高考理数　解三角形

高考理数　解三角形

§4.4 　解三角形 高考 理 数 ( 课标专用) 考点一　正弦定理与余弦定理 1. (2018课标Ⅱ,6,5分)在△ ABC 中,cos   =   , BC =1, AC =5,则 AB =   (　　) A.4   　    B.   　    C.   　    D.2   A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案    A 　本题考查二倍角公式和余弦定理. ∵cos   =   ,∴cos C =2cos 2   -1=2 ×   -1=-   , 又∵ BC =1, AC =5, ∴ AB =   =   =4   .故选A. 2. (2016课标Ⅲ,8,5分)在△ ABC 中, B =   , BC 边上的高等于   BC ,则cos A =   (　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-   答案      C 　过 A 作 AD ⊥ BC ,垂足为 D ,由题意知 AD = BD =   BC ,则 CD =   BC , AB =   BC , AC =   BC ,在△ ABC 中,由余弦定理的推论可知,cos∠ BAC =   =   =-   ,故选C.   思路分析　 作 AD ⊥ BC (垂足为 D ),由已知结合勾股定理把 AB 与 AC 均用 BC 表示出来,再利用余 弦定理的推论求得cos∠ BAC 的值. 一题多解　 另解一:过 A 作 AD ⊥ BC ,垂足为 D ,由题意知 AD = BD =   BC ,则 CD =   BC ,在Rt△ ADC 中, AC =   BC ,sin∠ DAC =   ,cos∠ DAC =   ,又因为∠ B =   ,所以cos∠ BAC =cos   = cos∠ DAC ·cos   -sin∠ DAC ·sin   =   ×   -   ×   =-   ,故选C. 另解二:过 A 作 AD ⊥ BC ,垂足为 D ,由题意知 AD = BD =   BC ,则 CD =   BC , AB =   BC , AC =   BC ,而   ·   =(   +   )·(   +   )=   +   ·   +   ·   +   ·   =   BC 2 -   BC 2 =-   BC 2 ,所以cos∠ BAC =   =   =-   ,故选C. 另解三:过 A 作 AD ⊥ BC ,垂足为 D ,设 BC =3 a ( a >0),结合题意知 AD = BD = a , DC =2 a .以 D 为原点, DC , DA 所在直线分别为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系,则 B (- a ,0), C (2 a ,0), A (0, a ),所以   =(- a ,- a ),   = (2 a ,- a ),所以|   |=   a ,|   |=   a ,所以cos∠ BAC =   =   =-   ,故选C. 3. (2016课标Ⅱ,13,5分)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =   ,cos C =   , a =1,则 b = 　　      . 答案        解析 　由已知可得sin A =   ,sin C =   ,则sin B =sin( A + C )=   ×   +   ×   =   ,再由正弦定理可得   =   ⇒ b =   =   . 思路分析　 利用同角三角函数的平方关系求出sin A 与sin C 的值,进而由sin B =sin( A + C )求出 sin B 的值,再利用正弦定理即可求出 b 的值. 4. (2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形 ABCD 中,∠ ADC =90 ° ,∠ A =45 ° , AB =2, BD =5. (1)求cos∠ ADB ; (2)若 DC =2   ,求 BC . 解析 　(1)在△ ABD 中,由正弦定理得   =   . 由题设知,   =   ,所以sin∠ ADB =   . 由题设知,∠ ADB <90 ° ,所以cos∠ ADB =   =   . (2)由题设及(1)知,cos∠ BDC =sin∠ ADB =   . 在△ BCD 中,由余弦定理得 BC 2 = BD 2 + DC 2 -2· BD · DC ·cos∠ BDC =25+8-2 × 5 × 2   ×   =25. 所以 BC =5. 方法总结 　正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通 过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用. (3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因 式,以免漏解. (4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答 此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解. 5. (2017课标Ⅰ,17,12分)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知△ ABC 的面积为   . (1)求sin B sin C ; (2)若6cos B cos C =1, a =3,求△ ABC 的周长. 解析　 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行 运算求解的能力. (1)由题设得   ac sin B =   ,即   c sin B =   . 由正弦定理得   sin C sin B =   . 故sin B sin C =   . (2)由题设及(1)得cos B cos C -sin B sin C =-   , 即cos( B + C )=-   .所以 B + C =   ,故 A =   . 由题设得   bc sin A =   ,即 bc =8. 由余弦定理得 b 2 + c 2 - bc =9,即( b + c ) 2 -3 bc =9,得 b + c =   . 故△ ABC 的周长为3+   . 思路分析 　(1)首先利用三角形的面积公式可得   ac sin B =   ,然后利用正弦定理,把边转化 成角的形式,即可得出sin B sin C 的值;(2)首先利用sin B sin C 的值以及题目中给出的6cos B cos C =1,结合两角和的余弦公式求出 B + C ,进而得出 A ,然后利用三角形的面积公式和 a 的值求出 bc 的值,最后利用余弦定理求出 b + c 的值,进而得出△ ABC 的周长. 方法总结 　解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计 算,例如:将   c sin B =   变形为   sin C sin B =   . (2)三角形面积公式: S =   ab sin C =   ac sin B =   bc sin A . (3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ ABC 中,sin( B + C )=sin A . 6. (2016课标Ⅰ,17,12分)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知2cos C ( a cos B + b cos A )= c . (1)求 C ; (2)若 c =   ,△ ABC 的面积为   ,求△ ABC 的周长. 解析 　(1)由已知及正弦定理得, 2cos C (sin A cos B +sin B cos A )=sin C ,   (2分) 2cos C sin( A + B )=sin C . 故2sin C cos C =sin C .   (4分) 可得cos C =   ,所以 C =   .   (6分) (2)由已知,得   ab sin C =   . 又 C =   ,所以 ab =6.   (8分) 由已知及余弦定理得, a 2 + b 2 -2 ab cos C =7. 