2020届高三普通高等学校招生全国1卷高考模拟大联考数学（理科）试题 Word版含解析

2020届高三普通高等学校招生全国1卷高考模拟大联考数学（理科）试题 Word版含解析

- 1 - 2020 年普通高等学校招生全国Ⅰ卷高考模拟大联考数学（理 科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. （-1，1） B. [-1，1） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 ，利用集合的交集定义计算得出答案． 【详解】因为 .所以 . 故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力， 属于基础题． 2. 已知复数 z＝ ，则 ＝（ ） A. ﹣1 B. ﹣i C. 1 D. i 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则化简后，根据共轭复数概念得出结果. 【详解】 ， ∴ , 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，虚数单位的幂的运算的周期性，共轭复数的概念，属基 { }2 5 0| 4A x x x= − − ≤ { }| 1B x x= < A B = 51, 4  −   5 ,14  −   A { }2 5| 4 5 0 | 1 4A x x x x x = − − ≤ = − ≤ ≤   { }| 1 1A B x x∩ = − ≤ < 51 1 − + i i z ( ) ( )( ) 25 2 2 11 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 ii i i i iz ii i i i i −− − − += = = = = − = −+ + − + − z i= - 2 - 础题. 3. 若抛物线 x2＝ay 的准线与抛物线 y＝﹣x2﹣2x+1 相切，则 a＝（ ） A. 8 B. ﹣8 C. ﹣4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 求 出 抛 物 线 x2 ＝ ay 的 准 线 为 ， 根 据 抛 物 线 x2 ＝ ay 的 准 线 与 抛 物 线 相切可得 ，得出答案. 【详解】抛物线 抛物线 x2＝ay 的准线为 则 与抛物线 y＝﹣x2﹣2x+1 相切， 所以 ，所以 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查抛物线的切线，属于基础题. 4. 函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 4 ay = − ( )22 2 1 1 2y x x x= − − + = − + + 24 ay = − = ( )22 2 1 1 2y x x x= − − + = − + + 4 ay = − 4 ay = − 24 ay = − = 8a = − ( ) cosxf x e x= − - 3 - 【分析】 先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果. 【详解】由 ，则 当 时， ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，排除选项 A，C 又 ，排除除选项 B 故选： 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性以及特值是解决本题的关 键．比较基础． 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ） A. 5 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 执行程序框图，依此写出每次循环时的 的值并判断，直到当 时，退出循环，输出 的值. 【详解】第一次循环： ， ， ，不满足 执行循环； ( ) cosxf x e x= − ( ) sinxf x e x′ = + 0x > e 1x > ( ) sin 0xf x e x′ = + > ( )f x ( )0, ∞+ 2 2cos 02 2f e e π ππ π− −   − = − − = >       D k = ,k S 0S < k 6 1 5S = − = 1 1 2k = + = 0S > 0S < - 4 - 第二次循环： ， ， ，不满足 执行循环； 第三次循环： ， ， ，不满足 执行循环； 第四次循环： ， ， ，退出循环，此时输出 . 故选: A 【点睛】本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序 框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题. 6. 连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为 x，y，z，那么点 到原点 O 的距离不超 过 3 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案. 【详解】点 到原点 O 的距离不超过 3，则 ，即 连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有 个 其中 满足条件 则点 到原点 O 的距离不超过 3 的概率为 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用， 属于中档题. 7. 函数 f（x）＝2sin2（ωx﹣ ）＞（ω＞0）的最小正周期为 π．