宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学（文）试题 含解析

宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学（文）试题 含解析

‎2019-2020学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）（三）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（　　）‎ A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P ‎2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2‎ ‎3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣‎ ‎4．等比数列{an}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在等差数列{an}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（　　）‎ A．66 B．99 C．144 D．297‎ ‎8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（　　）‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎9．函数f（x）＝sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）‎ ‎13．i为虚数单位，若，则|z|＝　 　．‎ ‎14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝　 　．‎ ‎15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是　 　海里/小时．‎ ‎16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（‎ ‎）按照由小到大的顺序排列为　 　．‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分 ‎17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）‎ ‎（1）若||＝||，求角α的值；‎ ‎（2）若•＝﹣1，求的值．‎ ‎18．设向量，的坐标为．‎ ‎（1）若||，求sinxcosx的值；‎ ‎（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．‎ ‎19．设{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）当q＞1时，令bn＝1+log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．‎ ‎（1）求∠B；‎ ‎（2）若∠C为钝角，求的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．‎ ‎（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；‎ ‎（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．‎ ‎（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C 上任意一点，求△ABM面积的最小值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．‎ ‎（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；‎ ‎（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎2019-2020学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）（三）‎ 参考答案与试题解析 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（　　）‎ A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P ‎【解答】解：依题意P＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），‎ 又∵M＝{x|x＞1}，‎ 所以M∪P＝P，‎ 故选：B．‎ ‎2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴z1•z2＝（1+i）（x2﹣i）＝（x2+1）+（x2﹣1）i，‎ 由z1•z2为实数，得x2﹣1＝0，即x＝±1．‎ 故选：C．‎ ‎3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣‎ ‎【解答】解：如图，‎ E是AB中点；‎ ‎∴，；‎ ‎∴＝．‎ 故选：B．‎ ‎4．等比数列{an}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，a2＝4，，‎ ‎∴a3a6＝a4a5＝a2•a7＝4×＝，‎ 故a3a6+a4a5 ＝+＝，‎ 故选：C．‎ ‎5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），‎ ‎∴＝（﹣3，2），＝（﹣3，3），‎ ‎∴＝（﹣3）×（﹣3）+2×3＝15； |＝＝3；‎ 则向量在向量上的投影为，＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为T＝π．‎ 由于f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎7．在等差数列{an}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（　　）‎ A．66 B．99 C．144 D．297‎ ‎【解答】解：由a1+a4+a7＝3a1+9d＝39，得a1+3d＝13①，‎ 由a3+a6+a9＝3a1+15d＝27，得a1+5d＝9②，‎ ‎②﹣①得d＝﹣2，把d＝﹣2代入①得到a1＝19，‎ 则前9项的和S9＝9×19+×（﹣2）＝99．‎ 故选：B．‎ ‎8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（　　）‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎【解答】解：如图所示，＝‎ ‎＝﹣．‎ ‎∴m＝﹣，n＝，∴，‎ 故选：C．‎ ‎9．函数f（x）＝sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：f（x）＝sinax+cosax＝sin（ax+），‎ ‎∵T＝＝1，则a＝2π，‎ ‎∴f（x）＝sin（2πx+）‎ ‎∵令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得：k﹣≤x≤k+，k∈Z，‎ ‎∴f（x）的递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z．‎ 故选：D．‎ ‎10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴cosA＝＝，sinA＝＝，‎ ‎∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA＝×（﹣）+×＝，‎ ‎∵由正弦定理，可得AB＝＝，‎ ‎∴S△ABC＝AB•BC•sinB＝×1×＝．‎ 故选：A．‎ ‎11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，‎ 故函数f（x）为奇函数且单调递增，‎ ‎∵f（﹣cos600°）＝f（），f（﹣log）＝f（），‎ ‎∵f（），‎ ‎∴f（﹣cos600°）＞f（﹣log），‎ 故选：B．‎ ‎12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且△ABC的面积为S，且 ‎∴＝，‎ ‎∴，且0＜∠ABC＜π，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）‎ ‎13．i为虚数单位，若，则|z|＝　　．‎ ‎【解答】解：，则|z|＝＝＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵sin（+θ）＝，即 +＝，平方可得 +sin2θ＝，解得 sin2θ＝﹣，‎ 故答案为﹣．‎ ‎15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是　10　海里/小时．‎ ‎【解答】解：根据题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝60°，DC⊥AC，‎ ‎∴∠DBC＝30°，∠BDA＝∠A＝15°，∴BD＝AB＝10，‎ ‎∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝10×＝5，‎ ‎∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷＝10海里/小时 故答案为：10．