故 a 2 + b 2 =13,从而( a + b ) 2 =25.∴ a + b =5.   (10分) 所以△ ABC 的周长为5+   .   (12分) 7. (2015课标Ⅱ,17,12分)△ ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分∠ BAC ,△ ABD 面积是△ ADC 面积的2 倍. (1)求   ; (2)若 AD =1, DC =   ,求 BD 和 AC 的长. 解析 　(1) S △ ABD =   AB · AD sin∠ BAD , S △ ADC =   AC · AD sin∠ CAD . 因为 S △ ABD =2 S △ ADC ,∠ BAD =∠ CAD ,所以 AB =2 AC . 由正弦定理可得   =   =   . (2)因为 S △ ABD ∶ S △ ADC = BD ∶ DC ,所以 BD =   . 在△ ABD 和△ ADC 中,由余弦定理知 AB 2 = AD 2 + BD 2 -2 AD · BD cos∠ ADB , AC 2 = AD 2 + DC 2 -2 AD · DC cos∠ ADC . 故 AB 2 +2 AC 2 =3 AD 2 + BD 2 +2 DC 2 =6. 由(1)知 AB =2 AC ,所以 AC =1. 考点二　解三角形及其综合应用 1. (2018课标Ⅲ,9,5分)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若△ ABC 的面积为   ,则 C =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      C 　本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得 a 2 + b 2 - c 2 =2 ab cos C ,因为 S △ ABC =   ,所以 S △ ABC =   ,又 S △ ABC =   ab sin C ,所以tan C =1,因为 C ∈(0,π),所以 C =   .故选C. 2. (2014课标Ⅱ,4,5分,0.472)钝角三角形 ABC 的面积是   , AB =1, BC =   ,则 AC =   (　　) A.5　    B.   　    C.2　    D.1 答案      B      S △ ABC =   AB · BC sin B =   × 1 ×   sin B =   , ∴sin B =   ,∴ B =45 ° 或135 ° .若 B =45 ° ,则由余弦定理得 AC =1,∴△ ABC 为直角三角形,不符合题 意,因此 B =135 ° ,由余弦定理得 AC 2 = AB 2 + BC 2 -2 AB · BC cos B =1+2-2 × 1 ×   ×   =5,∴ AC =   . 故选B. 思路分析 　利用 S △ ABC =   AB · BC sin B 求出sin B 的值,进而分析出 B 的大小,再利用余弦定理求解 AC 的值. 3. (2014课标Ⅰ,16,5分)已知 a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边, a =2,且(2+ b )(sin A -sin B )= ( c - b )sin C ,则△ ABC 面积的最大值为 　　　     . 答案        解析 　因为 a =2,所以(2+ b )(sin A -sin B )=( c - b )sin C 可化为( a + b )(sin A -sin B )=( c - b )sin C ,由正弦 定理可得( a + b )·( a - b )=( c - b ) c ,即 b 2 + c 2 - a 2 = bc ,由余弦定理可得cos A =   =   =   ,又0< A <π, 故 A =   .因为cos A =   =   ≥   ,所以 bc ≤ 4,当且仅当 b = c 时取等号.由三角形面积公 式知 S △ ABC =   bc sin A =   bc ·   =   bc ≤   ,故△ ABC 面积的最大值为   . 4. (2015课标Ⅰ,16,5分,0.043)在平面四边形 ABCD 中,∠ A =∠ B =∠ C =75 ° , BC =2,则 AB 的取值范 围是 　　　　　　　     . 答案 　(   -   ,   +   ) 解析 　依题意作出四边形 ABCD ,连接 BD .令 BD = x , AB = y ,∠ CDB = α ,∠ CBD = β .在△ BCD 中,由正 弦定理得   =   .由题意可知,∠ ADC =135 ° ,则∠ ADB =135 ° - α .在△ ABD 中,由正弦定理得   =   .所以   =   ,即 y =   =   =   =   . 因为0 ° < β <75 ° , α + β +75 ° =180 ° ,所以30 ° < α <105 ° , 当 α =90 ° 时,易得 y =   ; 当 α ≠ 90 ° 时, y =   =     , 此时由30 ° < α <105 ° ,及tan 30 ° =   ,tan 105 ° =tan(60 ° +45 ° )=   =-2-   ,可知   ∈ (   -2,   ),且   ≠ 0,所以 y =     ∈(   -   ,   ) ∪ (   ,   +   ). 综上所述: y ∈(   -   ,   +   ) . 思路分析　 连接 BD ,在△ BCD 与△ ABD 中分别利用正弦定理得出边角之间的关系,利用 BD 作 为桥梁连接两个关系,从而建立 AB 关于∠ CDB 的三角函数,从而利用∠ CDB 的取值范围求 AB 的取值范围. 考点一　正弦定理与余弦定理 1.(2016天津,3,5分)在△ ABC 中,若 AB =   , BC =3,∠ C =120 ° ,则 AC =   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      A 　在△ ABC 中,设 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,则由 c 2 = a 2 + b 2 -2 ab cos C ,得13=9+ b 2 -2 × 3 b ×   ,即 b 2 +3 b -4=0,解得 b =1(负值舍去),即 AC =1.故选A. 2. (2017山东,9,5分)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若△ ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是   (　　) A. a =2 b 　    B. b =2 a C. A =2 B 　    D. B =2 A 答案      A 　本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sin B (1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C , 所以sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin( A + C ), 所以sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin B , 即cos C (2sin B -sin A )=0, 所以cos C =0或2sin B =sin A , 即 C =90 ° 或2 b = a , 又△ ABC 为锐角三角形,所以0 ° < C <90 ° ,故2 b = a .故选A. 解法二:由正弦定理和余弦定理得 b   =2 a ×   + c ×   , 所以2 b 2   = a 2 +3 b 2 - c 2 , 即   ( a 2 + b 2 - c 2 )= a 2 + b 2 - c 2 , 即( a 2 + b 2 - c 2 )   =0, 所以 a 2 + b 2 = c 2 或2 b = a , 又△ ABC 为锐角三角形,所以 a 2 + b 2 > c 2 ,故2 b = a ,故选A . 方法总结     解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求 解.