋅ +      ( ) cos2 6 6 1 1AC BC AC BC CP CP θ= ⋅ + + ⋅ + = + ⋅ +      cos7 6 θ= + 0θ = AP BP⋅  13 AB AB ( , ), ( , )3 0 3 0A B− ( , )0 3C ( )2 23 1x y+ − = (cos , sin )3P θ θ+ (cos , sin ) (cos , sin )3 3 3 3AP BP θ θ θ θ⋅ = + + ⋅ − +  cos ( sin ) sin2 23 3 6 7θ θ θ= − + + = + 13 , , ,A B C D ( , ), ( , ), ( , )1 3 2 2 4 1A B C− 1 2AB CD=  ,a AB b BC= =    ka b−  3a b+  k ( , )x y ( , ), ( , )1 5 4 1AB CD x y= − = − −  1 2AB CD=  ( , ) ( , )11 5 4 12 x y− = − − ,6 9x y= = − ( , )6 9− ( , ), ( , )1 5 2 3a b= − =  ka b−  3a b+  ( ) ( )3 0ka b a b− ⋅ + =    ( , ) ( , )2 5 3 7 4 0k k− − − ⋅ = 7 14 20 12 0k k− − − = 2k = − 19. （1）已知 ，求 的值； （2）已知 ， ，且 ，求 的值。 解 ： （ 1 ） （2）由已知条件，得 ，两式求平方和得 ， 即 ，所以 。又因为 ，所以 ， 。 把 代入得 。考虑到 ，得 。因此有 ， 。 20.在 中， ，记 ，且 （k 为正实 数），（1）求证： ；（2）将 与 的数量积表示为关于 的函数 ； （3）求函数 的最小值及此时角 的大小。 解：（1）因为 ，所以 ，即 （ 2 ） 因 为 ， 则 ， 即 ， ，得 。 （3）显然当 时， 的最小值为 2，此时 ， ， 所以 . 21. 已知函数 在一个周期内的图象如图所 示．(1)求函数 的解析式；（2）求函数 的单调递增区间；(3)设 ，且 方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围以及这两个根的和。 0cossin3 =+ xx xxxx 22 coscossin2sin ++ cos( ) cos( )322 2 π πα β− = − − sin( ) sin( )33 22 2 π πα β− = − + ,02 π α π β π< < < < ,α β sin sin cos cossin sin cos cos sin cos 2 2 2 2 2 2 22 x x x xx x x x x x + ++ + = + tan tan tan 2 2 2 1 1 x x x + += =+ 5 2 sin sin cos cos 2 3 2 α β α β  = = sin cos2 23 2α α+ = cos2 1 2 α = cos 2 2 α = ± 2 π α π< < cos 2 2 α = − 3 4 πα = 3 4 πα = cos 3 2 β = − 0 β π< < 5 6 πβ = 3 4 πα = 5 6 πβ = ABC∆ 2CA CB= = ,a CA b CB= =    | | | |3ka b a kb+ = −    ( ) ( )a b a b+ ⊥ −    a b k ( )f k ( )f k A | | | |a b=  ( ) ( ) | | | |2 2 2 2 4 4 0a b a b a b a b+ ⋅ − = − = − = − =        ( ) ( )a b a b+ ⊥ +    | | | |3ka b a kb+ = −    | | | |2 23ka b a kb+ = −    ( )2 2 2 22 22 3 2k a ka b b a ka b k b+ ⋅ + = − ⋅ +        28 8 8ka b k⋅ = +  ( ) 1f k a b k k = ⋅ = +  1k = ( )f k cos | | | | 2 1 4 2 a bC a b ⋅= = = ⋅     3C π= 3A π= ( ) sin( )( , ,| | )0 0 2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < ( )f x ( )f x 0 x π< < ( )f x m= m 解：（1）由最大值与最小值可知 ；由于 ，可得 ； 当 时取最大值，得 ，即 ，取 ， 所以 。 （2）函数 的单调递增区间是 。 （3）由图可知，m 的取值范围是 且 。 当 时，两根之和为 ；当 时，两根之和为 。 22.已知函数 ，（1）当 时，求当 时， 的取值范围（注：可用公式为 ）；（2）若 ，求 的最小值；（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 解：（1）当 时，求当 时， 的取值范围是 。 （ 2 ） 令 ， 则 ， 当 ， 即 时 ， ； 当 ， 即 时， ，综上可知 （3）当 时，有 ，问题等价于 恒成立。 当 时， 显然成立，所以 ； 当 时 ， 恒 成 立 ， 等 价 于 ， 即 恒成立，从而转化为求 的最大值。因为 ，所以 ，所以 。 综上可知实数 的取值范围是 。 2A = 3 11 3 4 12 6 4T π π π= − = , 2T π ω= = 6x π= ,2 26 2k k Z π πϕ π× + = + ∈ ,2 6k k Z πϕ π= + ∈ 6 πϕ = ( ) sin( )2 2 6f x x π= + ( )f x [ , ],3 6k k k Z π ππ π− + ∈ 2 2m− < < 1m ≠ 1 2m< < 3 π 2 1m− < < 4 3 π ( ) sin cos sin cosf x x x a x x= + + 0a = ( , )0 2x π∈ ( )f x sin cos sin( )2 4x x x π+ = + 0a > ( )f x [ , ]0 2x π∈ ( ) 1f x ≥ a 0a = ( , )0 2x π∈ ( )f x ( , ]1 2 sin cost x x= + ( ) ( ) , [ , ],2 2 2 02 2 a ay f x g t t t t a= = = + − ∈ − > ( ) ( ) 2 21 1 2 2 a ag t t a a += + − 1 2a − ≤ − 20 2a< ≤ min ( )2 22 ay g= − = − 1 2a − > − 2 2a > min ( ) 21 1 2 ay g a a += − = − min , ( ) , 2 22 02 2 1 2 2 2 a a f x a aa  − < ≤=  +− > [ , ]0 2x π∈ [ , ]1 2t ∈ ( ) 2 12 2 a ag t t t= + − ≥ 1t = ( ) 2 1 12 2 a ag t t t= + − = ≥ a R∈ ( , ]1 2t ∈ 2 12 2 a at t+ − ≥ ( )2 1 12 a t t− ≥ − ( ) 2 2 1 2 1 1 ta t t − −≥ =− + ( ) 2 1h t t −= + ( , ]1 2t ∈ max( ) ( )2 2 2 2h t h= = − 2 2 2a ≥ − a [ , )2 2 2− +∞