则 f（x）在 上的最 小值是（ ） A. 1+ B. C. 2 D. 1﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】 5 2 3S = − = 2 1 3k = + = 0S > 0S < 3 3 0S = − = 3 1 4k = + = 0S = 0S < 0 4 4S = − = − 4 1 5k = + = 0S < 5k = ( , , )P x y z 4 27 7 216 11 72 1 6 ( , , )P x y z 2 2 2 3x y z+ + ≤ 2 2 2 9x y z+ + ≤ 6 6 6 216× × = (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2) ( , , )P x y z 7 216P = 6 π 3,4 4 π π     3 2 1 2 3 2 - 5 - 由函数的最小正周期得到 的值，再根据 的取值范围求出 的取值范围，结合余弦函 数的性质得到函数的最小值； 【详解】解：因为 ，且 的最小正周期为 ，所以 解得 ，所以 因为 所以 ，所以 所以 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题. 8. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生 命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系．是中华民 族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含最 x（单位：克）与药物功 效 y（单位：药物单位）之间满足 y＝15x﹣2x2．检测这种药品一个批次的 6 个样本，得到成 分甲的含量的平均值为 5 克．标准差为 克．则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ） A. 14 药物单位 B. 15.5 药物单位 C. 15 药物单位 D. 16 药物单位 【答案】C 【解析】 【分析】 设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 ，根据平均值和标准差列出方程， 再代入平均数的计算公式，即可求解. 【详解】设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 ， 因为成分甲的含量的平均值为 5 克，所以 ， ω x 2 3x π− ( ) 22sin 1 cos 26 3f x x x π πω ω   = − = − −       ( )f x π 2 2 ππ ω= 1ω = ( ) 1 cos 2 3f x x π = − −   3,4 4x π π ∈   72 ,3 6 6x π π π − ∈   3cos 2 1,3 2x π   − ∈ −      ( )min 31 2f x = − 5 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x 1 2 3 4 5 6 30x x x x x x+ + + + + = - 6 - 标准差为 克，所以 ，可得 ， 又由 ，所以 ， 所以这批中医药的药物功效的平均值为 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了统计知识的应用，其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公 式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9. 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．已知 且 b＝ ，则 a+c＝（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理角化边可得 ，再根据余弦定理可得 ，根据三角形面积公 式可得 ，再根据余弦定理可求得结果. 【详解】因为 ，所以 ，化简得 ， 所以 ，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 5 6 2 1 1 ( 5) 56 i i x = − =∑ 6 2 1 180i i x = =∑ 215 2y x x= − 6 6 6 2 1 1 1 15 2 90i i i i i i y x x = = = = − =∑ ∑ ∑ 6 1 1 156 i i y = × =∑ cos 3 3,cos 2 4 = =− ABC B b SC a c 3 3 3 3 3 2 2 2a c b ac+ − = 3B π= 3ac = cos cos 2 B b C a c = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b bac a b c a c ab + − =+ − − 2 2 2a c b ac+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< < 3B π= 1 sin2ABCS ac B= = 3 3 4 3 3 3 2 2ac = 3ac = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 23 ( ) 2a c ac ac= + − − 2( ) 3 3 12a c ac+ = + = 2 3a c+ = - 7 - 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，属于基础题. 10. 设 A 为双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线上一点，且 A 在第四象限，O 为 坐标原点，若向量 ＝(1，1)， 且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 由 已 知 可 设 ， 其 中 ， 由 且 ， 可 得 ， ，建立关于 的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项. 【详解】由已知可得 A 为直线 上一点，且 A 在第四象限，故可设 ，其中 ， ，其中 ， ， ， ， ， ，即 ， ， . 