注意灵活运用三角公式. 3. (2018浙江,13,6分)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .若 a =   , b =2, A =60 ° ,则sin B = 　　     , c = 　　　     . 答案        ;3 解析　 本小题考查正弦定理、余弦定理. 由   =   得sin B =   sin A =   , 由 a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A ,得 c 2 -2 c -3=0,解得 c =3(舍负). 4. (2015北京,12,5分)在△ ABC 中, a =4, b =5, c =6,则   = 　　　     . 答案 　1 解析 　在△ ABC 中,由余弦定理的推论可得cos A =   =   =   ,由正弦定理可知   =   =   =   =1. 评析 　本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求 解能力和知识的应用转化能力. 5. (2014江苏,14,5分)若△ ABC 的内角满足sin A +   sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是 　　　     . 答案        解析 　∵sin A +   sin B =2sin C , ∴由正弦定理得 a +   b =2 c , ∴cos C =   =   =   =   ≥   =   , 当且仅当   a =   b 时等号成立, 故cos C 的最小值为   . 评析 　本题考查正弦、余弦定理及基本不等式等知识的灵活运用,对运算及恒等变形能力有 较高的要求. 6. (2017天津,15,13分)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 a > b , a =5, c =6,sin B =   . (1)求 b 和sin A 的值; (2)求sin   的值. 解析　 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公 式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在△ ABC 中,因为 a > b ,故由sin B =   ,可得cos B =   .由已知及余弦定理,有 b 2 = a 2 + c 2 -2 ac cos B =1 3,所以 b =   . 由正弦定理   =   ,得sin A =   =   . 所以, b 的值为   ,sin A 的值为   . (2)由(1)及 a < c ,得cos A =   , 所以sin 2 A =2sin A cos A =   ,cos 2 A =1-2sin 2 A =-   . 故sin   =sin 2 A cos   +cos 2 A sin   =   . 方法总结 　1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在 图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒 等变换和三角形内角和定理的运用. 2 .解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选 择公式;(3)计算准确,注意符号. 7. (2016北京,15,13分)在△ ABC 中, a 2 + c 2 = b 2 +   ac . (1)求∠ B 的大小; (2)求   cos A +cos C 的最大值. 解析　 (1)由余弦定理及题设得cos B =   =   =   . 又因为0<∠ B <π,所以∠ B =   . (2)由(1)知∠ A +∠ C =   ,∴∠ C =   -∠ A . ∴   cos A +cos C =   cos A +cos   =   cos A -   cos A +   sin A =   cos A +   sin A =cos   . 因为0<∠ A <   , 所以当∠ A =   时,   cos A +cos C 取得最大值1. 考点二　解三角形及其综合应用 1. (2014江西,4,5分)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c .若 c 2 =( a - b ) 2 +6, C =   ,则△ ABC 的 面积是   (　　) A.3　    B.   　    C.   　    D.3   答案      C      c 2 =( a - b ) 2 +6,即 c 2 = a 2 + b 2 -2 ab +6①.∵ C =   ,∴由余弦定理得 c 2 = a 2 + b 2 - ab ②,由①和②得 ab =6,∴ S △ ABC =   ab sin C =   × 6 ×   =   ,故选C. 2. (2018江苏,13,5分)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,∠ ABC =120 ° ,∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D ,且 BD =1,则4 a + c 的最小值为 　　　     . 答案 　9 解析　 依题意画出图形,如图所示.   易知 S △ ABD + S △ BCD = S △ ABC , 即   c sin 60 ° +   a sin 60 ° =   ac sin 120 ° , ∴ a + c = ac ,∴   +   =1, ∴4 a + c =(4 a + c )   =5+   +   ≥ 9,当且仅当   =   ,即 a =   , c =3时取“=”. 一题多解1 　作 DE ∥ CB 交 AB 于 E ,∵ BD 为∠ ABC 的平分线,   ∴   =   =   , ∵ DE ∥ CB ,∴   =   =   =   , ∴   =     ,   =     . ∴   =     +     . ∴   =   , ∴1=   +   +2·   ·   |   |·|   | ×   , ∴1=   ,∴ ac = a + c ,∴   +   =1, ∴4 a + c =(4 a + c )   =5+   +   ≥ 9,当且仅当   =   ,即 a =   , c =3时取“=”. 一题多解2　 以 B 为原点, BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,   则 D (1,0).∵ AB = c , BC = a ,∴ A   , C   . ∵ A , D , C 三点共线,∴   ∥   , ∴     +   c   =0, ∴ ac = a + c ,∴   +   =1, ∴4 a + c =(4 a + c )   =5+   +   ≥ 9,当且仅当   =   ,即 a =   , c =3时取“=”. 3. (2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一 山顶 D 在西偏北30 ° 的方向上,行驶600 m后到达 B 处,测得此山顶在西偏北75 ° 的方向上,仰角为 30 ° ,则此山的高度 CD = 　　　     m.   答案 　100   解析　 依题意有 AB =600,∠ CAB =30 ° , ∠ CBA =180 ° -75 ° =105 ° ,∠ DBC =30 ° , DC ⊥ CB . ∴∠ ACB =45 ° , 在△ ABC 中,由   =   , 得   =   , 有 CB =300   , 在Rt△ BCD 中, CD = CB ·tan 30 ° =100   , 则此山的高度 CD =100   m. 4. (2017浙江,14,5分)已知△ ABC , AB = AC =4, BC =2.点 D 为 AB 延长线上一点, BD =2,连接 CD ,则△ BDC 的面积是 　　　     ,cos∠ BDC = 　　　     . 