2015年高考数学（文科）真题分类汇编H单元 解析几何
数 学
H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
20．H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
19．H1、H5、H8[2015·天津卷] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.
(1)求直线BF的斜率．
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点
Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．
19．解：(1)设F(－c，0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c.
又因为B(0，b)，F(－c，0)，所以直线BF的斜率k＝＝＝2.
(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
(i)由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.
因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.
又因为λ＝，且xM＝0，可得λ＝＝＝.
(ii)由(i)知＝，所以＝＝，即|PQ|＝|PM|.又因为|PM|sin∠BQP＝，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝.又因为yP＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝＝c，因此c＝，得c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
12．H1、H4[2015·重庆卷] 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
12．x＋2y－5＝0 [解析] 由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
20．H1、H3、H4[2015·全国卷Ⅰ] 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
20．解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为l与C交于两点，所以<1，解得
0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
13．2 [解析] 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝1，又△OAB中点O到AB边的距离d＝rsin 30°＝＝1，所以r＝2.
13．H4、F3[2015·山东卷] 过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
13. [解析] 如图所示，|PA|＝|PB|＝，|OP|＝2，|OA|＝1，且PA⊥OA，∴∠APO＝，即∠APB＝，∴·＝||||cos∠APB＝××cos＝.
10．H4，H8[2015·四川卷] 设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
10．D [解析] 不妨设直线l：x＝ty＋m，代入抛物线方程有y2－4ty－4m＝0，则Δ＝16t2＋16m＞0.又中点M(2t2＋m，2t)，圆心C(5，0)，kMCkl＝－1，所以m＝3－2t2，
当t＝0时，对于00，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
5．D [解析] 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，所以a2＋b2＝4①.其渐近线方程为y＝±x，且渐近线与圆相切，所以＝②.联立①②，解得b＝，a＝1，所以所求双曲线的方程为x2－＝1.
14．H4，E5[2015·浙江卷] 已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
14．15 [解析] 方法一：当x，y满足x2＋y2≤1时，2x＋y－4<0，6－x－3y>0，
设z＝|2x＋y－4|＋|6－x－3y|，则z＝－2x－y＋4＋6－x－3y＝－3x－4y＋10，即3x＋4y＋z－10＝0.由题意可知，≤1，即|z－10|≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15.
方法二：坐标原点到直线2x＋y－4＝0和6－x－3y＝0的距离分别是，，均大于1，在x，y满足x2＋y2≤1的条件下，2x＋y－4≤0，6－x－3y≥0恒成立．故在x2＋y2≤1下，
|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝－(2x＋y－4)＋(6－x－3y)＝－3x－4y＋10，令m＝－3x－4y，则y＝－x－，m的几何意义是直线m＝－3x－4y在y轴上的截距的－4倍，若m最大，则需要直线m＝－3x－4y在y轴上的截距最小．
故只有当直线m＝－3x－4y与单位圆x2＋y2＝1相切于第三象限时，m取得最大值．此时可求得切点坐标为－，－，故mmax＝－3×－4×＝5，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝－3x－4y＋10的最大值为15.
12．H1、H4[2015·重庆卷] 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
12．x＋2y－5＝0 [解析] 由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
10．H4[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
10．(x－1)2＋y2＝2 [解析] 由直线mx－y－2m－1＝0得m(x－2)－(y＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
H5 椭圆及其几何性质
20．H5[2015·安徽卷] 设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
20．解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，所以＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.
8．H5[2015·广东卷] 已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
8．B [解析] 由题意得，m2＝25－42＝9，因为m>0，所以m＝3，故选B.
22．H5、H8、H9、H10[2015·湖北卷] 一种画椭圆的工具如图15所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图16所示的平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ
的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图15
图16
22．解：(1)由题知|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；
同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．
所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m.
