湖南省保靖县民族中学2011-2012学年高二数学上学期期中考试 文 新人教A版

湖南省保靖县民族中学2011-2012学年高二数学上学期期中考试 文 新人教A版

保靖民中 2011 年秋学期高二数学期中试卷（文科） 时量：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷（选择题，共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．若 a b 且 c R ，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A． a c b c   B． 2 2a b C． ac bc D． 2 2ac bc 2 ．已知数列1， 3 , 5 ，…， 2 1n  ，…，则 21 是这个数列的 （ ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13 项 3 ．在等差数列 na 中， 1 5 6a a  ，则 3a  （ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4 .关于 x 的不等式 xxx 352  的解集是 （ ） A. | 5 1x x x  或 B.  | 5x x -1 C.  | 5x x -1 D.  | 5 1x x x  或 5 ．若 ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，且 2 2( ) 4, 120a b c C     ，则 ab 的值为 （ ） A. 4 B. 2 3 C. 4 3 D.8 4 3 6 ．在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 cos cos a b B A  ，则 ABC 的形 状一定是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7 .数列 na 中， 1 1 2 2 2, 3, ( *, 3)n n n aa a a n N na        ，则 2011a 等于 （ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 2 D． 2 8 .设[ ]x 表示不超过实数 x 的最大整数，如[0.3] 0 ，[ 0.4] 1   ，则在坐标平面内满足方 程 2 2[ ] [ ] 25x y  的点 ( , )x y 所构成的图形的面积为 （ ） A．100 B．13 C． 25 D． 12 第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.把答案填在答题卡的相应位置. 9 .若 x 是 2 和8 的等比中项，则 x  。 10 .已知关于 x 的不等式 1 01 ax x   的解集是 11 2,( ) ，则 a  。 11．数列 na 的前 n项和为 nS ，若 1 ( 1)na n n   ，则 5S 等于 。 12 .已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 : : 1: 2:3A B C  ，则 : :a b c  。 13.如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西 030 ， 与O 相距10 海里的C 处，现甲船以 30海里/小时的速 度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向 20 海里的 B 处的乙船，甲船需要 小时到达 B 处。 14 . 已知变量 ,x y 满足约束条 件 0 1 2 x y x y       ，若该不等 式组表示的平面区域 被直线 0x y m   分成面积相等的两部分，则 m 的值为 。 15.设点 M 为 ABC 内部（不含边界）任意一点， MBC 、 MAC 和 MAB 的面积分别为 x 、 y 、 z ， 映 射 : ( , , )f M x y z 使 得 点 M 对 应 有 序 实 数 组 ( , , )x y z ， 记 作 ( ) ( , , )f M x y z 。若 30BAC   , 4 3AB AC   且 1( ) ( , , )2f M x y ，则 1 4 x y  的最小 值为 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 ．（本题满分 12 分） 已知数列 }{ na 的通项公式 *2 6( )na n n N   。 O C B 北 （Ⅰ）求 2a ， 5a ； （Ⅱ）若 2a ， 5a 分别是等比数列 nb 的第1项和第 2 项，求数列 nb 的通项公式。 17 ．（本题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 cosC 是方程 22 1 0x x   的一个 根，求： （Ⅰ）角 C 的度数； （Ⅱ）若 2, 4a b  ，求 ABC 的周长。 18．（本题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 2 ( *)nS n n n N   . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若 2 na nb n  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。 19 ．（本题满分 13 分） 在 ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 的对边，且不等式 2 cos 4 sin 6 0x C x C   对一切实 数 x 恒成立。 （Ⅰ）求：角C 的最大值； （Ⅱ）若角 C 取得最大值，且 2 3c  ，求 ABC 的面积的最大值。 20 ．（本题满分 13 分） 某厂花费 50 万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费。已知第 ( *)n n N 天应 付维修费为 1 ( 1) 5004 n   元，机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和平均分摊 到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废。 （Ⅰ）求前 n 天维修费用总和； （Ⅱ）将每天的平均损耗 y （元）表示为投产天数 n 的函数； （Ⅲ）求机器使用多少天应当报废？ 21．（本题满分 13 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 ( 1) ( 1)( 0, *)n na S a a a n N     ． （Ⅰ）求证数列 na 是等比数列，并求 na 的通项公式； （Ⅱ）已知集合  2| ( 1)A x x a a x    ，问是否存在实数 a ，使得对于任意的 *n N 都有 nS A ？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。 保靖民中 2011 年秋学期期中考试试题 高二数学（文科）参考答案 满分 150 分 时量 120 分钟 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 二、填空题：（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 9、 4 ； 10、 2 ； 11、 5 6 ； 12、1: 3 : 2 ； 13、 7 3 ； 14、 3 ； 15、 6 。 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(本题满分 12 分) 解：（Ⅰ） 2 2 2 6 2a      5 2 5 6 4a     ……………6 分 （Ⅱ）由题意知： 1 22, 4b b   所以等比数列 nb 的公比 2 1 2bq b    ……………9 分 数列 nb 的通项公式为： 12 ( 2) ( 2)n n nb       （ *n N ）. ……………12 分 17 .(本题满分 12 分) 解：（Ⅰ）解方程 22 1 0x x   得： 1 2 1 , 12x x   ……………2 分 因为 (0, )C  ，所以 1cos 2C  ……………4 分 60C   ……………6 分 18．(本题满分 12 分) 所以 13 1 449 9 n n nT    ……………12 分 19．(本题满分 13 分) 解：（Ⅰ）当 cos 0C  即 90C   时：不等式 4 6 0x   对 x R 不恒成立，不符合题意 ……………2 分 当 cos 0C  时：要使不等式 2 cos 4 sin 6 0x C x C   对一切实数 x 恒成立，须有： 2 cos 0 16sin 24cos 0 C C C     解得 1cos 2C  ……………5 分 又因为 (0, )C  ,所以 0 3C   故角 C 的最大值为 3  。 …………7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 3C  ，由余弦定理得： 2 21 12 2 2 a b ab   ，即 2 2 12a b ab   …………9 分 20 ．(本题满分 13 分) 解：（Ⅰ）设 1 ( 1) 5004na n   ，则 na 为等差数列，且首项为 500，公差为 1 4 ……2 分 所以前 n 天维修费用总和 2 1500 ( 1) 5004 1 3999 2 8 8n n n S n n            ，（ n *N ）……4 分 （Ⅱ） 21 1 3999 500000 39995000008 8 8 8 ny n nn n            ，（ n *N ） ………9 分 （Ⅲ） 500000 8 n n  ≥ 2 62500 500 ， 当且仅当 500000 8 n n  ，即 2000n  时， y 取到最小值 答：机器使用到 2000 天时应到报废。 …………13 分 21．(本题满分 13 分) 解：（Ⅰ）当 1n  时，∵( a －1) 1S ＝ 1( 1)a a  ，∴ 1a a ( a ＞0)； ………1 分 当 2n  时，∵ ( 1) ( 1)( 0, *)n na S a a a n N     ，∴ 1 1( 1) ( 1)( 0)n na S a a a     ∴ 1( 1) ( )nn na a a a a    ，变形得： 1 ( 2),n n a a na    ∴数列是以 1a a 为首项， a 为公比的等比数列 ………… 4 分 其通项公式为 ( *)n na a n N  …………5 分 （Ⅱ）1 当 1a  时：A＝ 1 ， nS n ，只有 1n  时， nS A ，∴ 1a  不合题意； ……………7 分 2 当 1a  时：  |1A x x a   ， 2 2 2,S a a a S A     ， ∴ 1a  时不存在满足条件得实数 a ； ……………9 分 3 当 0 1a  时：  | 1A x a x   ， 2 3 (1 ) [ , )1 1 n n n a aS a a a a a aa a          ， ………… 11 分