答案        ;   解析 　本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运 算求解能力. ∵ AB = AC =4, BC =2,∴cos∠ ABC =   =   , ∵∠ ABC 为三角形的内角,∴sin∠ ABC =   , ∴sin∠ CBD =   ,故 S △ CBD =   × 2 × 2 ×   =   . ∵ BD = BC =2,∴∠ ABC =2∠ BDC .又cos∠ ABC =   , ∴2cos 2 ∠ BDC -1=   ,得cos 2 ∠ BDC =   , 又∠ BDC 为锐角,∴cos∠ BDC =   . 5. (2014山东,12,5分)在△ ABC 中,已知   ·   =tan A ,当 A =   时,△ ABC 的面积为 　　　     . 答案        解析 　由   ·   =tan A , A =   ,得|   ||   |cos   =tan   ,即|   |·|   |=   =   ,所以 S △ ABC =   |   |·|   |sin A =   ×   ×   =   . 6. (2018北京,15,13分)在△ ABC 中, a =7, b =8,cos B =-   . (1)求∠ A ; (2)求 AC 边上的高. 解析　 (1)在△ ABC 中,因为cos B =-   ,所以sin B =   =   . 由正弦定理得sin A =   =   . 由题设知   <∠ B <π,所以0<∠ A <   . 所以∠ A =   . (2)在△ ABC 中, 因为sin C =sin( A + B )=sin A cos B +cos A sin B =   , 所以 AC 边上的高为 a sin C =7 ×   =   . 方法总结 　处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析 哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过 解方程求出边或角. 7. (2018天津,15,13分)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 b sin A = a cos   . (1)求角 B 的大小; (2)设 a =2, c =3,求 b 和sin(2 A - B )的值. 解析　 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与 余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ ABC 中,由正弦定理   =   ,可得 b sin A = a sin B , 又由 b sin A = a cos   ,得 a sin B = a cos   , 即sin B =cos   ,可得tan B =   . 又因为 B ∈(0,π),可得 B =   . (2)在△ ABC 中,由余弦定理及 a =2, c =3, B =   , 有 b 2 = a 2 + c 2 -2 ac cos B =7,故 b =   . 由 b sin A = a cos   ,可得sin A =   . 因为 a < c ,故cos A =   . 因此sin 2 A =2sin A cos A =   ,cos 2 A =2cos 2 A -1=   .所以,sin(2 A - B )=sin 2 A cos B -cos 2 A sin B =   ×   -   ×   =   . 解题关键　 (1)利用正弦定理合理转化 b sin A = a cos   是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A ,利用 a < c 确定cos A >0是求解第(2)问的关键. 失分警示 　(1)由于忽略 a < c 这一条件,从而导致cos A 有两个值,最终结果出现增解; (2)由于不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错. 8. (2017北京,15,13分)在△ ABC 中,∠ A =60 ° , c =   a . (1)求sin C 的值; (2)若 a =7,求△ ABC 的面积. 解析　 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在△ ABC 中,因为∠ A =60 ° , c =   a , 所以由正弦定理得sin C =   =   ×   =   . (2)因为 a =7,所以 c =   × 7=3. 由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A 得7 2 = b 2 +3 2 -2 b × 3 ×   , 解得 b =8或 b =-5(舍). 所以△ ABC 的面积 S =   bc sin A =   × 8 × 3 ×   =6   . 解后反思　 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关 键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积. 9. (2016浙江,16,14分)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 b + c =2 a cos B . (1)证明: A =2 B ; (2)若△ ABC 的面积 S =   ,求角 A 的大小. 解析　 (1)由正弦定理得sin B +sin C =2sin A cos B , 故2sin A cos B =sin B +sin( A + B )=sin B +sin A cos B +cos A sin B ,于是sin B =sin( A - B ). 又 A , B ∈(0,π),故0< A - B <π,所以, B =π-( A - B )或 B = A - B , 因此 A =π(舍去)或 A =2 B ,所以, A =2 B . (2)由 S =   得   ab sin C =   ,故有sin B sin C =   sin 2 B =sin B cos B , 因sin B ≠ 0,得sin C =cos B . 又 B , C ∈(0,π),所以 C =   ± B . 当 B + C =   时, A =   ;当 C - B =   时, A =   . 综上, A =   或 A =   . 评析 　本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查 运算求解能力. 10. (2016山东,16,12分)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知2(tan A +tan B )=   +   . (1)证明: a + b =2 c ; (2)求cos C 的最小值. 解析　 (1)由题意知2   =   +   , 化简得2(sin A cos B +sin B cos A )=sin A +sin B ,即2sin( A + B )=sin A +sin B . 因为 A + B + C =π,所以sin( A + B )=sin(π- C )=sin C . 从而sin A +sin B =2sin C .由正弦定理得 a + b =2 c . (2)由(1)知 c =   , 所以cos C =   =   =     -   ≥   , 当且仅当 a = b 时,等号成立. 故cos C 的最小值为   . 评析 　本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查 了化归与转化的思想方法,属中档题. 11. (2015湖南,17,12分)设△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a = b tan A ,且 B 为钝角. (1)证明: B - A =   ; (2)求sin A +sin C 的取值范围. 解析 　(1)证明:由 a = b tan A 及正弦定理, 得   =   =   , 所以sin B =cos A ,即sin B =sin   . 又 B 为钝角,因此   + A ∈   ,故 B =   + A ,即 B - A =   . (2)由(1)知, C =π-( A + B )=π-   =   -2 A >0, 所以 A ∈   . 