广东省佛山市三水区实验中学2018-2019学年高一下学期第三学段考试数学试题

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广东省佛山市三水区实验中学2018-2019学年高一下学期第三学段考试数学试题

www.ks5u.com ‎2018~2019学年度三水实验中学高一第三学段考试 数学试题 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知中,,,,那么角等于 A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为<,,‎ 正弦定理可知,A=45°‎ 故选C.‎ ‎2.已知数列中,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式知数列为等差数列,且公差已知,首项已知,易求得.‎ ‎【详解】∵,∴,∴数列是公差为的等差数列,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列的某一项,可用基本量法求解.属于基础题.‎ ‎3.下图是2019年我校高一级合唱比赛中,七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图,去掉最高分和最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )‎ A. 84,4.84 B. 84,1.6 C. 85,4.84 D. 85,1.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图写出除最高分和最低分5个分数,然后计算平均数和方差.‎ ‎【详解】由茎叶图知除最高分和最低分的分数有:84,84,86,84,87,‎ 平均数为,‎ 方差为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图,考查平均数和方差,属于基础题.‎ ‎4.若,则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式性质证明不等式是正确的,举反例说明不等式是错误的.‎ ‎【详解】若,则、均错,若,则错,‎ ‎∵,∴,C正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质,解题时一定要注意不等式的性质:“不等式两边同乘以或除以一个正数,不等号方向不变,同乘以或除以一个负数,不等号方向改变”,这里一定要注意所乘(或除)的数一定要分正负,否则易出错.‎ ‎5.已知平面向量,,且//,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标运算求得参数的值,计算出两向量的和后再由模的坐标表示求得模 ‎【详解】∵//,∴,,∴,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算,考查向量模的坐标运算,解题基础是掌握向量运算的坐标表示.‎ ‎6.下表是高一级甲,乙,丙三位同学在先后五次数学考试中的成绩折线图,那么下列说法正确的是( )‎ A. 甲平均分比丙要高;‎ B. 按趋势,第6次的考试成绩最高分必定是丙;‎ C. 每个人五次成绩的标准差最大的是乙;‎ D. 从第1次考试到第5次考试,进步幅度最大的是丙.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由折线图,观察各数据,均值、方差均要计算才能确定,前5次的成绩并不能代表第6次的成绩如何,但是第5次成绩与第1次成绩的差可以判断.由此可得结论.‎ ‎【详解】由于没有具体数据,因此平均分,方差无法比较,A、C不能确定,前5次成绩的变化趋势并不能代表第6次的趋势,B也不能确定,但从图中可知第5次成绩与第一次成绩的差中丙的差最大,即丙进步幅度最大,D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查折线图,考查样本数据特征,属于基础题.‎ ‎7.已知向量, ,若,则实数k=( )‎ A. 3 B. 2 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两向量的数量积为0可得.‎ ‎【详解】∵,∴,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的条件,即,.‎ ‎8.将一根长为铁管折成一个的角,然后将、两端用木条封上,从而构成三角形在不同的折法中,面积的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用用基本不等式可求得最大值.‎ ‎【详解】设,,则,‎ ‎,当且仅当,即时取等号.∴最大值为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式,考查基本不等式求最值.基本不等式求最值时,要注意取等号的条件,否则易出错.‎ ‎9.在中,,,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断角的范围,再用两角和的余弦公式及诱导公式计算.‎ ‎【详解】∵,∴为钝角,从而为锐角,‎ ‎∴,,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的同角关系,考查诱导公式及两角和的余弦公式.三角函数问题中公式较多,要善于分析,选用适当的公式.最主要是分析“已知角”和“未知角”之间的联系,从而确定选用的公式.‎ ‎10.已知是等差数列,是它的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质计算.‎ ‎【详解】∵是等差数列,∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质,即在等差数列中,若(是正整数),则,特别地,则,由此可得前的性质:.‎ ‎11.已知,, ,则向量的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知数量积求出,再根据数量积的定义求得其夹角的余弦,从而得角的大小.‎ ‎【详解】由已知,‎ ‎∴,即,,∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查求向量的夹角,解题关键是掌握向量数量积的定义和运算法则.‎ ‎12.设,则函数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 把函数式凑配出基本不等式要求的形式,然后用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】∵,∴,当且仅当,即时等号成立.‎ ‎∴的最小值是9.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值,解题时要注意基本不等式的条件:一正二定三相等.这里定值可能要通过凑配法得到,“相等”的条件一定要注意,否则这个最值取不到.‎ 二、填空题:(每小题5分,共20分)‎ ‎13.不等式的解集是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把二次项系数化为正数,然后因式分解得出相应二次方程的两根,写出不等式的解集.‎ ‎【详解】由得,即,∴.‎ 即不等式的解集为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式,属于基础题.