2 2 2 2 1x y a b − = m 10,OA = 2OA m⋅ = −  10 5 10 3 10 5 2 5 , bA t ta  −   0t > 10,OA = 2OA m⋅ = −  2 2 2 10at c = 2at b a = − ,a b by xa = − , bA t ta  −   0t > 2 2 2 2 10b cOA t t ta a = + = =  2 2c a b= + 2 2 2 10at c ∴ = 2,bOA m t ta ⋅ = − = −    2at b a ∴ = − 0, 0t b a> ∴ > > 22 2 2 10 2a at c b a  = =  −  2 2 2 2 2 2 10 4 2 a a a b b ab a =+ − + 2 23 10 3 0a ab b∴ − + = ( 3 )(3 ) 0a b a b− − = 0b a> > 3b a∴ = - 8 - 所以该双曲线的离心率为 ， 故选：A. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于 的方程，属 于中档题. 11. 三棱锥 S﹣ABC 的各顶点均在球 O 的球面上，SC 为该球的直径，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°， 且三棱锥 S﹣ABC 的体积为 2，则球 O 的半径为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 作出示意图，求得 的面积，并计算出三棱锥 的高 ，利用正弦定理计算圆 的直径 ，然后利用勾股定理求出 ，即可求解球的直径，得到答案. 【详解】如图所示， 因为 ， 可得 面积为 ， 设 的外接圆为圆 ，连接 ，则 平面 ， 作圆 的直径 ，连接 ， 因为 分别为 的中点，则 ，所以 平面 ， 所以三棱锥 的体积为 ，解得 ， 由正弦定理，可得 ， ， 设球的半径为 ，则 ，解得 . 故选：A. 的 2 2 2 2 2 2 21 10c c a b b a a a a += = = + = , ,a b c 7 5 5 2 ABC S ABC− SD E CD SC 2, 120AC BC ACB= = ∠ =  ABC 1 1 3sin 2 2 32 2 4ABCS AC BC ACB∆ = ⋅ ∠ = × × × = ABC E OE OE ⊥ ABC E CD SD ,O E ,SC CD / /SD OE SD ⊥ ABC S ABC− 1 3 23S ABCV SD− = × × = 2 3SD = 4sin sin30 AC ACCD ABC = = =∠  2 2 2 7SC CD SD= + = R 2 2 7R SC= = 7R = - 9 - 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体 的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力， 属于中档试题. 12. 已知函数 与 的图象上存在两对关于直线 对 称的点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意 与 的图象在 存在两对关于 对称的点，即可知 的反函 数与 在 有两交点，构造新函数 ，通过导数研究函数的单调性 进而根据函数值的对称性确定参数范围即可 【详解】∵ 与 的图象在 存在两对关于 对称的点 2 1( ) ,f x x ax x ee   = − ∈     ( ) xg x e= y x= a 1 ,e ee  −   11, e e  −   11,e e  −     11,e e  +   ( )f x ( )g x 1 ,x ee  ∈   y x= ( )g x ( )f x 1 ,x ee  ∈   ln( ) xh x x x = − ( )f x ( )g x 1 ,x ee  ∈   y x= - 10 - 由 ，得 ，且 与 关于 对称 ∴ 在 上有两解，即 在 上有两解 令 ，则 ∵ 上单调递增，且 ∴当 时 ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 ∴ ， ∴要使 在 上有两解，即有 的取值范围是 故选：C 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数范围，首先将问题转化为函数的反函 数与一个函数有两个交点，再构造函数通过导数研究新函数的单调性进而求参数范围 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线 上. 13. 函数 f（x）＝ ，则 f（f（ ））＝_____． 在 ( ) xg x e= lnx y= xe ln x y x= 2ln x x ax= − 1 ,x ee  ∈   ln xa x x = − 1 ,x ee  ∈   ln( ) xh x x x = − ( ) 2 2 ln 1x xh x x + −′ = ( ) 2 ln 1k x x x= + − 1 ,x ee  ∈   ( )1 0k = 1 ,1x e      ∈ ( ) 0h x′ < ( )h x [ ]1.x e∈ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( )min 1 1h x h= = max 1 1 1 1( ) max , ( ) max ,h x h h e e e ee e e e     = = + − = +         ln xa x x = − 1 ,x ee  ∈   a 1(1, ]e e − 2 2 , 0 1 , 0 x x x nx x  +  >  1 e - 11 - 【答案】﹣1 【解析】 【分析】 先计算出 ，再计算 得值，由此得出结果. 