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4. ①
又由可得P，同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|＋＝. ②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因为0≤k2<，所以0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，
当且仅当k＝0时取等号，
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
5．H5、H7[2015·全国卷Ⅰ] 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5．B [解析] 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，即椭圆的半焦距c＝2.又离心率e＝＝＝，所以a＝4，于是b2＝12，则椭圆的方程为＋＝1.A，B是C的准线x＝－2与E的两个交点，把x＝－2代入椭圆方程得y＝±3，所以|AB|＝6.
20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
20．解：(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
20．H5，H8[2015·北京卷] 已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
20．解：(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝.
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)，
直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．令x＝3，得M(3，2－y1)．
所以直线BM的斜率kBM＝＝1.
(3)直线BM与直线DE平行．证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.
又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE.
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝(x－2)．
令x＝3，得点M.
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.
直线BM的斜率kBM＝.
因为kBM－1＝
＝＝＝0，
所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE.
综上可知，直线BM与直线DE平行．
11．H5[2015·福建卷] 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A．0， B．0， C.，1 D.，1
11．A [解析] 因为直线l过原点，不妨设A在第一象限，左焦点为F′，由对称性可知四边形AF′BF为平行四边形，所以|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a＝4，所以a＝2，点M(0，b)到直线l的距离d＝≥且bb>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
21．H5、H8[2015·山东卷] 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值；
(ii)求△ABQ面积的最大值．
21．解：(1)由题意知＋＝1，又＝，解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1.
(i)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知，Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，且＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝
＝＝2.
设＝t.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知，0b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
图16
20．解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得
(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知得Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＋＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
20．F3，H5，H8[2015·四川卷] 如图13，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
图13
20．解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
19．H1、H5、H8[2015·天津卷] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.
(1)求直线BF的斜率．
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．
19．解：(1)设F(－c，0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c.
又因为B(0，b)，F(－c，0)，所以直线BF的斜率k＝＝＝2.
(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
(i)由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.
因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.
又因为λ＝，且xM＝0，可得λ＝＝＝.
(ii)由(i)知＝，所以＝＝，即|PQ|＝|PM|.又因为|PM|sin∠BQP＝，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝.又因为yP＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝＝c，因此c＝，得c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
7．H5[2015·浙江卷] 如图13，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面
α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )
图13
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
7．C [解析] 射线AP以AB为旋转轴，∠PAB＝30°为定值，旋转一周，构成斜放的圆锥，故可知，点P的轨迹为椭圆．
15．H5[2015·浙江卷] 椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
15. [解析] 设FQ的中点为A，椭圆的左焦点为F′，连接QF′.因为点F和Q关于直线y＝x对称，所以点A在直线y＝x上，且OA⊥QF，又OA∥QF′，所以F′Q⊥QF.在直角三角形OAF中，tan∠AOF＝，又a2＝b2＋c2，故sin∠AOF＝，cos∠AOF＝，则|OA|＝，|AF|＝，|QF′|＝，|QF|＝，所以2a＝|QF′|＋|QF|＝＋，即a2＝c2＋cb，又a2＝c2＋b2，所以c＝b，故e＝＝.
21．H5、H8[2015·重庆卷] 如图15，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ<，试确定椭圆离心率e的取值范围．
图15
21．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得
2c＝|F1F2|＝＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，连接F1Q，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|.
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，
于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝.
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
从而＋＝4c2，
两边除以4a2，得＋＝e2.
若记t＝1＋λ＋，则上式变成e2＝＝8＋.
由≤λ<，得3≤t<4，即<≤.
进而b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
图14
18．解：(1)由题意，得＝，且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C
点的坐标为，
且AB＝＝＝.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，
从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，
则P点的坐标为，从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1，
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
H6 双曲线及其几何性质
6．H6[2015·安徽卷] 下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1
6．A [解析] A中双曲线的渐近线方程为y＝±2x；B中双曲线的渐近线方程为y＝±x；C中双曲线的渐近线方程为y＝±x；D中双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.