于是sin A +sin C =sin A +sin   =sin A +cos 2 A =-2sin 2 A +sin A +1=-2   +   . 因为0< A <   ,所以00,所以 c =3. 故△ ABC 的面积为   bc sin A =   . 解法二:由正弦定理,得   =   , 从而sin B =   , 又由 a > b ,知 A > B ,所以cos B =   . 故sin C =sin( A + B )=sin   =sin B cos   +cos B sin   =   . 所以△ ABC 的面积为   ab sin C =   . 4. (2015四川,19,12分)如图, A , B , C , D 为平面四边形 ABCD 的四个内角. (1)证明:tan   =   ; (2)若 A + C =180 ° , AB =6, BC =3, CD =4, AD =5,求tan   +tan   +tan   +tan   的值. 解析 　(1)tan   =   =   =   . (2)由 A + C =180 ° ,得 C =180 ° - A , D =180 ° - B . 由(1),有tan   +tan   +tan   +tan   =   +   +   +   =   +   . 连接 BD . 在△ ABD 中,有 BD 2 = AB 2 + AD 2 -2 AB · AD cos A , 在△ BCD 中,有 BD 2 = BC 2 + CD 2 -2 BC · CD cos C , 所以 AB 2 + AD 2 -2 AB · AD cos A = BC 2 + CD 2 +2 BC · CD cos A . 则cos A =   =   =   . 于是sin A =   =   =   . 连接 AC .同理可得 cos B =   =   =   , 于是sin B =   =   =   . 所以,tan   +tan   +tan   +tan   =   +   =   +   =   . 评析     本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知 识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想. 5. (2015浙江,16,14分)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c .已知 A =   , b 2 - a 2 =   c 2 . (1)求tan C 的值; (2)若△ ABC 的面积为3,求 b 的值. 解析　 (1)由 b 2 - a 2 =   c 2 及正弦定理得sin 2 B -   =   sin 2 C ,所以-cos 2 B =sin 2 C . 又由 A =   ,即 B + C =   π,得-cos 2 B =sin 2 C =2sin C cos C , 解得tan C =2. (2)由tan C =2, C ∈(0,π)得sin C =   ,cos C =   . 又因为sin B =sin( A + C )=sin   , 所以sin B =   . 由正弦定理得 c =   b , 又因为 A =   ,   bc sin A =3,所以 bc =6   ,故 b =3. 评析 　本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 6. (2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形 ABCD 中, AD =1, CD =2, AC =   . (1)求cos∠ CAD 的值; (2)若cos∠ BAD =-   ,sin∠ CBA =   ,求 BC 的长. 解析 　(1)在△ ADC 中,由余弦定理,得 cos∠ CAD =   =   =   . (2)设∠ BAC = α ,则 α =∠ BAD -∠ CAD . 因为cos∠ CAD =   ,cos∠ BAD =-   , 所以sin∠ CAD =   =   =   , sin∠ BAD =   =   =   . 于是sin α =sin(∠ BAD -∠ CAD ) =sin∠ BAD cos∠ CAD -cos∠ BAD sin∠ CAD =   ×   -   ×   =   . 在△ ABC 中,由正弦定理,得   =   , 故 BC =   =   =3 . 7. (2013课标Ⅰ,17,12分,0.463)如图,在△ ABC 中,∠ ABC =90 ° , AB =   , BC =1, P 为△ ABC 内一点,∠ BPC =90 ° . (1)若 PB =   ,求 PA ; (2)若∠ APB =150 ° ,求tan∠ PBA . 解析　 (1)由已知得∠ PBC =60 ° ,所以∠ PBA =30 ° . 在△ PBA 中,由余弦定理得 PA 2 =3+   -2 ×   ×   cos 30 ° =   .故 PA =   . (2)设∠ PBA = α ,由已知得∠ PAB =30 ° - α , PB =sin α . 在△ PBA 中,由正弦定理得   =   , 化简得   cos α =4sin α . 所以tan α =   ,即tan∠ PBA =   . 思路分析 　(1)由已知求出∠ PBA ,在△ PAB 中利用余弦定理求解 PA ;(2)设∠ PBA = α ,则∠ PAB = 30 ° - α ,在Rt△ PBC 中求得 PB =sin α ,然后在△ PBA 中利用正弦定理求得tan α . 考点一　正弦定理与余弦定理 1. (2018湖南衡阳2月调研,6)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A 、 B 、 C 所对的边,若2sin C =sin A +sin B ,cos C =   且 S △ ABC =4,则 c =   (　　) A.   　    B.4　    C.   　    D.5 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      A     因为2sin C =sin A +sin B ,所以由正弦定理可得2 c = a + b ①,由cos C =   可得 c 2 = a 2 + b 2 -2 ab cos C =( a + b ) 2 -   ab ②,又由cos C =   ,得sin C =   ,所以 S △ ABC =   ab sin C =   =4,∴ ab =10③. 由①②③解得 c =   ,故选A. 2. (2018山东菏泽3月联考,8)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a cos B - c -   =0, a 2 =   bc , b > c ,则   =   (　　) A.   　    B.2　    C.3　    D.   答案    B 　由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 -2 ac cos B 可得 a cos B =   ,又 a cos B - c -   =0, a 2 =   bc ,所以 c +   =   ,即2 b 2 -5 bc +2 c 2 =0,所以有( b -2 c )·(2 b - c )=0.所以 b =2 c 或 c =2 b ,又 b > c ,所以   =2.故 选B. 3. (2018江西赣州2月联考,7)在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,满足2 a cos A = b cos C + c cos B ,且 b + c =4,则 a 的最小值为   (　　) A.2　    B.2   　    C.3　    D.2   答案    A 　由正弦定理及题意可得2sin A cos A =sin B cos C +sin C cos B .又知在△ ABC 内,sin A = sin( B + C )=sin B cos C +cos B sin C ,∴2sin A cos A =sin A ,∵sin A ≠ 0 ,∴cos A =   . 