2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

大庆铁人中学2018-2019学年高 二 学年 下 学期 期中 考试 数学试题（理）‎ 本试卷满分150分，答题时长120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）‎ ‎1.在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数判断，其中拟合效果最好的为 A.模型1的相关指数为0.3 B.模型2的相关指数为0.25‎ ‎ C.模型3的相关指数为0.7 D 模型4的相关指数为0.85‎ ‎2.若随机变量服从两点分布，且成功的概率，则和分别为 A. 0.5和0.25 B. 0.5和0.75 C. 1和0.25 D. 1和0.75‎ ‎3.函数的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎4.身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮，不同的排法有 A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种 ‎5．函数的图象在点处的切线的倾斜角为 A.0 B. C.1 D. ‎ ‎6.如果的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是 A.7 B.-7 C.21 D.-21‎ ‎7．已知（为自然对数的底数），则下列说法错误的是 A．函数的图象关于轴对称 B.函数的极小值为4‎ C．函数在上为增函数 D.函数的值域为 ‎8.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为 A. B . C. D. ‎ ‎9.某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ‎ A.8种 B.12种 C.16种 D．20种 ‎ ‎10．函数，为的导函数，令，，则下列关系正确的是 A. B． C． D．‎ ‎11．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为，若甲先投，则等于 A. B. C. D. 2‎ ‎12.定义在上的函数导函数为，且对恒成立，则 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13.设随机变量服从正态分布,若，则的值是__________．‎ ‎14.铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，每个年级至少一名毕业生，不同的分法有________种(结果用数字表示).‎ ‎15.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是____________．‎ ‎16．如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱体积的最大值为____________．‎ 三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.（10分）全国糖酒商品交易会将在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：‎ 举办次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数（万人）‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 原材料（袋）‎ ‎28‎ ‎23‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎18.（12分）铁人中学高二学年某学生对其亲属30人饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据完成下列2×2的列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下人数 ‎50岁以上人数 合计人数 ‎（Ⅲ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系？‎ 附：.‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（12分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20～80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)岁的人为“中年人”，[60,80]岁的人为“老年人”．‎ ‎(Ⅰ)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；‎ ‎(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎20．(12分）已知函数，当时，取得极小值.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎0.005‎ ‎0.020‎ ‎25 35 45 55 65 75 85‎ 频率/组距 年龄 ‎0.015‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.010‎ ‎21.（12分）2019年4月26日，铁人中学举行了盛大的成人礼.仪式在《相信我们会创造奇迹》的歌声中拉开序幕，庄严而神圣的仪式感动了无数家长，4月27日，铁人中学官方微信发布了整个仪式精彩过程，几十年众志成城，数十载砥砺奋进，铁人中学正在创造着一个又一个奇迹．官方微信发布后，短短几个小时点击量就突破了万人，收到了非常多的精彩留言.学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在 之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）求这100位留言者年龄的样本平均数和样本方 差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，留言者年龄服从正态分布，其中近似为样本均数，近似为样本方差．‎ ‎(ⅰ)利用该正态分布，求； ‎ ‎（ii）学校从年龄在和的留言者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“精彩留言”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则，.‎ ‎22.（12分）已知函数．‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性； ‎ ‎(Ⅱ)证明：(为自然对数的底)恒成立．‎ 大庆铁人中学2017级高二·上学期期中考试答案 数学试题（理）‎ 一．选择题（60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A A D B C C D C A B A 二．填空题（20分）‎ ‎13. 1 14. 36‎ ‎15. 16.‎ 三．解答题（70分）‎ ‎17.（10分）试题解析：（Ⅰ）由数据，求得， ， 2分 ‎ ， ， 4分 ‎ 由公式，求得，，‎ 关于的线性回归方程为. 6分 ‎（Ⅱ）由，得，‎ 而，‎ 所以，该店应至少再补充原材料20袋. 10分 ‎18.(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，‎ ‎50岁以下的人多以食肉主． 2分 ‎(2)2×2的列联表如下：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎ 7分 ‎(3) ）由（2）2×2列联表算得：K210＞6.635，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系.‎ ‎ 12分 ‎19．‎ ‎ (1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0．01＋0．01)×10＝0．2，故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0．2＝120， 2分 故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%＝12 000．‎ 所调查的600人的平均年龄为 ‎25×0．1＋35×0．2＋45×0．3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48(岁)． 4分 ‎(2)由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为，‎ 所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为， 6分 分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝，‎ P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝． 10分 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 12分 ‎20.（1）解：(Ⅰ) 1分 ‎ 因为x=1时，f(x)有极小值2， 2分 ‎ 所以 4分 ‎ 所以 ‎ 所以， 5分 经检验符合题意. 6分 ‎（Ⅱ）由（1）知 当时，由，由 7分 所以上单调递减，在（1,2）上单调递增， 8分 ‎ 9分 又由，‎ 得. 12分 ‎21.(Ⅰ)这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ‎ … 2分 ‎…4分 ‎(Ⅱ)（i）由（1）知，，‎ 从而； …7分 ‎（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…11分 所以Y的数学期望为 12分 ‎22.(Ⅰ)解：函数的定义域为， 1分 当时，恒成立，所以在内单调递增； 2分 当时，令，得，所以当时，单调递增； 3分 当时，单调递减， 4分 综上所述，当时，在内单调递增；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减 5分 ‎(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，‎ 特别地，取，有，即，‎ 所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，‎ 只要证明在上恒成立即可 7分 设，则， 8分 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增． 10分 故当时， ，即在上恒成立 因此，有，又因为两个等号不能同时成立，‎ 所以有恒成立 12分 或：令，则，‎ 再令，则，‎ 由知，存，‎ 使得，得，‎ 由可证，进而得证．‎