9．H6[2015·湖北卷] 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1>e2
B．当a>b时，e1>e2；当ab时，e1e2
9．D [解析] e1＝，e2＝.不妨令e10)，得bma时，有>，即e1>e2；当b0)的一个焦点，则b＝________．
12. [解析] 因为(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，所以1＋b2＝22，又因为b>0，所以b＝.
6．H6[2015·湖南卷] 若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6．D [解析] 由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，故＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝，选D.
15．H6[2015·山东卷] 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
15．2＋ [解析] 过右焦点且与渐近线平行的一条直线不妨设为y＝(x－c)，∵该直线与双曲线交点的横坐标为2a，∴有－＝1，解得y＝－b(y＝b舍去)，∴－b＝(2a－c)，整理得c＝(2＋)a，即双曲线的离心率e＝2＋.
7．H6，H8[2015·四川卷] 过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
7．D [解析] 由题意得，a＝1，b＝，故c＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入渐近线方程，得y＝2 或y＝－2 ，故|AB|＝4 .
5．H4、H6[2015·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
5．D [解析] 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，所以a2＋b2＝4①.其渐近线方程为y＝±x，且渐近线与圆相切，所以＝②.联立①②，解得b＝，a
＝1，所以所求双曲线的方程为x2－＝1.
9．H6[2015·重庆卷] 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
9．C [解析] 由题设，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±.不妨设Bc，，Cc，－，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1，整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.
12．H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
12. [解析] 不妨设点P(x0，)(x0≥1)，则点P到直线x－y＋1＝0的距离d＝.令u(x)＝x－＝，则u(x)是单调递减函数，且u(x)>0.当x→＋∞时，u(x)→0，所以d>，故cmax＝.
H7 抛物线及其几何性质
5．H5、H7[2015·全国卷Ⅰ] 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
5．B [解析] 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，即椭圆的半焦距c＝2.又离心率e＝＝＝，所以a＝4，于是b2＝12，则椭圆的方程为＋＝1.A，B是C的准线x＝－2与E的两个交点，把x＝－2代入椭圆方程得y＝±3，所以|AB|＝6.
19．H7、H10[2015·福建卷] 已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
图14
19．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，所以2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2 ，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 )．
由A(2，2 )，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2 (x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B，－.
又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
方法二：(1)同方法一．
(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2 ，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 )，
由A(2，2 )，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2 (x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B，－.
又G(－1，0)，故直线GA的方程为2 x－3y＋2 ＝0，
从而r＝＝.
又直线GB的方程为2 x＋3y＋2 ＝0，
所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
20．H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
3．H7[2015·陕西卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)
3．B [解析] 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由已知得－＝－1，所以＝1，故其焦点坐标为(1，0)．
19．H7，H10[2015·浙江卷] 如图15，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
图15
19．解：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，由直线PA与抛物线相切,得k＝t.
因此，点A的坐标为(2t，t2)．
设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知，点B，O关于直线PD对称，故解得
因此，点B的坐标为.
(2)由(1)知|AP|＝t·，和直线PA的方程tx－y－t2＝0.
点B到直线PA的距离d＝.
设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.
H8 直线与圆锥曲线（AB课时作业）
22．H5、H8、H9、H10[2015·湖北卷] 一种画椭圆的工具如图15所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图16所示的平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图15
图16
22．解：(1)由题知|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；
同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．
所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m.
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4. ①
又由可得P，同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|＋＝. ②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因为0≤k2<，所以0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，
当且仅当k＝0时取等号，
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
20．解：(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
20．H5，H8[2015·北京卷] 已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)
的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
20．解：(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝.
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)，
直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．
令x＝3，得M(3，2－y1)．
所以直线BM的斜率kBM＝＝1.
(3)直线BM与直线DE平行．证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.
又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，
所以BM∥DE.
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝(x－2)．
令x＝3，得点M.
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.直线BM的斜率kBM＝.
因为kBM－1＝
＝＝＝0，
所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE.