又∵ A ∈(0,π),∴ A =   . ∴ a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A =( b + c ) 2 -3 bc =16-3 bc ,∵ b , c 均为正数,∴ b + c ≥ 2   ,∴ bc ≤ 4,当且仅当 b = c 时 取“=”.∴ a 2 =16-3 bc ≥ 16-12=4,又∵ a >0,∴ a ≥ 2. ∴ a 的最小值为2,故选A. 4. (2017湖南长郡中学六模,6)若△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知2 b sin 2 A = a sin B , 且 c =2 b ,则   等于(　　) A.2　    B.3　    C.   　    D.   答案      A 　由2 b sin 2 A = a sin B ,得4 b sin A ·cos A = a sin B ,由正弦定理得4sin B ·sin A ·cos A =sin A ·sin B ,∵sin A ≠ 0,且sin B ≠ 0,∴cos A =   ,由余弦定理得 a 2 = b 2 +4 b 2 - b 2 ,∴ a 2 =4 b 2 ,∴   =2.故选A. 5. (2017安徽合肥一模,6)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos C =   , b cos A + a cos B = 2,则△ ABC 的外接圆面积为   (　　) A.4π　　B.8π　　C.9π　　D.36π 答案      C 　已知 b cos A + a cos B =2,由正弦定理可得2 R sin B cos A +2 R sin A cos B =2( R 为△ ABC 的 外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2 R sin( A + B )=2,则2 R sin C =2,因为cos C =   ,所以sin C =   ,所以 R =3.故△ ABC 的外接圆面积为9π.故选C. 6. (2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,cos A =   ,cos B =   , c =   ,则 a = 　　　     . 答案        解析 　∵cos A =   ,cos B =   , A , B , C 为三角形内角,∴sin A =   =   ,sin B =   =   ,∴cos C =cos[π-( A + B )]=-cos( A + B )=sin A sin B -cos A cos B =   ×   -   ×   =   ,∴ C = 45 ° .又由正弦定理知   =   ,∴   =   ,解得 a =   . 考点二　解三角形及其综合应用 1. (2018河南郑州一模,11)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且2 c cos B =2 a + b ,若△ ABC 的 面积 S =   c ,则 ab 的最小值为   (　　) A.28　    B.36　    C.48　    D.56 答案      C 　在△ ABC 中,2 c cos B =2 a + b ,由正弦定理,得2sin C cos B =2sin A +sin B .又 A =π-( B + C ),所 以sin A =sin[π-( B + C )]=sin( B + C ),所以2sin C cos B =2sin( B + C )+sin B =2sin B cos C +2cos B sin C +sin B ,得2sin B cos C +sin B =0,因为sin B ≠ 0,所以cos C =-   ,又0< C <π,所以 C =   .由 S =   c =   ab ·sin C =   ab ×   ,得 c =   .又 c 2 = a 2 + b 2 -2 ab cos C = a 2 + b 2 + ab ≥ 2 ab + ab =3 ab (当且仅当 a = b 时取等号),所 以   ≥ 3 ab ,得 ab ≥ 48,所以 ab 的最小值为48,故选C. 2. (2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a cos B +   a sin B = b + c , b =1,点 D 是△ ABC 的重心,且 AD =   ,则△ ABC 的外接圆的半径为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案      A 　由正弦定理,得   sin A sin B +sin A cos B =sin B +sin C ,又sin C =sin( A + B ),∴   sin A sin B +sin A cos B =sin B +sin( A + B ),可得   sin A sin B -cos A sin B =sin B ,又sin B ≠ 0,∴   sin A -cos A = 1,∴sin   =   ,由0< A <π,得-   < A -   <   ,∴ A -   =   ,∴ A =   .由点 D 是△ ABC 的重心,得   =   (   +   ),∴   =   (   +   +2|   |·|   |cos A )=   ,结合已知条件可解得|   |=2,即 c =2.由余 弦定理,得 a =   =   ,由正弦定理,得△ ABC 的外接圆半径 R =   =1.故选A. 3. (2017安徽江南十校3月联考,9)设△ ABC 的面积为 S 1 ,它的外接圆面积为 S 2 ,若△ ABC 的三个内 角大小满足 A ∶ B ∶ C =3∶4∶5,则   的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      D 　在△ ABC 中, A + B + C =π, 又 A ∶ B ∶ C =3∶4∶5,∴ A =   , B =   , C =   π. 由正弦定理   =   =   =2 R ( a 、 b 、 c 为△ ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边, R 为△ ABC 的外接圆 半径)可得, a =   · c , b =   · c , R =   . ∴ S 1 =   ab sin C =   ·   ·   · c 2 ·sin C =   sin A ·sin B ·sin C ·   , S 2 =π R 2 =   ·   , ∴   =   =   =   ,故选D. 4. (2018河南信阳二模,17)已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边,且满足( a + b + c )(sin B +sin C - sin A )= b sin C . (1)求角 A 的大小; (2)设 a =   , S 为△ ABC 的面积,求 S +   cos B cos C 的最大值. 解析　 (1)∵( a + b + c )(sin B +sin C -sin A )= b sin C , ∴根据正弦定理,知( a + b + c )( b + c - a )= bc ,即 b 2 + c 2 - a 2 =- bc .   (2分) ∴由余弦定理,得cos A =   =-   .   (4分) 又 A ∈(0,π),所以 A =   π.   (6分) (2)根据 a =   , A =   π及正弦定理可得   =   =   =   =2, ∴ b =2sin B , c =2sin C . ∴ S =   bc sin A =   × 2sin B × 2sin C ×   =   sin B sin C .   (8分) ∴ S +   cos B cos C =   sin B sin C +   cos B cos C =   cos( B - C ).(10分) 故当   即 B = C =   时, S +   cos B cos C 取得最大值   .