2020届高三普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学试题 Word版含解析

2020届高三普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学试题 Word版含解析

‎2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学 一、选择题 ‎1. 已知全集，集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B，再求得集合B的补集，由集合的交集运算可得选项.‎ ‎【详解】，所以，‎ 又，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四三象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法计算化简得到z，，可得到选项.‎ ‎【详解】∵，∴，∴，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数，以及复数对应象限，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎3. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出顶点到渐近线的距离、焦点到渐近线的距离，列出关于的方程，再结合 ，即可求得离心率的值.‎ ‎【详解】由题意知：取双曲线的顶点、焦点坐标 ，‎ 取渐近线方程为，也即是 ，‎ 顶点到渐近线的距离为 ，‎ 焦点到渐近线的距离为 ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、离心率的求法、点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎4. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二倍角公式和降幂公式化简得，再结合平移法则即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由函数平移法则可知，将函数的图像向右平移个长度单位即可得到，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查二倍角公式与降幂公式及诱导公式的使用，由变换前后表达式求解平移量，解题关键是将不同名三角函数结合诱导公式转化成同名，属于中档题 ‎5. 记不等式组的解集为，，使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出的最大值， 即可.‎ ‎【详解】可行域如图所示 - 23 -‎ 由 得 ， ‎ 当过时，，‎ ‎ .‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题与函数有解问题，属于中档题.‎ ‎6. 函数在，的图象大致为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可．‎ ‎【详解】解：，则函数奇函数，‎ - 23 -‎ 则图象关于原点对称，故排除．‎ 当时，，‎ 则当时，，函数为增函数，‎ ‎，时，，函数为减函数，‎ 则当时，取得极大值同时也是最大值，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数与图象之间的关系，结合导数与单调性之间的关系以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．‎ ‎7. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标．‎ ‎【详解】解：因为是直线的任一点，所以设，‎ 因为圆的两条切线、，切点分别为、，‎ 所以，，‎ 则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，‎ 则圆心的坐标是，，且半径的平方是，‎ 所以圆的方程是，①‎ - 23 -‎ 又，②，‎ ‎②①得，，‎ 即公共弦所在的直线方程是：，‎ 即，‎ 由得，，‎ 所以直线恒过定点，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．‎ ‎8. 函数在区间内有三个零点，则的值可能为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式可得.由，可得.根据在区间内有三个零点，可得，求出的取值范围，即得答案.‎ ‎【详解】.‎ ‎，‎ 函数在区间内有三个零点，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查辅助角公式和函数的零点，属于基础题.‎ ‎9. 现将3名医生和5名护土分派到两所医院参加救护工作，其中一对护士是孪生姐妹必须分到同一所医院，每所医院至少分配一名医生和两名护士，那么符合要求的分配方案有（ ）‎ A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 60种 ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类完成：一类孪生姐妹护士单独到一所医院，另一类孪生姐妹和另一名护士到一所医院，分别计算可得．‎ ‎【详解】分两种情况：孪生姐妹护士单独到一所医院，由种方案；孪生姐妹和另一名护士到一所医院，由种方案；共有48方案，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分组分配问题，解题关键是确定完成这件事情的方法，分类还是分步．‎ ‎10. 已知数列是等比数列，若，则（ ）‎ A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项的性质得，，，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值.‎ ‎【详解】设等比数列公比，∵，∴，∴，∴，，‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当，即时，取等号，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，基本不等式的应用求最值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项(‎ - 23 -‎ 必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.‎ ‎11. 正方体的棱长为，为的中点，为线段上靠近的一个三等分点，则过点，，的平面把正方体截得两部分，则下半部分几何体与上半部分几何体的体积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意，画出相应的图形，根据相关性质，确定出截面的位置，利用割补法求出截面下方几何体的体积，减法运算求得截面上方几何的的体积，进而求得比值，得到结果.‎ ‎【详解】如图，‎ 设点，，的平面交棱于点，棱的中点为，‎ 连接，，，，易知，‎ ‎∵四点，，，共面，∴，∴，∵，‎ ‎∴四边形是平行四边形.∴.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ - 23 -‎ 该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有截面图形的确定，割补法求几何体的体积，属于简单题目.‎ ‎12. 已知无穷等比数列满下列足条件：当时，；当时，，则首项的最小值是（ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合数列递推式，分类讨论，时，由递推式求出，不成等比数列，不成立，在时，，再分类，及，可得出结论．‎ ‎【详解】∵下面分情况讨论：‎ 当时，，∴，∴，但是，不可能组成等比数列，矛盾；‎ 当时，，当时，，因为是等比数列，此时，这与矛盾；当时，，∴，∴，‎ 时，，，…，，满足题意．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式、等比数列的概念，解题方法是分类讨论，根据的不同取值范围，由递推式确定数列各项，验证是否构成等比数列，或由等比数列得出结论，验证是否满足题设要求．‎ 二、填空题 ‎13. 在某项测试中，测量结果，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，由正态密度曲线的对称性可求得的值.‎ ‎【详解】，由已知条件得，所以，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，当周长最小时，所在直线的斜率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 过点向准线作垂线，垂足为，由抛物线定义得，周长等于，易得共线时，取得最小值．‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，准线为，从点向准线作垂线，垂足为，从点向准线作垂线，垂足为，则周长，当且仅当，，三点共线时，取到最小值，此时，.‎ - 23 -‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的点到定点与到焦点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用定义把抛物线上的点以焦点的距离转化为到准线的距离．‎ ‎15. 已知等腰直角三角形中，，顺次为线段的九等分点，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将用坐标表示出来，再求出最大值.