【详解】依题意得 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 已知向量 若 与 平行，则 m＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 【详解】由题意可知若 和 平行， 则 ，解得： 故答案为：4 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型. 15. （3x﹣ ）4 的展开式中的常数项为_____． 【答案】216 【解析】 【分析】 利用二项式的通项公式 即可得出. 【详解】 令 ，解得 常数项为 故答案为：216 【点睛】本题考查了二项式的通项展开式、常数项的求法，考查了数学运算能力，属于基础 1 1ef   = −   ( )1f − 1 ( 1) 1ef f f    = − = −     1− a (3, ),b (6,8)= = m a b a b 3 8 6m× = 4m = 2 x 4 4 4 2 1 4 4 2(3 ) ( ) 3 ( 2)− − − + = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅r r r r r r r rT C x C xx 4 4 4 2 1 4 4 2(3 ) ( ) 3 ( 2)− − − + = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅r r r r r r r rT C x C xx 4 2 0r− = 2r = 2 4 2 2 3 4 3 ( 2) =216−= ⋅ ⋅ −T C - 12 - 题目. 16. 在直四棱柱 中，侧棱长为 6，底面是边长为 8 的菱形，且 ，点 在边 上，且满足 ，动点 在该四棱柱的表面上运动， 并且总保持 ，则动点 的轨迹围成的图形的面积为______；当 与平面 所成角最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为_______． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 首先 可证 ，在 上 取 ，使 得 ，连 接 ， 则 ，可 得 ．记 与 的交点为 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，在 上取一点 ，由 ，求出 点的位置，从而得到动点 轨迹， 即可求出动点 的轨迹围成的图形的面积，显然当 与 重合时， 与平面 所成 角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值； 【详解】解：如图，在直四棱柱 中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面， 所以 平面 ，所以 ． 在 上取 ，使得 ，连接 ，则 ，所以 ． 记 与 的交点为 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ． 在 上取一点 ，记为 ，于是 ， ． 由 ，得 ，即 ， 所以 的边为点 的运动轨迹． 由题意得 ， ， 动点 的轨迹围成的图形的面积为 ． 1 1 1 1ABCD A B C D− 120ABC∠ =  E BC 3BE EC= M 1ME BD⊥ M MC ABCD 1MC AC 15 3 2 51 17 1BD AC⊥ AB F 3BF FA= EF //EF AC 1 ⊥BD EF AC BD O O O xyz− 1BB G 1 0BD EG⋅ =  G M M M G MC ABCD 1 1 1 1ABCD A B C D− AC ⊥ 1 1BDD B 1BD AC⊥ AB F 3BF FA= EF //EF AC 1 ⊥BD EF AC BD O O O xyz− ( )4,0,0B ( )1 4,0,6D − ( )1,3 3,0E 1BB G ( )4,0,G t ( )1 8,0,6BD = − ( )3, 3 3,EG t= − 1 24 6 0BD EG t⋅ = − + =  4t = 12BG GB= EFG M 2 2 2 13FG BF BG= + = 3 3 8 3 6 34 4EF AC= = × = M ( ) ( )2 21 6 3 2 13 3 3 15 32 × × − = - 13 - 显然当 与 重合时， 与平面 所成角最大． 因为 ， ，所以 ， ， 因为直线 的一个方向向量为 ，所以 ， 即异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 故答案为： ； . 【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系，利用空间向量法解决立体几何问题，考查 直观想象与数学运算的核心素养，属于难题． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考 生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． M G MC ABCD ( )4,0,4M ( )1 0,4 3,6C ( )1 4,4 3,2MC = − ( ) ( )22 2 1 4 4 3 2 2 17MC = − + + = AC ( )0,1,0n = 1 1 1 4 3 2 51cos , 172 17 MC nMC n MC n = = =      1MC AC 2 51 17 15 3 2 51 17 { }na n nS 2 1n nS = + { }na ( )2 1n nb n a= − { }nb n nT - 14 - 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）令 可求得 的值，令 可得出 ，然后对 的值是否满足 在 时的表达式进行验证，由此可得出数列 的通项公式； （2）求得数列 通项公式，然后利用错位相减法可求得 . 【详解】（1）当 时， ； 当 时， . 不适合 . 综上所述， ； （2）由（1）可得 . 当 时， ； 当 时， ， 得 ， 上式 下式得 ， ， 满足 ， 因此， . 