(12分) 5. (2017湖南五市十校联考,17)已知 a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边,且 a cos C +   a sin C - b - c =0. (1)求 A ; (2)若 AD 为 BC 边上的中线,cos B =   , AD =   ,求△ ABC 的面积.   解析 　(1) a cos C +   a sin C - b - c =0, 由正弦定理得sin A cos C +   sin A sin C =sin B +sin C , 即sin A cos C +   sin A sin C =sin( A + C )+sin C , 亦即sin A cos C +   sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C , 则   sin A sin C -cos A sin C =sin C , 又sin C ≠ 0,所以   sin A -cos A =1,所以sin( A -30 ° )=   . 在△ ABC 中,0 ° < A <180 ° ,则-30 ° < A -30 ° <150 ° , 所以 A -30 ° =30 ° ,得 A =60 ° . (2)在△ ABC 中,因为cos B =   ,所以sin B =   . 所以sin C =sin( A + B )=   ×   +   ×   =   . 由正弦定理得,   =   =   . 设 a =7 x , c =5 x ( x >0),则在△ ABD 中, AD 2 = AB 2 + BD 2 -2 AB · BD cos B ,即   =25 x 2 +   × 49 x 2 -2 × 5 x ×   × 7 x ×   ,解得 x =1(负值舍去),所以 a =7, c =5,故 S △ ABC =   ac sin B =10   . 一、选择题(每题5分,共30分) 1. (2018山东济宁二模,12)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a cos B - b cos A =   c ,则 tan( A - B )的最大值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 5 0分钟　分值: 6 0分) 答案    A 　由 a cos B - b cos A =   c 及正弦定理可得,sin A ·cos B -sin B cos A =   sin C =   sin( A + B )=   sin A cos B +   cos A sin B ,即   sin A cos B =   sin B cos A ,得tan A =5tan B ,从而可得tan A >0,tan B >0, ∴tan( A - B )=   =   =   ≤   =   ,当且仅当   =5tan B ,即tan B =   时取得等号,∴tan( A - B )的最大值为   ,故选A. 思路分析 　由已知等式、正弦定理及三角函数公式可得tan A =5tan B ,且tan B >0,tan A >0,利用 两角差的正切公式将tan( A - B )化为关于tan B 的函数,结合基本不等式求其最大值. 解题关键 　利用题中已知条件,正弦定理及三角函数公式得出tan A =5tan B 是解决本题的关键. 2. (2018河南濮阳一模,11)已知△ ABC 中,sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,则   的取值范围 是   (　　) A.   　    B.   　    C.(-1,   )　    D.   答案      B 　由sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,知 a , b , c 成等比数列,即 b 2 = ac ,∴cos B =   =   =   -   ≥ 2   -   =   ,当且仅当 a = c 时等号成立,可知 B ∈   ,设 y =   =   ,设sin B +cos B = t ,则2sin B cos B = t 2 -1. 由于 t =sin B +cos B =   sin   , B ∈   ,所以 t ∈(1,   ],故 y =   =   =   = t -   , t ∈(1,   ],因为 y = t -   在 t ∈(1,   ]上是增函数,所以 y ∈   .故选B. 思路分析 　由已知条件、余弦定理及基本不等式求得 B 的取值范围,利用三角关系式对所求 代数式进行恒等变换,进而利用换元法及 B 的取值范围求解. 解题关键 　正确求出 B 的取值范围并合理换元是解决本题的关键. 3. (2018安徽名校联盟4月联考,11)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 bc =1, b +2 c cos A =0,则当角 B 取得最大值时,△ ABC 的周长为   (　　) A.2+   　    B.2+   　    C.3　    D.3+   答案    A 　由题意可得,sin B +2sin C cos A =0,即sin( A + C )+2sin C cos A =0,得sin A cos C =-3sin C cos A ,即tan A =-3tan C .又cos A =-   <0,所以 A 为钝角,于是tan C >0. 从而tan B =-tan( A + C )=-   =   =   ,由基本不等式,得   +3tan C ≥ 2   =2   ,当且仅当tan C =   时等号成立,此时角 B 取得最大值,且tan B =tan C =   , tan A =-   ,即 b = c , A =120 ° ,又 bc =1,所以 b = c =1, a =   ,故△ ABC 的周长为2+   .故选A. 思路分析 　利用正弦定理及三角恒等变换得tan A =-3tan C ,进而利用两角和的正切公式得tan B 的表达式,最后利用基本不等式求解. 一题多解 　由已知 b +2 c cos A =0,得 b +2 c ·   =0,整理得2 b 2 = a 2 - c 2 .由余弦定理,得cos B =   =   ≥   =   ,当且仅当 a =   c 时等号成立,此时角 B 取得最大值,将 a =   c 代入2 b 2 = a 2 - c 2 可得 b = c .又 bc =1,所以 b = c =1, a =   ,故△ ABC 的周长为2+   .故选A. 4. (2018山东日照二模,11)如图所示,在平面四边形 ABCD 中, AB =1, BC =2,△ ACD 为正三角形,则 △ BCD 面积的最大值为   (　　)   A.2   +2　    B.   　    C.   +2　    D.   +1 答案      D 　在△ ABC 中,设∠ ABC = α ,∠ ACB = β ,由余弦定理得: AC 2 =1 2 +2 2 -2 × 1 × 2cos α ,∵△ ACD 为正三角形,∴ CD 2 = AC 2 =5-4cos α , S △ BCD =   ·2· CD ·sin   = CD ·sin   =   CD ·cos β +   CD ·sin β ,在△ ABC 中,由正弦定理得:   =   ,∴ AC ·sin β =sin α ,∴ CD ·sin β =sin α ,∴( CD ·cos β ) 2 = CD 2 (1-sin 2 β )= CD 2 -sin 2 α =5-4cos α -sin 2 α =(2-cos α ) 2 ,∵ β <∠ BAC ,∴ β 为锐角, CD ·cos β =2-cos α ,∴ S △ BCD =   CD ·cos β +   CD ·sin β =   ·(2-cos α )+   sin α =   +sin   ,当 α =   时,( S △ BCD ) max =   +1. 方法指导 　设∠ ABC = α ,∠ ACB = β ,设法找出 α 、 β 与 CD 的关系,进而将 S △ BCD 表示成关于 α 的函 数,从而求其最大值. 方法总结 　在解决多个关联三角形问题时,应找出联系各三角形的纽带,进而利用正、余弦定 理进行转化,最终使问题得以解决. 