‎ ‎16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为　f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．　．‎ ‎【解答】解：∵，x＞0，‎ 则f′（x）＝，‎ 当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，‎ ‎∵b＞a＞3，‎ ‎∴b＞＞＞a＞3，‎ ‎∴f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．‎ 故答案为：f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分 ‎17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）‎ ‎（1）若||＝||，求角α的值；‎ ‎（2）若•＝﹣1，求的值．‎ ‎【解答】解：，．‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴．‎ 化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．‎ 又，‎ 故．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，‎ 化简得：，‎ 两边平方得：，‎ ‎∴，‎ 故sinα﹣cosα＞0，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎18．设向量，的坐标为．‎ ‎（1）若||，求sinxcosx的值；‎ ‎（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴①cosx＝0时，sinxcosx＝0；‎ ‎②cosx≠0时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴，‎ 综上得，sinxcosx＝0或；‎ ‎（2）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 解，得f（x）的对称轴方程为，k∈Z，‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎19．设{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）当q＞1时，令bn＝1+log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，‎ 可得a1+a1q+a1q2＝7，6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，‎ 解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝，‎ 则an＝2n﹣1或an＝23﹣n；‎ ‎（2）当q＞1时，bn＝1+log2an＝1+log22n﹣1＝1+n﹣1＝n，‎ an+bn＝2n﹣1+n，‎ 则前n项和Tn＝（1+2+4++2n﹣1）+（1+2+3++n）‎ ‎＝+n（n+1）＝2n﹣1+．‎ ‎20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．‎ ‎（1）求∠B；‎ ‎（2）若∠C为钝角，求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC的面积为．‎ ‎∴×2accosB＝acsinB，解得：tanB＝，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B＝．‎ ‎（2）∵A+C＝，∠C为钝角，‎ ‎∴A∈（0，），可得tanA∈（0，），∈（，+∞）‎ ‎∴＝＝•∈（2，+∞），‎ 故的取值范围为（2，+∞）．‎ ‎21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．‎ ‎（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；‎ ‎（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．‎ ‎【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，‎ 函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）‎ 且f′（x）＝lnx++x﹣3．‎ 设g（x）＝lnx++x﹣3，‎ 则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．‎ 当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，‎ 即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ 所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．‎ 即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．‎ 所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．‎ 因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．‎ 所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．‎ ‎（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，‎ 函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．‎ 当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，‎ 由（1）知lnx++x﹣3≥0．‎ 即当x＞0时，f′（x）≥0，‎ 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 所以f（x）不存在极值．‎ 证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，‎ 函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4‎ 设m（x）＝lnx++2ax﹣4，‎ 则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．‎ 设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．‎ 当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，‎ 解得x1＝＜0，x2＝＞0．‎ 可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，‎ 所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．‎ 由（1）知lnx++x﹣3≥0．‎ 则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．‎ 所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．‎ 所以f（x）不存在极值．‎ ‎（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，‎ 将，代入得曲线C的极坐标方程为：‎ ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．‎ ‎（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，‎ 则d＝＝，‎ 当sin（）＝﹣1时，d有最小值，‎ 所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．‎ ‎（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；‎ ‎（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．（1分）‎ 当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．‎ 当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．‎ 综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜﹣}．‎ ‎（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，‎ 即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．‎ 所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，‎ 当且仅当x＝时等号成立．‎ 所以g（x）min＝﹣2．‎ 所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）．‎