【点睛】本题考查利用 求 ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题. 18. 在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人 3 个竹环，向 A，B 两个目标投掷，先 的 1 3, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ ( )2 3 2 5n nT n= − ⋅ + 1n = 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − 1a na 2n ≥ { }na { }nb nT 1n = 1 1 1 2 1 3a S= = + = 2n ≥ ( ) ( )1 1 1 2 1 2 1 2n n n n n na S S − − −= − = + − + = 1 3a = 12n na -= 1 3, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ ( ) ( ) 1 3, 12 1 2 1 2 , 2n n n nb n a n n− == − =  − ⋅ ≥ 1n = 1 3=T 2n ≥ ( )1 2 3 13 3 2 5 2 7 2 2 1 2n nT n −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ( ) ( )1 2 3 12 3 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅ − ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 8 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 21 2 n n n n nT n n − − − − = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − − ⋅ = + − − ⋅− ( )5 3 2 2nn= − + − ⋅ ( )2 3 2 5n nT n∴ = − ⋅ + 1 3=T ( )2 3 2 5n nT n= − ⋅ + ( )2 3 2 5n nT n= − ⋅ + nS na - 15 - 向目标 A 掷一次，套中得 1 分，没有套中不得分，再向目标 B 连续掷两次，每套中一次得 2 分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标 A 的概率为 ， 套中目标 B 的概率为 ，假设小华每次投掷的结果相互独立． （1）求小华恰好套中一次的概率； （2）求小华总分 X 的分布列及数学期望． 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， . 【解析】 【分析】 （1）分为套中目标 A 和套中目标 B 两种情形，结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即 可得结果； （2） 的可能取值为 0，1，2，3，4，5 求出相对应的概率，再计算期望即可. 【详解】（1）设“小华恰好套中一次”为事件 A， 则 . （2） 的可能取值为 0，1，2，3，4，5， ； ； ； ； ； ； ∴ 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 . 【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期 望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 4 5 3 4 1 8 ( ) 19 5E X = X ( ) 4 1 1 1 3 1 125 4 4 5 4 4 8P A = × × + × × × = X ( ) 1 1 1 10 5 4 4 80P X = = × × = ( ) 4 1 1 11 5 4 4 20P X = = × × = ( ) 1 3 1 32 2 5 4 4 40P X = = × × × = ( ) 4 3 1 33 2 5 4 4 10P X = = × × × = ( ) 1 3 3 94 5 4 4 80P X = = × × = ( ) 4 3 3 95 5 4 4 20P X = = × × = X X P 1 80 1 20 3 40 3 10 9 80 9 20 ( ) 1 1 3 3 9 9 190 1 2 3 4 580 20 40 10 80 20 5E X = × + × + × + × + × + × = - 16 - 19. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点，P 是 椭圆 C 上的一点，当 PF1⊥F1F2 时，|PF2|＝2|PF1|． （1）求椭圆 C 的标准方程： （2）过点 Q（﹣4，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为点 M′， 证明：直线 NM′过定点． 【答案】（1） ；（2）直线 过定点 . 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的定义和已知条件得 ，又由 可得出点 P 的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出 ，从而得出椭圆的标准方程； （2）设出直线 l 的方程，点 M、N 的坐标，直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得点 M、N 的 坐标的关系，再表示出直线 的方程，将点 M、N 的坐标的关系代入可得直线 NM′所过的 定点. 