‎ ‎【详解】如图建立平面直角坐标系 ‎ 等腰直角三角形中，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 23 -‎ ‎ ，‎ 或时最大，‎ 此时.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积的运算，只要想到方法便可迎刃而解，属于中档题.‎ ‎16. 已知函数的导数为，若，且，则不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数，求出，可得，确定是增函数，待求解不等式可化为，由此可解不等式．‎ ‎【详解】由可得，‎ 所以，即.‎ 令，即，则单调递增.‎ 不等式，‎ 而，‎ 所以不等式，‎ - 23 -‎ ‎∴，解得.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解函数不等式，解题关键是构造新函数，利用导数确定新函数的单调性，不等式转化为新函数的不等式，从而易求解．‎ 三、解答题 ‎（一）必考题 ‎17. 在中，角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若，的面积是，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，化简得到，得到答案.‎ ‎（2）根据面积得到，再根据余弦定理得到，计算得到周长.‎ ‎【详解】（1）中，，所以，‎ 根据正弦定理，得，‎ 因为，所以，‎ 所以，又，所以，‎ 所以，易知，所以，故.‎ ‎（2）由题意得，得，‎ 由余弦定理，得，‎ 即，所以，‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】‎ - 23 -‎ 本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生综合应用能力和计算能力.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知底面，得，利用勾股定理逆定理得，从而有线面垂直后得证面面垂直；‎ ‎（2）以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，写出各点坐标，求出平面和平面的一个法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得，再由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求得线面角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）因为平面，平面，‎ 所以.因为，‎ 所以，所以，‎ 故.又，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，‎ - 23 -‎ 则，，，，‎ 易知为平面的一个法向量.‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由，即∴，‎ 取，则，.‎ 依题意，，解得.‎ 于是，，.‎ 则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法．‎ ‎19. 已知椭圆的右顶点为，左焦点为，离心率，过点的直线与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点，若．‎ - 23 -‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于，两点，以为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)；（2）以为直径的圆恒过坐标原点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据离心率得，，再根据点B在椭圆上得B点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得，即得，（2）先考虑直线的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，，‎ 设，代人椭圆方程得： ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的圆心为或，半径为2，‎ 以为直径的圆的标准方程为： 或，‎ 因为两圆都过坐标原点，∴以为直径的圆过坐标原点，‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为，，，‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，‎ - 23 -‎ ‎，‎ 所以，‎ 由，‎ 化简得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴以为直径的圆过坐标原点，‎ 综上，以为直径的圆恒过坐标原点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及圆过定点，考查综合分析论证求解能力，属中档题.‎ ‎20. 甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）试比较与的大小，并证明你的结论.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局 所以 同理 ‎（2）在局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局 故 所以 又因为 所以，所以 ‎21. 已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当函数有两个零点时，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题．（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据题意将证明的问题转化为证明 - 23 -‎ ‎，即证，构造函数，‎ 利用函数的单调性证明即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：∵‎ ‎∴．‎ ‎①当时，令，解得，‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎②当时，恒成立，‎ ‎∴函数在R上单调递增. ‎ 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，在R上单调递增.‎ ‎（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点．‎ 所以．‎ 设函数的两个零点为，‎ 则，‎ 设，‎ 解得，‎ 所以，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 设 - 23 -‎ 设单调递增，‎ 所以，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以，‎ 故．‎ ‎（二）选考题 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若点的极坐标为，点的极坐标为．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，，求的面积．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线的参数方程消去 ，得到普通方程，再由 ，可以得曲线的极坐标方程，将两边同时乘以后，再由，可得曲线的直角坐标方程.‎ 将 、 两点的极角分别代入曲线和曲线的极坐标方程可以得到 、 两点的极径，再由三角形面积公式，即可得出的面积.‎ - 23 -‎ ‎【详解】将消去参数，化为普通方程： ，‎ 将代入得，‎ ‎ 曲线的极坐标方程为：，‎ 将两边同时乘以得，‎ 再由得 ，‎ 曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎（2）将的极坐标代入的极坐标方程得 ，‎ 将点的极坐标代入的极坐标方程得．‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化以及三角形的面积公式，理解极径和极角的含义很关键，属于中档题.‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23. 已知，．‎ ‎（1）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数，，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）转化为，再解绝对值不等式得出的取值范围.‎ ‎（2）转化为值域与值域交集非空，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）（i）当， 即 时，‎ ‎，‎ 此时，解得，‎ ‎， ‎ ‎（ii）当，即 时，‎ ‎，此时，不恒成立.‎ ‎(iii) 当， 即 时，‎ ‎，‎ 此时，‎ 解得:，‎ ‎ 实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 值域为 ，‎ - 23 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 值域为 ，‎ 由题意知，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 实数的取值范围 ‎【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题、含两个绝对值不等式值域的求法、双参数问题，属于中档题.‎ - 23 -‎