综上可知，直线BM与直线DE平行．
20．H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是
(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
21．H5、H8[2015·山东卷] 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值；
(ii)求△ABQ面积的最大值．
21．解：(1)由题意知＋＝1，又＝，解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1.
(i)设P(x0，y0)，＝λ，
由题意知，Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，且＋＝1,即＝1,所以λ＝2，即＝2.
(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.
设＝t.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知，0b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
图16
20．解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得
(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知得Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＋＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
7．H6，H8[2015·四川卷] 过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
7．D [解析] 由题意得，a＝1，b＝，故c＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入渐近线方程，得y＝2 或y＝－2 ，故|AB|＝4 .
10．H4，H8[2015·四川卷] 设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
10．D [解析] 不妨设直线l：x＝ty＋m，代入抛物线方程有y2－4ty－4m＝0，则Δ＝16t2＋16m＞0.又中点M(2t2＋m，2t)，圆心C(5，0)，kMCkl＝－1，所以m＝3－2t2，
当t＝0时，对于0b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
图13
20．解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
19．H1、H5、H8[2015·天津卷] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.
(1)求直线BF的斜率．
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．
19．解：(1)设F(－c，0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c.
又因为B(0，b)，F(－c，0)，所以直线BF的斜率k＝＝＝2.
(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
(i)由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.
因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.
又因为λ＝，且xM＝0，可得λ＝＝＝.
(ii)由(i)知＝，所以＝＝，即|PQ|＝|PM|.又因为|PM|sin∠BQP＝，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝.又因为yP＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝＝c，因此c＝，得c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
21．H5、H8[2015·重庆卷] 如图15，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ<，试确定椭圆离心率e的取值范围．
图15
21．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得
2c＝|F1F2|＝＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，连接F1Q，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|.
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，
于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝.
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
从而＋＝4c2，
两边除以4a2，得＋＝e2.
若记t＝1＋λ＋，则上式变成e2＝＝8＋.
由≤λ<，得3≤t<4，即<≤.
进而时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因为0≤k2<，所以0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，
当且仅当k＝0时取等号，所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
H10 单元综合
12．H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
12. [解析] 不妨设点P(x0，)(x0≥1)，则点P到直线x－y＋1＝0的距离d＝.令u(x)＝x－＝，则u(x)是单调递减函数，且u(x)>0.当x→＋∞时，u(x)→0，所以d>，故cmax＝.
18．H5、H10[2015·江苏卷] 如图14，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
图14
18．解：(1)由题意，得＝，且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C点的坐标为，
且AB＝＝＝.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，
从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，
则P点的坐标为，从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1，
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
22．H5、H8、H9、H10[2015·湖北卷] 一种画椭圆的工具如图15所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图16所示的平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图15
图16
22．解：(1)由题知|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；
同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．
所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m.
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4. ①
又由可得P，同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|＋＝. ②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因为0≤k2<，所以0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，
当且仅当k＝0时取等号，所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
19．H7，H10[2015·浙江卷] 如图15，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
图15
19．解：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0,由直线PA与抛物线相切，得k＝t.
因此，点A的坐标为(2t，t2)．
设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知，点B，O关于直线PD对称，故解得
因此，点B的坐标为.
(2)由(1)知|AP|＝t·，
和直线PA的方程tx－y－t2＝0.
点B到直线PA的距离d＝.
设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.
19．H7、H10[2015·福建卷] 已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
图14
19．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，所以2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2 ，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 )．
由A(2，2 )，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2 (x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B，－.
又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
方法二：(1)同方法一．
(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2 ，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2 )，
由A(2，2 )，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2 (x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B，－.
又G(－1，0)，故直线GA的方程为2 x－3y＋2 ＝0，
从而r＝＝.
又直线GB的方程为2 x＋3y＋2 ＝0，
所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
1．[2015·武汉武昌区调研] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为∶1.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的右焦点，T为直线x＝t(t∈R，t≠2)上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于P，Q两点．
①若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求t的值；
②在①的条件下，当的值最小时，求点T的坐标．
1．解：(1)由已知可得解得
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①由(1)可得，点F的坐标是(2，0)．
设直线PQ的方程为x＝my＋2，
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
于是x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝.