【详解】（1）由 得 ， ， 由椭圆的定义得 ， ， ， ，所以点 P 的坐标为 ， 将点 P 的坐标代入椭圆的方程中有 ， 又 ， ， 解得 或 ， 当 ， ，故舍去； 当 ， ， 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 19 6 x y+ = NM ′ 9 ,04  −   1 1 1 22 2 , 3PF PF a PF a+ = = 1 1 2PF F F⊥ ,a b NM ′ 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 3c = 2 2 2 2( 3) 3a b b∴ = + = + 1 2 2PF PF a+ = 2 12PF PF= 1 1 1 22 2 , 3PF PF a PF a∴ + = = 1 1 2PF F F⊥ 23, 3 a − ±   2 2 2 2 2 ( 3) 3 1 a a b  ± −  + = 2 2 2 23, 3a b b a= + = − 2 2 2 2 2 ( 3) 3 13 a a a  ± −  ∴ + =− 2 9a = 2 9 5a = 2 9 5a = 2 2 63 05b a= − = − < 2 9a = 2 2 3 9 3 6b a= − = − = - 17 - 所以椭圆的标准方程为： . （2）由题意可知，直线 l 的斜率必然存在,故设直线 l 的方程为 ，设 ，则 ， 联立方程组 ，得 ， ， 解得 ， ， ， 又 ， ，设直线 的方程为 ， ， 2 2 19 6 x y+ = ( 4)y k x= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )1 1,M x y′ − 2 2 19 6 ( 4) x y y k x  + =  = + ( )2 2 2 23 2 24 48 18 0k x k x k+ + + − = ( ) ( )( )22 2 2 224 4 3 2 48 18 168 144 0k k k k∆ = − + − = − + > 2 6 7k < 2 1 2 2 24 3 2 kx x k + = − + 2 1 2 2 48 18 3 2 kx x k −⋅ = + ( )2 2,N x y ( )1 1,M x y′ − NM ′ ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 y y y yy y x x x xx x x x − − +− = − = −− − 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y y y y y y y x y x y x y xy x x y xx x x x x x x x x x + + + + −∴ = − + = − +− − − − − 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 y y y x y xxx x x x + += −− − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 4 4 4 4k x k x k x x k x xxx x x x + + + + ⋅ + + ⋅= −− − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 8 2 4k x x k kx x k x xxx x x x + + + += −− − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 24 48 18 248 2 43 2 3 2 3 2 k k kk k k kk k kxx x x x    −⋅ − + + ⋅ −   + + +   = −− − ( )( ) ( )( )2 2 2 1 2 1 16 36 3 2 3 2 k kx x x k x x k = + − + − + ( )( )2 2 1 16 9 43 2 k x x x k  = + − +   - 18 - 当 时， ，所以直线 过定点 . 【点睛】本题考查椭圆的定义和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位 置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属 于较难题. 20. 某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1， 其底面边长为 4，高为 1，工作台的上半部分是一个底面半径为 的圆柱体的四分之一． （1）当圆弧 E2F2（包括端点）上的点 P 与 B1 的最短距离为 5 时，证明：DB1⊥平面 D2EF． （2）若 D1D2＝3．当点 P 在圆弧 E2E2（包括端点）上移动时，求二面角 P﹣A1C1﹣B1 的正切 值的取值范围． 【答案】（1）见解析，（2） 【解析】 【分析】 （1）以 为原点，以 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角 坐标系 ，可得 ，从而可证 DB1⊥平面 D2EF； （2）设 ，则 ，所以 ，求出平面 的法 向量 ，而平面 的一个法向量 ，设二面角 的 9 4x = − 0y = NM ′ 9 ,04  −   2 2 3 2 6 2 3[ , ]2 7 +− − D 2, ,DA DC DD   x y z D xyz− 1 1 20, 0DB EF DB ED⋅ = ⋅ =    ( , ,4)P a b 2 2 2, 0, 0a b a b+ = ≥ ≥ [ 2,2]a b+ ∈ 1 1PAC 4(1,1, )3 a bn − −= 1 1 1A B C (0,0,1)m = 1 1 1P AC B− − - 19 - 大小为 ，则先求出 ，从而可得 ，再由 可得 的范 围. 