解不含参数的一元二次不等式,一般先化二次项系数为正,然后结合二次方程的根和二次函数的图象直接写出不等式的解集.‎ ‎14.在△中,,则角等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求得,即可得.‎ ‎【详解】∵,∴,∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理,掌握余弦定理的多种形式是解题基础.‎ ‎15.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若,是方程的两个根,则__________.‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为是方程的两个根,且等比数列是递增数列,所以,即,则;故填63.‎ 考点:1.一元二次方程的根与系数的关系;2.等比数列.‎ ‎16.如图,在矩形中,,,点为的中点,点在边上,若 ‎,则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为轴建立直角坐标系,把向量运算用坐标表示.‎ ‎【详解】‎ 建立如图所求的直角坐标系,则,,设,则,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积运算.平面向量的运算,一般可选取两个向量为基底,其他向量都用基底表示,然后运算即可.建立直角坐标系,可使基底的表示更加方便,运算也更加简单.‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.在中,内角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,求,的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据正弦定理,将中的边全部变成角即可求出角的大小;‎ ‎(2)根据正弦定理,将变成边的关系代入余弦定理,求出值,进而可求出的值.‎ ‎【详解】解:(1)∵,由正弦定理可得,‎ 因为,得,‎ 又 ‎∴.‎ ‎(2)∵,由正弦定理得,‎ 由余弦定理,得,‎ 解得,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理进行角化边,边化角,以及余弦定理,是基础题.‎ ‎18.现有年龄在25到55岁的一群人身体上的某项数据,其频率分布直方图如下.(注:每组包括左端点,不包括右端点)‎ ‎(1)请补全频率分布直方图;‎ ‎(2)估计年龄的平均数;(精确到小数点后一位数字)‎ ‎(3)若50到55岁的人数是50,现在想要从25到35岁的人群中用分层抽样的方法抽取30人,那么25到30岁这一组人中应该抽取多少人?‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)36.8;(3)9人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由所有组的频率之和为1可得第二组频率,根据组宽算出组高即可画出;‎ ‎(2)取各个矩形中间的值为这组的均值计算;‎ ‎(3)由50到55岁的人数是50,计算出总人数有1000人,再算出25到35岁之间有多少人,根据比例计算即可.‎ ‎【详解】解:(1)第二组的频率为:‎ 所以直方图的高为,补全的频率分布直方图如图 ‎(2)第一组的频率为,第二组的频率为,第三组的频率为,第四组的频率为,第五组的频率为,第六组的频率为,而各组的中点值分别为、、、、、,故可估计年龄的平均数为:‎ ‎ ‎ ‎(3)50到55岁这一组的频率为,人数是50,故得总人数是 从而得25到30岁这一组的人数是, ‎ ‎30到35岁这一组的人数是 ‎ 那么25到30岁这一组人中应该抽取(人)‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图,考查分层抽样,掌握相应的概念是解题基础.‎ ‎19.‎ 已知的角、、所对的边分别是、、,设向量,‎ ‎,.‎ ‎(1)若,求证:为等腰三角形;‎ ‎(2)若,边长,角,求的面积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】⑴因为,所以,即,其中是的外接圆半径, 所以,所以为等腰三角形.‎ ‎⑵因为,所以.‎ 由余弦定理可知,,即 解方程得:(舍去)‎ 所以.‎ ‎20.已知等差数列的公差为,是它的前项和,,,成等比数列,‎ ‎(1)求和;‎ ‎(2)设数列的前项和为,求。‎ ‎【答案】(1); (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)结合题意求得数列的首项为,则其通项公式为,利用等比数列前n项和公式可得:;‎ ‎(2)结合(1)中求得的数列的前n项和可得,裂项求和可得:.‎ 试题解析:‎ ‎(1)因为,,‎ 而,,成等比数列,所以,‎ 即,解得 所以,‎ ‎(2)由(1)知 所以 ‎ ‎ 点睛:使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.‎ ‎21.已知数列的前项和为,.‎ ‎(1)求的通项公式 ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先计算出,然后由求出,再看是否与相符,相符就是一个表达式,不相符就用分段函数形式表示;‎ ‎(2)用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)由得:,因为,解得 ‎ 由知,‎ 两式相减得 因为,所以,即 因此是首项为,公比为的等比数列 所以 ‎ ‎(2)由(1)知,所以数列前项和为:‎ ‎ …① ‎ 则 …② ‎ ‎②-①得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查已知前项和和关系求数列的通项公式,考查用错位相减法求数列的和.在已知和的关系求数列的通项公式时,要注意与后面的(‎ ‎)的求法是不相同的,即中,而.‎ ‎22.解不等式 ‎【答案】①当时,原不等式解集为 ‎②当时,原不等式解集为 ‎③当时,原不等式解集为 ‎④当时,原不等式解集为 ‎⑤当时,原不等式解集为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需要分类讨论,先讨论,和,时,相应二次方程的两根大小易判断,可直接得出不等式的解集,时,相应二次方程的两根的大小不确定,需按两根大小分类.‎ ‎【详解】当时,不等式等价于,解得,解集为 当时,原不等式 ‎ ‎1)当时,原不等式 ‎①当,即时,易得原不等式解集为 ‎②当,即时,易得原不等式解集为 ‎③当,即时,易得原不等式解集为 ‎ ‎2)当时,原不等式,此时 易得原不等式解集为 ‎ 综上所述得:①当时,原不等式解集为 ‎②当时,原不等式解集为 ‎③当时,原不等式解集为 ‎④当时,原不等式解集为 ‎⑤当时,原不等式解集为 ‎【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式,解题时要注意分类讨论.分类讨论有三个层次:第一层次是最高次项系数是否为0,在最高次项系数不为零时,还应分正负,第二层次是相应的二次方程有无实根,在有实根的前提下,第三层次就是比较两根的大小.‎ ‎ ‎
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