江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

www.ks5u.com 南康中学2019～2020学年度第一学期高一第三次大考 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.已知集合A={x|x2-1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{-1}∈A；③∅⊆A；④{1，-1}⊆A．正确的个数是（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解得集合A的元素．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．‎ ‎【详解】因为A＝{x|x2﹣1＝0}，‎ ‎∴A＝{﹣1，1}‎ 对于①1∈A显然正确；‎ 对于②{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；‎ 对③∅⊆A，根据集合与集合之间的关系易知正确；‎ 对④{1，﹣1}⊆A．同上可知正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识，属于基础题．‎ ‎2.已知角终边上一点，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ ‎【详解】∵角终边上一点，‎ ‎∴，，，则，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎3.函数的定义域是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的定义域可得，求得，由此求得的范围，即为函数的定义域.‎ ‎【详解】由⩾0得,∴，k∈Z.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义域以及简单的三角不等式，属于简单题.‎ ‎4.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，．故C正确．‎ 考点：复合函数求值．‎ ‎5.给定映射，在映射下的原象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为给定映射f：(x，y)→(x+2y，2x-y)，那么x+2y=4,2x-y=3,解得x=2,y=1.故选A ‎6.已知是锐角，那么是（ ）‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第三象限角 D. 小于的正角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为是锐角，所以，所以,‎ 故选D.‎ ‎7.函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论．‎ ‎【详解】易知函数f（x）＝x3+2x﹣5是连续函数，‎ 由于f（-1）＝﹣8＜0，f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝8+4﹣5＝7＞0，‎ 根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝x3+2x﹣5的零点所在的区间为（1，2），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎8.已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数图象过点可以求出函数解析式，然后求出即可。‎ ‎【详解】设幂函数的表达式为，则，解得，‎ 所以，则.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题。‎ ‎9.若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先得到，，判断其单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为函数且在上是奇函数，所以 所以，，‎ 又因为函数在上是增函数，所以，‎ 所以，它的图象可以看作是由函数向左平移一个单位得到，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换，熟记函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调递增的，，，‎ 是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 因为是锐角的三个内角， 所以，得，‎ 两边同取余弦函数，可得，‎ 因为在上单调递增，且是偶函数，所以在上减函数，‎ 由，可得，故选C.‎ 点睛：本题考查了比较大小问题，解答中熟练推导抽象函数的图象与性质，合理利用函数的单调性进行比较大小是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，本题的解答中，根据锐角三角形，得出与的大小关系是解答的一个难点. ‎ ‎11.定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为定义在上的奇函数，当时，，所以图象关于原点对称，分段画出时的函数图象，再关于原点对称即可得的图象，如图.的所有零点之和既是与交点横坐标的和，由图知，与共有五个交点，左边两根之和为，右边两根之和为，中间一根满足，可得，所以的所有零点之和为，故选A.‎ 考点：1、分段函数的解析式及图象；2、函数的奇偶性、方程的根与零点的关系及数形结合思想的应用.‎ ‎【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，有时可结合函数的图象辅助解题.本题的解答就利用了方法（3）.‎ ‎12.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 因为函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，‎ ‎ 所以恒成立，且，‎ 即，解得，‎ 所以，所以，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，其中解答中涉及到函数的恒成立问题的计算，函数解析式的应用等知识点的综合考查，解答中熟记实数指数幂和对数的运算时是解答的关键，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.‎ 二.填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等腰三角形的性质求出半径，然后再求得弧长．‎ ‎【详解】∵扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，∴，，‎ ‎∴弧长为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查弧度制定义，考查弧长公式，属于基础题．‎ ‎14.若函数满足，且当时，则______．‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出，当时，从而当时，，，由此能求出的值．‎ ‎【详解】∵函数满足，‎ ‎∴，‎ ‎∵当时，．‎ ‎∴当时，，，‎ ‎∴．‎ 故答案为1009．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15.已知偶函数是区间上单调递增，则满足的取值集合是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为为偶函数，所以等价于，‎ 又是区间上单调递增，所以.‎ 解得.‎ 答案为：.‎ 点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.‎ ‎16.若函数满足对任意的，都有 成立，则称函数在区间上是“被约束的”.若函数在区间上是“被2约束的”，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义把问题转化为不等式恒成立问题．‎ ‎【详解】∵函数在区间上是“被2约束的”，‎ ‎∴对任意的，不等式恒成立，‎ 即不等式恒成立，‎ 由，得．‎ ‎∴，，‎ 则，‎ 函数的对称轴是，由，，而，‎ ‎∴的取值范围是．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查新定义问题，解题关键是明确新定义的含义．本题中利用新定义把问题转化为对任意的，不等式恒成立，然后由二次函数的知识求解．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分）‎ ‎17.已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点.‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由单位圆及所在象限求出；‎ ‎（2）根据定义求出的三角函数，化简求值式后代入即得．‎ ‎【详解】（1）由已知，又在第二象限，∴．‎ ‎（2）由（1），，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，考查应用诱导公式化简求值．公式的正确应用是解题关键．‎ ‎18.已知集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定集合中的元素，然后由并集定义求解；‎ ‎（2）根据子集的定义得出的不等关系，注意可能为空集，即要分类讨论．‎ ‎【详解】解：当时，，‎ 由中不等式变形得，解得，即.‎ ‎（1）.‎ ‎（2）若,则，，‎ 若，‎ 综上所述，实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算，考查集合的包含关系．在解题中要注意空集是任何集合的子集．‎ ‎19.已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；‎ ‎（2）若，且关于x的函数的最小值为，求的值 ‎【答案】(1) ，增区间 (2)-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数式，然后结合正弦函数性质可得周期与增区间；‎ ‎（2）设可得，由二次函数的知识可得．‎ ‎【详解】解：（1）‎ 则函数的周期 函数的增区间 ‎（2）‎ 令可得 换元可得，对称轴为 ‎【点睛】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．‎ ‎20.已知定义域为的函数是奇函数 ‎（1）求的值 ‎（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性 ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合确定实数a的值即可；‎ ‎(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；‎ ‎(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】（1）由题设，需。经验证，为奇函数，‎ ‎（2）减函数.‎ 证明：任取，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以在上是减函数.‎ ‎（3）由得，‎ 是奇函数，，‎ 由（2）知在是减函数，‎ 故原问题可化为即：对任意恒成立，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.‎ ‎21.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.‎ ‎（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；‎ ‎2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可.‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，；‎ 当时，，‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）若，，‎ 当时，万元 ‎ 若，，‎ 当且仅当时，即时，万元 .‎ ‎2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎【点睛】解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式.‎ ‎22.已知函数是偶函数，且，.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）设R，求函数的最小值；‎ ‎（3）对（2）中的，若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是偶函数，可得，即可求出，进而可求出与的表达式，再由时，函数和都是单调递增函数，可知函数在上单调递增，从而可求出的值域；‎ ‎（2），令，由（1）知，则，然后利用二次函数的单调性可求得的最小值；‎ ‎（3）当时，，则，整理得，由于，则对于任意的恒成立，只需令大于在上的最大值，求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，解得.‎ 故，.‎ 当时，函数和都是单调递增函数，‎ 故函数在上单调递增，‎ ‎，，‎ 所以当时，函数值域是.‎ ‎（2）,‎ 令，由（1）知，则，‎ 因为二次函数开口向上，对称轴为，‎ 故时，在上单调递增，最小值为；‎ 时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为；‎ 时，在上单调递减，最小值8.‎ 故函数的最小值.‎ ‎（3）当时，，‎ 则即，整理得，‎ 因为，所以对于任意的恒成立，‎ 令，‎ 只需令大于在上的最大值即可.‎ 在上任取，且，则，，‎ 则，‎ 当时，，则，即，故在上单调递增；‎ 当时，，则，即，故在上单调递减；‎ 所以函数在上的最大值为，‎ 故 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，考查了函数的最小值的求法，考查了不等式恒成立问题，属于难题.‎ ‎ ‎