【详解】（1）证明：作 平面 于 ，则 在圆弧 上， 因为 ，所以当 取最小值时， 最小， 由圆的对称性可知， 的最小值为 ， 所以 , 如图，以 为原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 则 ， , 因为 ， 所以 , 因为 平面 ， 平面 ， , 所以 DB1⊥平面 D2EF， 的 θ cosθ 3 2tan 4a b θ = + − [ 2,2]a b+ ∈ tanθ PH ⊥ 1111 DCBA H H EF 2 2 1 1PB PH HB= + 1HB 1PB 1HB 4 2 2 3 2− = 2 2 1 1 4 2PH PB HB= − = D 2, ,DA DC DD   x y z D xyz− 2 1(0,0,0), (0,0,1 4 2), ( 2,0,1), (0, 2,1), (4,4,1)D D E F B+ 1 2(4,4,1), ( 2, 2,0), ( 2,0,4 2)DB EF ED= = − = −   1 1 24 2 4 2 0 0, 4 2 0 4 2 0DB EF DB ED⋅ = − + + = ⋅ = − + + =    1 1 2,DB EF DB ED⊥ ⊥ EF ⊂ 2D EF 2ED ⊂ 2D EF 2ED EF E= - 20 - （2）解：若 D1D2＝3，由（1）知 , 设 ，因为 ， 设 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ， 取平面 的一个法向量 ， 设二面角 的大小为 ， 显然是钝角， 则 ， ( ) ( ) ( )1 1 14,0,1 , 0,4,1 , 4,4,1A C B ( , ,4)P a b 2 2 2, 0, 0a b a b+ = ≥ ≥ 2 cos , 2 sin , [0, ]2a b πθ θ θ= = ∈ 2sin( ) [ 2,2]4a b πθ+ = + ∈ 1 1 1( 4,4,0), ( 4, ,3)AC A P a b= − = − 1 1PAC 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 0 ( 4) 3 0 n AC x y n A P a x by z  ⋅ = − + = ⋅ = − + + =   1 1x = 4(1,1, )3 a bn − −= 1 1 1A B C (0,0,1)m = 1 1 1P AC B− − θ θ 2 4 3cos cos , 42 ( )3 a b m n m n a bm n θ + − ⋅ = − = − = + −+       - 21 - ， 则 ， 所以二面角 的正切值的取值范围为 ， 【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计 算能力，属于较难题. 21. 设函数 f（x）＝xlnx，g（x）＝aex（a∈R）． （1）若曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线也与曲线 y＝g（x）相切，求 a 的值． （2）若函数 G（x）＝f（x）﹣g（x）存在两个极值点． ①求 a 的取值范围； ②当 ae2≥2 时，证明：G（x）＜0． 【答案】（1） ；（2）① ；②证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先求切线方程，设切点 ，利用导数的几何意义列式求解； （2）①由条件转化为 与 有两个交点，利用函数的导数求解； ②首先由已知条件 ，转化为 ，再通过构造函数 ，利用导数证明 恒成立. 【详解】（1） ， ， ， 则切线方程为 设切线与 相切于点 ， 则 ，解得： ， ， ； 2 20 , sin 0,sin 1 co 2 42 ( ) s 3 a b θ π θ θ θ≤ ≤ ∴ > + −+ = − = 3 2 3 2 6 2 3tan [ , ]4 2 7a b θ += ∈ − −+ − 1 1 1P AC B− − 3 2 6 2 3[ , ]2 7 +− − 2 1a e = 10 a e < < ( )0 0,P x y y a= ln 1 x xy e += 2 2a e ≥ ( ) 2 2ln lnx xG x x x ae x x ee = − ≤ − ( ) 2 2ln xx x eeF x x − = ( ) 0F x < ( ) ln 1f x x′ = + ( )1 1f ′ = ( )1 0f = 1y x= − ( )y g x= ( )0 0,P x y 0 0 0 0 0 1 1 x x ae y ae y x  =  =  = − 0 2x = 0 1y = 2 1a e = - 22 - （2）① ， ， ， 当 时， ， 若函数 有两个极值点，即 与 有两个交点， 设 ， ，设 ， ，即函数 在 上单调递减，且 ， 在区间 ，在区间 ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 并且 ，当 时， ，当 时， ， 若 与 有两个交点时， ； ② ，当 ， ， 令 ， ， 显然 时， , 在 上单调递增， 当 时， ， 当 时， ， 令 ， ， ， 在 上单调递增，又 , ( ) ln xG x x x ae= − 0x > ( ) ln 1 xG x x ae′ = + − ( ) 0G x′ = ln 1 ex xa += ( )G x y a= ln 1 x xy e += ( ) ( )ln 1 0x xh x xe += > ( ) 1 ln 1 x xxh x e − − ′ = ( ) 1 ln 1t x xx = − − ( ) 2 1 1 0t x x x ′ = − − < ( )t x ( )0, ∞+ ( )1 0t = ∴ ( )0,1 ( ) 0h x′ > ( )1,+∞ ( ) 0h x′ < ( )h x∴ ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) 11h e = x → +∞ ( ) 0h x → 0x → ( )h x → −∞ y a= ( )y h x= 10 a e < < ( ) ( ) ( ) ln xG x f x g x x x ae= − = − 2 2 22ae a e ≥ ⇔ ≥ ( ) 2 2ln lnx xG x x x ae x x ee = − ≤ − ( ) 2 2 2ln 2ln x xx x e