5. (2016福建漳州二模,11)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且2 c cos B =2 a + b ,若△ ABC 的面积为   c ,则 ab 的最小值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.3 答案      B 　由正弦定理及2 c cos B =2 a + b ,得2sin C cos B =2sin A +sin B ,因为 A + B + C =π,所以sin A = sin( B + C ),则2sin C ·cos B =2sin( B + C )+sin B ,整理可得2sin B ·cos C +sin B =0,又0< B <π,所以sin B >0, 则cos C =-   ,因为0< C <π,所以 C =   ,所以sin C =   ,则△ ABC 的面积为   ab sin C =   ab =   c , 即 c =3 ab ,结合 c 2 = a 2 + b 2 -2 ab ·cos C ,可得 a 2 + b 2 + ab =9 a 2 b 2 ,∵ a 2 + b 2 ≥ 2 ab ,∴2 ab + ab ≤ 9 a 2 b 2 ,即 ab ≥   , 故 ab 的最小值是   .故选B. 思路分析 　由正弦定理、2 c cos B =2 a + b 及三角恒等变换可得 C 的值,进而利用三角形面积公式 及已知条件得 c 与 ab 的关系,结合余弦定理及基本不等式得关于 ab 的不等式,由此即可得 ab 的 最小值. 6. (2017广东汕头一模,12)在△ ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足 b = c ,   =   , 若点 O 是△ ABC 外一点,∠ AOB = θ (0< θ <π), OA =2, OB =1,则四边形 OACB 面积的最大值是   (    　) A.   　    B.   　    C.3　    D.   答案      B 　由   =   及正弦定理可得sin B cos A =sin A -sin A cos B ,∴sin( A + B )=sin A ,∴sin C =sin A ,又 A , C ∈(0,π),∴ C = A ,∴ c = a ,又 b = c ,∴△ ABC 是等边三角形,设该三角形的边长为 x ,则 x 2 = 1 2 +2 2 -2 × 1 × 2 × cos θ =5-4cos θ ,则 S 四边形 OACB =   × 1 × 2sin θ +   x 2 =sin θ +   (5-4cos θ )=2sin   +   ,又 θ ∈(0,π),∴当 θ =   时, S 四边形 OACB 取得最大值   .故选B. 解题关键 　分析出△ ABC 是等边三角形,并将四边形 OACB 的面积表示成关于 θ 的函数是解决 本题的关键. 二、填空题(每题5分,共5分) 7. (2018广东七校3月联考,16)已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a =2, A =   ,且   -sin( B - C )=sin 2 B ,则△ ABC 面积为 　　　     . 答案        或   解析　 ∵ A =   ,且   -sin( B - C )=sin 2 B ,∴   =sin 2 B +sin( B - C ),即sin A =sin 2 B +sin( B - C ),又sin A = sin( B + C ),∴sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos B +sin B cos C -cos B sin C ,即cos B sin C =sin B cos B . 当cos B =0时,可得 B =   , C =   , ∴ S △ ABC =   ac =   × 2 × 2 × tan   =   ; 当cos B ≠ 0时,sin B =sin C ,由正弦定理可知 b = c ,∴△ ABC 为等腰三角形,又∵ A =   ,∴ a = b = c =2. ∴ S △ ABC =   a 2 =   . 综上可知△ ABC 的面积为   或   . 思路分析　 利用sin A =   及三角恒等变换化简已知等式,从而可得cos B sin C =sin B cos B ,进而 利用分类讨论思想及三角形的面积公式求得结果. 易错警示　 求解时,易忽视cos B =0的情形,从而导致漏解. 一题多解 　由已知及 A + B + C =π可得   -sin   =sin 2 B ,即sin 2 B +sin   =   ,∴sin 2 B -   cos 2 B -   sin 2 B =   ,即sin   =   . ∵ A =   ,∴0< B <   π,∴-   <2 B -   <π, ∴2 B -   =   或   ,∴ B =   或   . 当 B =   时, C =   ,∴ S △ ABC =   × 2 × 2 × tan   =   ; 当 B =   时,△ ABC 是边长为2的等边三角形, ∴ S △ ABC =   a 2 =   × 4=   . 综上可知,△ ABC 的面积为   或   . 三、解答题(共25分) 8. (2018河南、河北重点中学第三次联考,17)如图,在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已 知 c =4, b =2,2 c cos C = b , D , E 分别为线段 BC 上的点,且 BD = CD ,∠ BAE =∠ CAE . (1)求线段 AD 的长; (2)求△ ADE 的面积.   解析 　(1)因为 c =4, b =2,2 c cos C = b , 所以cos C =   =   .   (2分) 由余弦定理得cos C =   =   =   , 所以 a =4,即 BC =4.   (4分) 在△ ACD 中, CD =2, AC =2, 所以 AD 2 = AC 2 + CD 2 -2 AC · CD ·cos∠ ACD =6,所以 AD =   .   (6分) (2)因为 AE 是∠ BAC 的平分线, 所以   =   =   =2,   (8分) 又   =   ,所以   =2, 所以 CE =   BC =   , DE =2-   =   .   (10分) 又因为cos C =   ,所以sin C =   =   .   (11分) 所以 S △ ADE =   × DE × AC × sin C =   .   (1 2 分) 思路分析 　(1)在△ ABC 中,利用余弦定理求得 BC ,进而得 CD ,从而在△ ACD 中,利用余弦定理求 得 AD ;(2)根据三角形角平分线的性质得出 CE ,进而得 DE ,从而利用三角形的面积公式求 S △ ADE . 9. (2017湖南五市十校3月联考,17)在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,若 b 2 + c 2 - a 2 = bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 a =   ,求 BC 边上的中线 AM 的最大值. 解析 　(1)∵ b 2 + c 2 - a 2 = bc , ∴cos A =   =   .   (4分) 又0< A <π,∴ A =   .   (6分) (2)在△ ABC 中, A =   , a =   , 由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A 得 b 2 + c 2 = bc +3. 则 b 2 + c 2 = bc +3 ≥ 2 bc ,得 bc ≤ 3(当且仅当 b = c 时取等号).   (8分) 在△ ABC 中,由余弦定理,得cos B =   . 在△ ABM 中,由余弦定理,得 AM 2 = AB 2 + BM 2 -2· AB · BM ·cos B = c 2 +   -2· c ·   a ·   =   =   ≤   , ∴ AM ≤   . ∴ AM 的最大值是   .   (1 3 分) 方法点拨 　求解与三角形有关的最值问题时,常利用余弦定理和基本不等式构造不等关系.