设M为PQ的中点，则点M的坐标为，.
因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为－m，其方程为y＝－m(x－2)．
所以点T的坐标为(t，－m(t－2))，
此时直线OT的斜率为，其方程为y＝x.
将点M的坐标，代入直线OT的方程，
得＝·，解得t＝3.
②由①知，T为直线x＝3上任意一点，可得点T的坐标为(3，－m)．
于是|TF|＝，|PQ|＝＝＝＝＝，
所以＝·＝·＝
·＝
·≥·＝，
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值.故当最小时，点T的坐标是(3，1)或(3，－1)．
2.[2015·湛江调研] 已知过抛物线x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，且两切线相交于点C.
(1)求证：·＝0；
(2)求△ABC的面积的最小值．
2．解：(1)证明：设lAB：y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，显然Δ>0，
∴xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴lAC：y－x＝xA(x－xA)，
lBC：y－x＝xB(x－xB)，
∴xC＝2k，yC＝－1.
①若k≠0，则kCF＝－，
∴kAB·kCF＝－1，∴·＝0.
②若k＝0，显然·＝0.
故·＝0.
(2)由(1)知，点C到直线AB的距离d＝|CF|＝2 .
∵|AB|＝|AF|＋|FB|＝yA＋yB＋2＝k(xA＋xB)＋4＝4k2＋4，
∴S△ABC＝|AB|·d＝4(k2＋1)，
∴当k＝0时，△ABC的面积最小，最小值为4.
2．[2015·襄阳调研] 已知曲线x2＝－y＋8与x轴交于A，B两点，动点P与A，B两点连线的斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹C的方程．
(2)若MN是动点P的轨迹C的一条弦，且直线OM，ON的斜率之积为－.
①求·的最大值；
②求△OMN的面积．
2．解：(1)在方程x2＝－y＋8中，令y＝0，得x＝±2 ，
∴不妨取A(－2 ，0)，B(2 ，0)．
设P(x0，y0)y0≠0，则kAP·kBP＝·＝－，
整理得＋＝1，
∴动点P的轨迹C的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2·＋km·＋m2＝.
∵kOM·kON＝－，∴·＝－，
即＝－·，∴m2＝4k2＋2，
∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝2－，
∴－2≤·<2.
当直线MN的斜率不存在时，设M(x1，y1)，则N(x1，－y1)，
则kOM·kON＝－＝－，∴x＝2y.
又＋＝1，∴y＝2，
∴·＝x－y＝y＝2.∴·的最大值为2.
②由①知，当直线MN的斜率存在时，S△OMN＝··＝2 .
当直线MN的斜率不存在时，S△OMN＝|x1|·|2y1|＝2 .
∴△OMN的面积为2 .
3．[2015·四川绵阳中学模拟] 设F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆C的长轴．已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，求证：∠AFM＝∠BFN；
(3)求△ABF的面积的最大值．
3．解：(1)∵|MN|＝8，∴a＝4.
又∵|PM|＝2|MF|，∴－a＝2(a－c)，
即2e2－3e＋1＝0，∴e＝或e＝1(舍去)，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：当直线AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN，满足题意．
当直线AB的斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为x＝my－8，代入椭圆方程，整理得
(3m2＋4)y2－48my＋144＝0，
则Δ＝(48m)2－4×144×(3m2＋4)>0，即m2>4，
y1＋y2＝，y1·y2＝，
∴kAF＋kBF＝＋＝＋＝
＝0，
从而∠AFM＝∠BFN.
综上可知，∠AFM＝∠BFN.
(3)S△ABF＝S△PBF－S△PAF＝|PF|·|y2－y1|＝
＝＝
≤＝3 ，
当且仅当3 ＝，即m2＝(此时满足Δ＞0的条件)时取得等号，
故△ABF的面积的最大值是3 .