eeF x xx x e − = = − ⋅ ( ) ( ) 2 2 2 2 11 2 1 2xx x e xx e eF x x x e x x e −⋅ −′ = − ⋅ = − ⋅ 0 1x< < ( ) 0F x′ > ( )F x∴ ( )0,1 ( )0,1x∈ ( ) ( ) 21 0F x F e < = − < 1x > ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 2 2 1 x xe x x e xF x x x e x e x − − −  ′ = − ⋅ = − −  ( ) 2 2 1 xe xH x e x = − − 1x > ( ) ( )22 2 1 0 1 xeH x e x ′ = + > − ( )H x∴ ( )1,+∞ ( )2 0H = - 23 - 时， ，当 时， , 当 时， ，当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， ， 综上所述， ， 所以 . 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式， 重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构 造函数 ，函数的变形求解. （二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按 所做的第一个题目计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系 xOy 中，P（0，1），曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）．以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）曲线 C1 与 C2 交于 M，N 两点，求||PM|﹣|PN||． 【答案】（1） ， ，（2） 【解析】 【分析】 （1）把曲线 C1 的参数方程消去参数 t 可得普通方程，曲线 C2 的极坐标方程为 两 边同乘以 ，把互化公式代入可得直角坐标方程； （2）把曲线 C 化成标准参数方程，代入曲线 C2 的直角坐标方程，得到关于 t 的二次方程，然 ( )1,2x∈ ( ) 0H x < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0H x > ∴ ( )1,2x∈ ( ) 0F x′ > ( )2,x∈ +∞ ( ) 0F x′ < ( )F x∴ ( )1,2 ( )2,+∞ 1x > ( ) ( )2 ln 2 1 0F x F≤ = − < ( ) ( ) 0G x F x≤ < ( ) 0G x < ( ) 2 2 2ln 2ln x xx x e eeF x xx x e − = = − ⋅ 31 2 3 2 x t y t  = −  = 4cosρ θ= 1 0x y+ − = 2 2 4 0x y x+ − = 14 4cosρ θ= ρ - 24 - 后利用 t 的几何意义求解||PM|﹣|PN|| 【详解】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）， 消去参数 t 得普通方程为 ， 曲线 C2 的极坐标方程为 ，两边同乘以 ， 得 ，所以其直角坐标方程为 （2）曲线 C1 过点 P（0，1），则其参数方程为 ， 将其代入方程 得， ， 化简得 ， 设上式方程的根为 ，所以 ， 所以 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数 几何意 义，考查了计算能力，属于中档题. 选修 4-5：不等式选讲 23. 已知 a＞0，b＞0，a+b＝3． （1）求 的最小值； （2）证明： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 的 31 2 3 2 x t y t  = −  = 1 0x y+ − = 4cosρ θ= ρ 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − = 2 2 21 2 x t y t  = −  = + 2 2 4 0x y x+ − = 2 22 2 2( ) (1 ) 4 ( ) 02 2 2t t t− + + − × − = ( )22 3 2 1 0 3 2 4 14 0t t+ + = ∆ = − = >， 1 2,t t 1 2 1 23 2, 1t t t t+ = − = 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 ( 3 2) 4 1 14PM PN t t t t t t− = − = + − = − − × = 1 1+2+a b 9 2 +a b b a ab 4 5 - 25 - （1 ）由所给等式得 ，再利用基本不等式即可求得最小值；（2 ）利用 即可逐步证明. 【详解】（1） ， ，且 ， ，当且仅当 即 时等号成立， 的最小值为 . （2）因为 a＞0，b＞0，所以要证 ，需证 ， 因为 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题. ( )2 15 a b+ + = ( )2 2 2 2 a ba b ++ ≥ 3a b+ = ( )2 15 a b+ +∴ = 2 0 0a b+ > >， ∴ ( )1 1 1 1 1 1 2+ + 2 22 5 2 5 2 b aa ba b a b a b +   = + + = + +   + + +    1 2 42 25 2 5 b a a b  +≥ + ⋅ =  +  2=2 b a a b + + 1 5 2 2a b= =， ∴ 1 1+2+a b 4 5 9 2 +a b b a ab 2 2 9 2a b+ ≥ ( )2 2 2 2 3 9 2 2 2 a ba b ++ ≥ = = 9 2 +a b b a ab 3 2a b= =